Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Граничное условие на стенке 1У-= — ~-'-=-Р ~ -У У (~ж3= П вЂ” = РЕС~Сб.Ра~ж 8 ~ г с~К 8~ Ыл' позвоцяет определить функцию Я: 'Г~ )-- ~ б Ж-1 Таким обрезом, потенциап возмущений имеет вид: а - с~~~ с ь-[с~ -~~и-~ у) ~, лР-~ ~ свь~а(х- ГЙ~-1у) ~. В отличие от дозвукового течения, при сверхзвуковой скорости потока согласно полученному решению возмущения не затухают прн удалении от стенки, а сохраняют постоянные значения вдоль характерно- тик На рис. 10.2б показаны нзобары н анния тока полученного течения, При измененнн направления основного потока на обратное изображенная картина должна измениться: возмущения в атом случае будут распр~ страняться от стенки вдопь характеристнк х+~Я~-х у . пои;16. ~У% ° В у ° - ° - -ЛРнаходится в Ф у Ф~ .П ~ ~ Р у скорости сопротивление стенки отлично от нуда. На один пернод волны стенки действует в направления основного потока сила сопротивления *е Х=~ ьр — ах = ~ ~~~сщс~х)~ ~х, г,а уи' г О а Сила сопротивления квадратичным образом зависит ст среднего по периоду волны угла наклона поверхности стенки к направлению основа ~~ ного потока и меняется (как и — н — ) прн изменении числа р ~ТЯ Маха основного потока как 1/.~4~1 Оценки применимости полученного решения при ~Ч ) 1 остаются теми же, что и при Ж ( 1.
Рассмотренный пример обнаруживает характерные свойства поведения возмущений потока в приближении дннейной теории н устанавливает существенные различия свойств дозвуховых и сверхзвуковых течений. Обнаруженные свойства сохраняются н прн обтекания стенок другой формы, поскольку в рамках линейной теории решения таких задач можно получить путем суперпозипни решений задачи об обтекании волнистой стенки при разложении функции, описывающей форму стенки, в ряд фурье.
Отметим еще одно важное свойство изученных реше~щй, также присущее и течениям более общего вида. В точной нелинейной постановке решение задачи об обтекании волннотой стенки, например, прн дозвуковой скорости, когда в потоке не возникают скачки уплотнения, после перехода к безразмерным величинам имело бы вид ~д = ~е Ф ~М,р; ЖЕ; сб'л; с~У ), В линейном приближении (см. формулу (18Л) ): у - ~', ф,~'с~~,куй:Я'.). Сравнение двух выражений для потен- Ф инала у показывает> что вместо пяти существенных аргументов у функции Ф в точном решении, функция Ф~ имеет лишь два (переменных) аргумента.
Это свидетельствует о том, что все дозвуковые течения около волнистой стенки с 0 ку Ы А 'к различным набором определяющих параметров в линейном приближении подобны,т.е. распределения параметров одного течения могут быть получены простым пересчетом (изменением масштабов величин) иэ распределений параметров в другом течении. При этом параметр г вообще оказываетРис. 19.3 ся не влияющим на распределения скоростей и давлений. Рассмотрим теперь в рамках линейной теории малых возмущений задачу об обтекании одиночного профиля, помещенного в однородный набегающий поток (рис.
19,3). Пусть в системе координат, в которой однородный поток со скоростью 0 направлен вдоль оси х контур профиля задан уравнениями у-еУ ~х) при Оэ'.~ <У. (10.8) где ~ У, (ж) и Ю К 1' с) суть, соответственно, верхняя и нижняя стороны контура, Введем потенциал возмущений уэ с помощью соотношения Ф=~~ю'" ф', где Ф - потенциал полной скорости. Очевидно, что введенный так потенпиал возмущений по-прежнему удовлетворяет уравнению (19 2). Требование обтехания контура приводит к граничному условию =ЙУ~(х) при =+О, О~х<Е..
