Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 18
Текст из файла (страница 18)
6 18. Метод малых возмущений Вследствие того, что получение точных решений уравнений движения газа во . многих важных для приложений случаях невозможно, в газовой динамике широкое распространение имеют методы упрощения уравнений, позволяющие получать приближенные решения задач, Как правило, упрощение уравнений при описании того или иного класса движений газа связано с глубоким проникновением в качественные физические асс>>знности этого класса движений, с пониманием того, влияние каких чле> ов в уравнениях и в дополнительных условиях к ним является опредепян цим для рассматриваемых явлений, Упрощенные уравнения должны сохраь ть те свойства решений точных уравнений, которые важны в изучаемых задачах Приближенные модели газовой цинамики важны не только потому, что они дают возможность получать решения конкретных зацач.
Их зн~ 83 чение состоит и в том (и это является иногда главным результатом ис- пользования приближенных моделей), что во многих случаях в рамках приближенных моделей обнаруживается подобие всех течений рассматри- ваемого класса, или его определенных подклассов, что дает возможность переносить результаты расчета или экспериментального исследования од- ного течения на все течения этого класса (или на некоторую их часть) путем простого изменения масштабов определяющих течение величин. Одним из наиболее широко употребляемых методов упрощения полных уравнений газовой динамики является метод малого параметра или метод возмущений. Возможность использования этого метода и его суть состо- ят в следующем.
Пусть физический анализ задачи показывает, что в ее формулировке имеется параметр Я > такой, что интересующие нас свойст- ва течений сохраняются при сколь угодно малых его значениях. Тогда на основе физических соображений можно ввести зависящие от б' масш- табы >'., ~6) для различных входящих в уравнения и дополнительные условия величин и преобразовать все соотношения к новым переменным, полученным от деления исходных величин на их масштабы.
В результате определяющие соотношения будут содержать члены различного порядка ма- лости при Г О. Сохраняя в них лишь члены до определенного порядка величины (например, только главные члены, остающиеся при Я = О), получают приближенные уравнения для описания рассматриваемого класса задач. Лишь в редких случаях удается доказать, что точное решение задачи стремится при à — 0 к решению приближенных уравнения (хотя бы асимп.
тотически). Однако, многие широко используемые в газовой динамике приближенные модели> основанные на методе малого параметра, хорошо согласуются в определенных пределах значений е с отдельными точны- ми частными решениями и с результатами экспериментов, Очевидным решением уравнений газовой динамики является такое, в котором вектор скорости и параметры состояния одннаховы у всех час- тил и не зависят от времени, т.е. Соответствующие такому решению течения газа называются однородныкй> потоками (иногда - постоянными потоками), Можно рассматривать задачи о течениях, близких к однородному п<~ току, считая зти течения возмущением основного однородного потока (18.1 ). Пусть отклонение рассматриваемого течения от однородного потока (18.1 ) характеризуется величиной параметра Е (такнх параметров может быть и несколько), причем значению Я = 0 соответствует невозмушенный поток, Причины возмущения основного потока могут быть радличными.
В дальнейшем метод малых возмущений будет использован, в сновном> для изучения установившегося обтекания тел неограниченным однородным потоком газа во всем диапазоне чисел Маха от 0 до бесконечности. Решение (18.1) точно описывает обтекание любой поверхности, которую можно образовать из участков поверхностей тока соответствующего решению (18.1) однородного течения, - например, обтекание расположенЬ ной вдоль потока плоской пластины нулевой толщины при произвольной ее форме в плаче или обтекание двух таких пластин, пересекающихся вдоль плинии тока основного течения, и т.п.
Поэтому возмущением однородного потока (18.1) можно считать течение около тела, все точки по- 84 (то~ 7'к ~7) - ~,ух~р.~~.ч — ркал~Д (К ук ы~ — ) — а.~сйь" Ъ О, (18,2) (18Л) (18.4 ) Третье уравнение выражает постоянство вдопь линии тока энтропии: ,у = сои-х8. С учетом этого соотношения при проектировании первого (векторного) уравнения на направление пинии тока получаем, что вдоль линии тока постоянно полное теплосодержание: (18.5) Так как поток в бесконечности перед телом однороден, то значения ж и Я одииековы на всех линиях тока в облести непрерывности течения, т.е. при дозвуховом течении - всюду, а щои сверхзвуковом не- бегвюшем потоке или, если при дозвуковом набегающем потоке вблизи тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения, - то ж по-прежнему постоянно всюду, а .у постоянна только в об- ласти до возникаюшях скачков уплотнения.
