Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Однако, так как в курсе тндродинамнки обычно теория тонкого профиля в несжимаемой жидкости не налагается, мы даем здесь решение задачи для газа1 решение для несжимаемой жидкости получается из него как частный случай при М О. 100 р = — й,таф —" — ~-. т~~- 2 Гуе х-9 Это решение соответствует течению от (линейного) вихря в точке ны л с циркуляцией скорости вокруг него, равной Г. Компоненты скорости и етом течении выражаются формулами с'ж ЛЛ ( -~)~ч-лт~ф-р)й д~ Г яг; -Ю ф~ Ля- ~ .М)'- тФу-у)' (19,23 ) В отличие от симметричного течения от источника, расположенного в точке оси ~ (см.
формулы (19.18) при ту О, течение от вихря, находящегося на оси ~ несимметрично: компонента скорости гУ. сохраняется при переходе через ось Х компонента и меняет знак. Располагая вихри непрерывно вдоль отрезка 0 ~ й < 1 оси х: и полагая с~У'®=-к~ ~К, 0)с~~ ы(В-О)с~В=-Яо(М, 0)АВ найдем потенциал ~а в виде ,. -Д у,.о) ь ~фыв. О Компоненты скорости выразятся формулами „=Ля'= ~ ~„~~,-ф~ дж я .У ' (х-9 т~у о у)' = -~= — — ~~~ ~ ~, " О) ~(ф д~ л.,у ' ~ ~~г д д (19.24) (19.25) 102 бесконанности. Как уже говорилось ранее, зто является отражением осе бенности линейного решения, которая возникает там, где возмушения св~ рости при ~ 0 не стремятся к нулю. В рассмотренном случае симметричного относительно осн ~С профв ля подъемная сила, очевидно, отсутствует. Сопротивление профиля (' у АУ"~~ /1 УМУЙЯМм х-г ° .у-М--- ..,Г, Р о о равно нулю, как и должно быть в соответствии с парадоксом ЭйлераЙаламбера, так как подынтеграпьная функши антисимметрична относительно диагонали квадрата, по площади которого производится интегрирование.
Перейдем теперь к более сложному случаю несимметричного обтекания профиля, заменив пока профиль его средней линией (дужкой). Рассмотрим частное решение уравнения для потенциала возмущений При ~ = О получим (19.25) 0 причем интеграл в правой части при О (ж 1 вновь нужно понимать в смысле его главного значения. В случае симметричного обтекания определяющая решение (19.20) функция т~~Я, "О.) находилась непосредственно из граничного условия иа профиле. В рассматриваемом несимметричном решении (18.25) функция и (У," О) непосредственно граничным условием обтекания профиля не определена.
Она известна, если решается обратная задача нахождения формы профиля по заданному на нем распределению давления. При решении прямой задачи функция и ( ~ -О) должна находиться нз интегрального уравнения ~1а.~~~~)+ — ' ЗА=0 при О( х< 1~ (19.28) О в которое обращается соотношение (19.25) после подстановки в него зн~ чения 7У(ж, 0~ из краевого условия обтекания профиля Ф~т,0)= УнК(м). Не останавливаясь на выводе, приведем формулу обращения интегрального уравнения (18,26); при 0(х~ У. Решение определено с точностью до константы С, соответствующей разным значениям циркуляции скорости вокруг профиля.
Распоряжаясь этой константой, можно удовлетворить условию Чаплыгина-Жуковского схода линии тока с задней кромки профиля. Из условия ограниченности .й (х,ч-0) при х 1 получаем у~С .~. — ~ ~/б у' ® — — СЫ=Щтак что решение, удовлетворяющее К.у условию Чаплыгина-Жуковского, имеет вид В качестве примера рассмотрим плоскую пластину под углом атаки ск'. В этом случае еУМ=-с~ и формула (18.27) дает О Отсюда (19.28) График величины Ы (,х:,->-О) приведен на рис.
19.8. На нижней стороне пластинки -ы~ж,-О3 = —.>с(ж > 0) . Таким образом> давление на нижней стороне пластинки выше, а на верхней стороне- ниже, чем в набегающем потоке. Нормальная сила или, с принятой точностью, подъемная сила> действующая на пластину, равна Рис. 19.6 Отсюда для коэффициента подъемной силы находим (19Л8) В соответствии с парадоксом Эйлера-Даламбера сила сопротивления, действующая на пластину, должна равняться нулю, Однако, проектируя нормальную к пластине силу на направление набегающего потока, получим отличную от нуля величину 7и Разрешение этого противоречия состоит в том, что при обтекании острого переднего конца пластины возникает направленная вперед по касательной к передней кромке так называемая "подсасывающая" сила, точно уравновешивающая силу сопротивления: векторная сумма нормальной силы и подсасывающей силы направлена перпендикулярно набегающему потоку.
Рассмотрим (рис. 19,7а) симметричный профиль с уравнением конту- ра у- — х. К ~м.). ( Ы~Ю = У~ Й)= 4;8'Е' - наибольшее значение относительной толщины профиля). Искривнм среднюю линию профиля (рис. 19.7б), придав ей вид ( Ух (О) =У~®=0> Е - наибольшее значение относительного прогиба средней линии„' при малых б' уменьшением длины профиля при искривлении его средней линии можно пренебречь). Наконец, повернем профиль (рис.19.7в) вокруг точки ~ = О, .с~ О, установив его под углом атаки с~.
