Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 19
Текст из файла (страница 19)
лых возмущений. Считая, что функция тУ'(~~,ф может быть при малых у представлена разложениями вида подставим эти разложения и краевое условие (18.20), В результате найдем (18.21 ) кли> используя потенциал возмущений 3у / И% д~/~ ы (х (18.22) Условие (18.21) или (18.22) задает нормальную составляющую скорости на отрезке оси х, соответствующем проекции на эту ось контура профиля, Говорят, что условие обтекания профиля (18,20) "снесено" на ось Х - направление основного потока. Этот перенос условия (18,20) на отрезок оси л.
означает, что на этом отрезке помещаются распределеннью источняки с объемным расходом, определяемым формулой (18.22), Взаимодействие газа, истекающего из источников, с набегающим потоком формирует линию тока, при блкженно представляющую контур профиля. Аналогичным образом можно упростить краевое условие обтекания крыла конечного размаха произв льной формы в плане, все точки поверхности которого мало отклоняются от плоскости у " О. В этом случае в условии (18.19)РУ~Фа'~сх так что после сноса этого условия на проекцию поверхности крыла на плоскость у 0 вновь получим, что на этой проекции (18.2Щ (18.24) 89 Оставляя в этом соотношении лишь главные члены, приведем краевое условие обтекания профиля к виду В случае тонкого тела вращения с осью симметрии, совпадающей с осью,К краевое условие (18.19) упрощается по-иному, Уравнение поверхности (18.16) запишем в этом случае в виде М Я.й.~-л ~ )= '- — =б7, Я~х) где Ф.
- расстояние от оси симметрии, а Я и Я - соответственно, радиус и площадь сечения тела, нормального его оси. Условие обтекания (18.17) примет вид сКЯ при К. УЯ .к~4 Ф ~) р~-,( .. (18.25) Здесь ТР. — радиальная составляющая скорости, Лля упрощения этого краевого условия представим произведение ФЮв прн П Х~~) в виде разложения ки -~~~~)~, ~- ( Х~ )'"- ° ° 8~~ / Ограничиваясь вновь в условии (18.25) главным членом получим ~~и ) -Р' — — -0У вЂ”.
сх'8 ~гР ' «-~~ Р~- ~~~ Ых ' (18.26) Это условие задает распределение объемных источников газа на отрезке оси щ' соответствующем протяженности тела, Взэнмодейсч вне этих источников с набегающим потоком формирует поверхность тока> приближенно представляющую поверхность обтекаемого тела вращения. То, что при ~ — 0 радиальная составляющая скорости к~.- эс, противоречит, конечно, допущениям теории малых возмущений. Однако, нужно помнить, что эти значения скорости возникают внутри объема занятого телом, т.е, вне области действительного течения. В самой же этой области и на ее границе предположения теории выполняются, Перейдем теперь к рассмотрению условий в бесконечности.
При обтекании тел неограниченным однородным потоком в бесконеч ности перед телом возмущения скорости должны затухать, т.е. при ж — е или, поскольку потенциал определен с точностью до постоянной, то можно принять, что (18.27) при Связь между давлением в потоке и на поверхности обтекаемых тел и потснпиалом возмущений определяется интегрелом (~~~-.~~) ~-<~ ~г У /' ~10 ~;~Р +. ./ р рф справедливым для непрерывных течений и, с принятой точностью, кот да 0 р~р,д ) - для течений со скачками уплотнения. Отсюда, ог оо раничиваась линейным и квадратичными членами, получим Ниже будет показано, что прн обтекании профилей н крыльев конечного размаха возмушение продольной скорости ха вблизи поверхности обтякаемого тела имеет тот же порядок, что и величина с1, так что в главном приближении, соответствуюшем линейной теории возмущений, давление на поверхности тела определяется формулой Р Ру — = -~Ум Р~ Прн обтекании же тел вращения порядки возмушеиия продольной скорости и и поперечной скорости ту вблизи тела различны: Ю имеет порядок ктУв .
В етом случае формула главного приближения для возмущения давления на поверхности тела имеет внд (1828) 6 19. Линейная теория плоских течений. Обтекание профиля. Законы подобия В качестве простого примера использования метода малых возмущений рассмотрим двумерное дозвуковое или сверхзвуковое течение около стенки с волнистой поверхностью (рис.10.1)> форма которой определена уравнением (19.1 ) Здесь ~с - амплитуда, ~ = — — длина волны возмущения форРя мы стенки.
При с = О- стенка представляет собой плосхость ~ О, а течение около нее — однородный поток со скоростью У вдоль оси Х Уравнение для потенциала возмущений г" етого однородного основного потока, возникающих при Е ~ О, имеет вид Здесь ~ - число Маха невозмушенного потока. Решение уравнения (10.2) должно удовлетворять условию обтекания стенки (18.22): 'г ~/ — = Реж сии скХ при у=О. (108) сКУ' ду Ыл: Поскольку волнистая стенка простирается вдоль оси л: беспредельно в обе стороны, то в качестве условия в бесконечности примем огра- 91 Рис.