На линиях тока, прошедших через скачки, энтропия неодинакова, поскольку интенсивность скачков в 'обшем случае переменив по нх длине. Согласно уравнению (18.2) по- ток в облести течения за скачками завихрен, верхности которого нэходятся на мелом рвсстоянки от такой исходной обтекаемой поверхности. В зедаче об обтекании такого тела возмущение основного однородного потока вызвано отличием положения и формы обтеквемой поверхности от первоначальных> т.е.
изменением граничных условий. Наряду с изменением телв можно считать, например, что в бескэнечности перед телом значения величины скорости и плотности на резных линиях тока не равны задвнным постоянным Г и о. ~ а известным образом мало отличаются от них Такое изменение условий в бесконечности тоже служит причиной возмушения основного потока. При изучении нестапионарных движений течение (18.1) может возмущаться и вследствие того, что обтекаемая начальная поверхность или образованное из нее тонкое тело совершают малые движения как целое или, в более обшем случае, испытывают зевисяшие от времени деформации.
Можно рассматривать кек возмушенне основного потока и нестацио наркоз течение, возйикаюшее в том случае, если начальные значения параметров газа в пространстве мало отличаются от их постоянных знв чений (18.1). Укажем еше и на то, что возмущение решения (18.1) уравнений газовой динамики может быть обусловпено и малым изменением самих этих уревнений, например, включением в уравнения дополнительных членов (рвспределенных внешних сил, источников тепла и др.). Таким образом, причины возмушения однородного потока могут быть весьма разнообрвзными. Ограничимся дэлее возмушениями, вносимыми в однородный неограниченный поток помешенным в него телом. Обратимся к точным уравнениями газовой динамики, Эти уравнения для уствновившегося движения имеют вид (см.
6 1):' При тех предположениях, при которых получено уравнение (18.11), тече- ние газа явпяется, очевидно, беэвихревым ( 4 и я постоянны во всем потоке), так что можно ввести потенциал возмущений у~ такой, что С использованием потенциала возмущений уравнения (18.11) и (18,12) примут, соответственно, вид (18,14) (18.15 ) Рассмотрим дополннтельнью условия, которым должны удовлетворять решения этих уравнений. Прн установившемся обтекании тела его поверхность должна быть поверхностью тока, так что в точках обтекаемой поверхности вектор скорости н вектор нормали к поверхности должны быть ортогональны. Если уравнение поверхности задано в неявной форме ху.'., ~, к) -о, то в точках этой поверхности должно быть выполнено условие (18,18) (~/+ю) — ~ гу — + иу — -О.
йГ дХ ЗУ дх ду дЯ' Есди же уравнение (18,18) разрешено относительно у, т.е. У(х, «), то условие (18.17) примет вид . -~Ь- ) — +с ~ — =о. Р~ дУ дх ду (18.17) (18.18) (18.1а) йля замкнутой обтекаемой поверхности функция У двузначна: на верх- ней части обтекаемой поверхности ~ У~ ~ж, й), на нижней У-У 1зг,я), Условие обтекания должно, конечно, выполняться на обеих частях поверх- ности Условие (18.17) на поверхности (18,16) илн условия (18.19) на обеих поверхностих (18.18) являются точными. В рамках теории малых возму- щений для облегчения решения уравнений (18.14) и (18.15) эти краевыа условия следует по возможности упростить, сохранив в них лишь чле- ны того же порядка, что и в уравнениях.
Эти упрощения различны для различных классов обтекаемых теи, Рассмотрим вначале упрощение краевого усцовия (18.19) прн обтека- нии профиля. Б атом случаа У У~х) и условие обтекания профиля име- ет вид ~ =(~l+.ы) = й)' а(х при у Ус ~~) (18.20 ) Для возможности использования теории малых возмущений необходи-. л( )~~ мо, чтобы величина —" всюду была малой — порядка ~ . ИсключеЫх нке может составлять небольшая окрестность затупленных переднего и заднего концов профиля, В этом случае следует ожидать в этих концевых точках появления особенностей в решении, полученном методом ма.-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