В результате при малых й', б' и >м уравнение контура профиля с принятой точностью примет вид у=+ й-У (ж) +б ~~~ (Х)-ск'Х. доло) Решение задачи об обтекании такого контура представится суммой решений рассмотренных ранее задач. В частности, для распределения скорости И на профиле нз выражений (18.21), (19 27 ) и (19.28) следует формула ~ ~ Г у-'~~) ~~ . о а Рис. 18.7 Рассмотрим теперь сверхзвуковое обтекание профиля (рис.19Л). В этом случае проще не применять метод источников и стоков> а использовать общее решение уравнения (19.1о) в виде (19.8О) В силу того, что нз бесконечности к профилю возмущения не распространяются, решение в верхней полуплоскости отлично от нуля лишь в полуполосе Р(~~(1 и имеет внд а в нижней полуплоскости потенциал ~7 отличен от нуля лишь цри 0(~+-~~А н имеет вид у - У(х+ф.
Функция У и Ь' определяются из условия обтекания, соответственно, верхней и нижней поверхности профиля: при О~.к~1 т.е. Следовательно, прн О(.ят .~.с Л, В остальной части плоскости х:, «~~ потенпиал ~~ = О. Согласно формулам (18.16) решение в исходных переменных имеет вид: в полуполосе О( ж — ъЯ~-1у (Е «~>0 (19Л1) и, аналогично, для нижней полуплоскости. Поток возмущен лишь внутри полуполос, ограниченных уходяшими вниз по потоку от профиля характеристиками, исходящими из передней и задней кромок профиля. В остальной части области поток не возмущен. Линии тока внутри возмущенной области повторяют форму профишц возмущения внутри этой области не затухают при удалении вдоль характеристик в бесконечность. Так как на профиле М=аУ~х)= фУя~У где У - угол отЫх У клонения стенки от направления набегающего потока, то возмущение давления на профиле (при у О) можно согласно формуле (19Л1) для л )с записать в виде (19Л2) или - коэффициент давления - в виде (18ЛЗ) Формула (18Л2) дает чрезвычайно простую связь между давлением в точке на профиле и местным значением угла наклона контура профиля к направлению набегающего потока, Формула (19Л2) называется формулой Аккерета .
Используя формулу Аккерета,легко получить в общем виде выраженяя для сил, действующих на профиль, Рассмотрим профиль (рис.19.7в) с заостренными кромками, расположенный под углбм атаки аС . йля сип Х и У действующих в направлении осей .х' и у име ем Представим уравнение контура профиля в виде (19.29).
Тогда (19.84) Здесь У УФИ Для коэффициентов силы сопротивления и подъемной силы получаем выражения гг и уб - средние по длине профиля значения х и Согласно формулам (19,34) сопротивление профиля в сверхзвуковом потоке всегда отлично от нуля (если только профиль не есть плоская пластина под нулевым углом атаки); ето сопротивление принято называть волновым, Волновое сопротивление профиля представляет собой сумму трех составляющих: сопротивления, связанного с толщиной профиля, сопротивления, связанного с искривлением его средней линии, и сопротивления, обусловленного наличием угла атахи.
Возможность такого разделения сопротивления на три независимых слагаемых есть следствие линейности задачи. Подъемная сила профиля не зависит в рассматриваемом приближении от формы профиля н определяется только углом атаки; зависияость подъемной силы от угла атаки линейная. Важной характеристикой профиля наряду с подьемной силой является его аеродинамиче:кое качество' - отношение Х вЂ” х-.
С с„ На рис. 19.8 представлена зависимость 1С от Су прн разных эна чениях суммы х',е = 8 ~~ а~У~ С ростом сб„значение К прн данном Су снижаетс ц н фиксированном значении с~, величина х Х имеет максимуь — при Ж * сн шит Фе Коэффициент сопротивления С,г прк данном угле атаки минимален для профиля в виде плоской пластинки и равен (х для ромбовидного профиля .»"х 1 с полууглом Уа Волновое сопротивление одиночного IФ профиля может быть уменьшено только путем уменьшения квжцой из трех отдельных составляющих сопротивления. Однако, в случае более сложных пространственных а ааа ааа а»а аж а'6~аФ) коифигурапий общее сопротивлеиие может ° ~» быть меньше суммы сопротивления составляющих конфигурацию элементов вследстРис. 19.8 вие их взаимодействия.
Это явление назы- вается полезной интерференцией тел прк их обтекании. Простейшим замечательным примером такой интерференции является биплан Буземвив. Рассмотрим (рис. 19,9а) два одинаковых профиля треугольного сечения под нулевым углом атаки. Сопротивление каждого такого профиля, не взаимодействующего с другим, отлично от нуля и равно Пусть теперь профили расположены как показано на рис.10.06, т.е. так, что волна, идущая от передней кромки каждого профиля, попацает в точку излома контура другою профиля. В области между характеристиками АО и ОВ функция Я та же, что и для одиночного .профиля АО.8 и, очевидно, она удовлетворяет условию обтекания участка О'В ' профиля А ' О'В ' ° В области межцу характеристиками А 'О и ОВ фуикция Р та же, что для одиночного профиля А 'О В и она удовлетворяет условию обтекания участка ОВ профиля А ОВ.
Таким образом давление на участках ОВ и О 'В ' профилей такое же, как и на участках А 'О ' и А О соответственно, т.е. давления на задних 'схатвх треугольных профилей то же, что и на передних. Вследствие этого общее сопротивление биплана Бузе- Рис. 19.0 108 мана равно нулю. В четырехугольной области между парами характери<~- тик обоих семейств давление равно сумме давлений в волнах, ипущих от участков 4 О и А 'О ' обоих профилей, н равно, следовательно, удвоенной величине давления на поверхности профилей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