10.1 ниченность возмушеннй составляюших скорости гг.= — и г~.= — ~- Ы(Ф' Иа' дх сну при у- оэ . Изучим сначала случай дозвуковой скорости основяого потока, когда 1 -М~ь О. Будем искать решение уравнения (10.2) методом разпеления переменных, полагая Подставив это выражение для потенциала ~р в уравнение (19.2) и действуя обычным способом, получим У' 3'.". д ч/7:Я"'Р (10.4 ) Знак у постоянной Я ( Х считаем действительной положительной величиной) выбран так, чтобы у выражалась через тригономет рические функпии и можно было удовлетворить краевому условию (10Л), Решение уравнений (19.4) дается Формулами: У:А й'~г Л.х З мЯх К=А е ~~~~~ ~У 'Я~е ~ ~~ ~У. Из условия ограниченности решения при л~ следует, что,фу О, а из краевого условия (10Л) - что А = О, Я= о и -А~3~~-~У~= СТО. Таким образом потенциал возмушений скорости при дозвуковом обтекании волнистой стенки имеет вид: Уе -~м ~~-~У~ Ы сЯ (19.9) Отсюда ~/ноб -Ум Н~:Я~" И = Е ~и хи:, (19.9) 92 РГе ск -у Ь ч~ А.>з = е Ыг ~х 1-М~ (19.6) Найденное решение показывает, что возмущения основного потока имеют наибольшую амплитуду у стенки и экспоненциально затухают при удалении от нее.
Скорость затухания возмущений зависит от числа Маха основного потока: чем ближе это число к единице, тем медленнее зату- хают возмущения. На рис.18,2а изображены изобары и линии то>>~ ка возмущенного течения. Если изменить направление основного потока на обратное, то нзображение на рис.18.2а не изменится. Значения кк, тУ и л)с на стенке с принятой точностью по У пучим, полагая в выражениях .7 > > (19.6) Я- = О.
Так, давление на Е стенке определится формулой Х ,оУа кМг, кд: -)(' ~-.а~ Согласно этой формуле давлеРис. 19.2 ние на стенке меняется по тому же закону> что и ордината контура стенки (19.1) (возмущения давления н возмущения формы стенки находятся "в фазе ). Вследствие этого сопротивление стенки (т.е. сила, действующая в направпении движения основного потока на один период волны стенки) равно нулю.
Коэффициент давпения ~)>>~ — ' Об' на стенке меняется при изме- Я /'~ ненни числа Маха основного потока пропорционально х ~ ку-Л> то же относится и к величине относительного возмущения продольной скорости (г При выводе уравнений малых возмущений предполагалось > что у> — (< х . Из полученного решения (18,6) следует что эти условия >У > удовпетворяются при выПолнении неравенства Величина с:с~ по порядку величины есть наибольший угол, образуемый стенкой с направлением основного потока. Эта величина должна быть малой; при приближении числа Маха Н к единице допустимые значения ~ >р~ становятся все меньшими. Второе условие, при котором уравнение (16.11) для возмущений ск~ рости можно заменить линейным уравнением (16.12), имело вид -1)~' —" ~ - 1-~'.
3 ц' Лля выполнения этого условия в рассматриваемом случае должно быть ('йй'+~) М" ~ ы ~~-л~3"~ Напомним, что левая часть этого соотношения обращается в единицу> если макснмельное значение скорости на стенке становится в рассматриваемом прнбпнжении равным скорости звука, так что решением линейного уравнения можно пользоваться лишь при таких значениях опредепякнцих параметров, при которых скорость газа нигде не приближается к скорости звука. При приближении числа Маха М к единице второе нз написенных усповий налагает на величину ~ о~ большие ограничения, чем первое.
Пусть теперь скорость основного потока сверхзвуковая, т.е.,'т =.у. Уравнение (19.2) дпя потенциала возмущений имеет в этом случае общее сешение в виде суммы двух произвольнык функций одного аргуху мента г - х~' -4мч'у> Ях+./Я~у). Прямые линии ж — от-7 у = аогы6 (18,7 ) ы-- ~ мю/с~(ь-пят-у уф х) Конечно, задачу об обтекании волнистой стенки и в случае сверхг.
звуковой скорости можно решать методом разделения переменных, но используемый целее метод более удобен дпя выяснения поведения возмущений. при М ) 1 явдяются акустическими характеристиками уравнения (18.2) и не зависят от вида конкретного решения этого уравнения. Вдоль характеристик первого семейства, распространяющихся от стенки вниз по потоку, сохраняются значения функции Я а вдоль характеристик второго семейства, которые идут из бесконечности вниз по потоку к стенке, сохраняются значения функции У. Так как по условию поток нац стенкой беспределен в нащ~авлении роста у~ и из бесконечности к стенке не идут никакие возмущения, то и решении (18.7) следует попожнть У -о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