(10.9) ар ду В бесконечности перед телом производные от потенциала возмущений должны стремиться к нулю, так что должно выполняться условие бд — О при ®' . (10.10) Таким образом, задача о нахождении поля возмущений скорости и давления при обтекании профиля сведена к математической задаче нахождения из уравнения (19.2) функции у, удовлетворяющей условию (19.10) и такой, что при подходе к разрезу ( 0 ~ А ) оси у с двух его сторон нормальная производная функции ~ должна принимать заданные (19.9) а При выводе уравнений теории малых возмущений предполагается,что при малых значениях Е величина возмущений скорости тоже мала сравнительно со скоростью невозмущенного потока, Однако прн обтекании профиля с дозвуковой скоростью при любом сколь угодно малом значении Е на профиле в общем случае имеются две критические точки, в которых скорость обращается в нуль.
Возмущение скорости вблизи этия точек сохраняется конечным при б О, так что дозвуковое течение около профиля стремится при ь 0 к однородному потоку неравномерно: в окрестности передней и задней критических точек профиля возмущения скорости не малы. То же справедливо и при сверхзвуковом обте- 96 где дтпл и ~у — функции двух аргументов х и ф одинаковые для всех профилей семейства (18.8) и не зависящие от !' и М Коэффициент давления Ср= на профиле с принятой точностью ° ~~р Ря выразится формулой (19.13 ) Отсюда следует, что коэффициент давления Ср~ при обтекании про филя с относительной толщиной с.у потоком с числом Маха Му и коэффициент давления Срд при обтекании профиля с относительной толщиной Г~ потоком с числом Маха ~~ связаны соотношением Выражаемое этим соотношением подобие распределения давпений на профилях разной относительной толщины, обтекаемых дозвуковым потоком с разными числами ~, называется законом подобия Прандтпя-Глауэрта.
Число Я может, в частности, быть равным нулю, что соответствует течению несжимаемой жидкости. Таким образом, согласно закону подобия Прандтля-Глауэрта, зная распределение давпения на одном тонком профиле при одном значении числа М с 1 (например, при 1;! =О), можно простым и известным изменением масштаба получить распределение давпения на любом другом тонком профиле, аффинно-подобном первому, при любом другом значении числами( 1 (причем это распределение не зависит от термоцинамических свойств газа, т.е. от величины ).
На рис,18.4 приведено сравнение экспериментальных распределений давления на одном прсфипе при Я 0.6, 0.7 и 0.8 с пересчитанными по закону Прандтля-Глауэрта данными эхсперимента при М 0.4. Совпадение расчетных данных с экспериментальными, естественно> ухуд-. шается при приближении давпения на профиле к критичесхому (значения которого приведены пунктирной прямой).
При Я -" 1 можно ввести координату ~ и функцию ~~ по формулам (18.14) и подучить систему, совершенно анапогичную системе (19.!1), но с другими уравнением для потенциала, а именно д'~ э'р — =д Ых~ ду ~ (19.15) В этом случае поля возмущений скорости и давления определяются формулами - о.в с, -ое -ов -06 -04 -О.4 -О.2 -0.2 аг -ов -04 -0.4 -02 -02 0,2 — ЭКЕП4РиМЕЮП вЂ” — и444» 4ЕЕ аз444ЕНий 04 О.4О Рис.
19.4 -а,'р р.(,у4Р ~), и- еда ~», у~17':7), (1а.1в> 99 при одних и тех же функциях Уф-4Р -:) и К ~ж) т.е. для одного и того же семейства профилей, функция 442 1.х', ф3 при .М ~ 1 будет4 конечно, иной, чем в выражениях (19.11), Аналогично закону подобия Прандтля-Глаузрта при дозвуковой ско- рости потока, при М ~ 1 справедливо соотношение »е ~%7:T ~Р, -~Р~ 4 » называемое законом подобия Аккерета, Перейдем теперь к способам решения задачи определения функции Р~ ° У) . х) Рассмотрим вначале обтекание тонкого профиля дозвуковым потоком . Начнем с задачи симметричного обтекания профиля у- ка'У~х) при О(.х л:,~, Лля ее решения применим метод источников и стоков, Легко проверить, что функция (18,17) ( ж -~-~~~» ) есть решение уравнения (18.2) для потенциала возмущеннй, соответствующее источнику с мощностью у в точке с координатами Й, ю (т.к.
рассматривается плоское движение, то речь идет, конечно, о линейном источнике, нормальном плоскости течения, с ннтенсивносчью у на единицу его длины), Компоненты скорости в течении, создаваемом таким источником, выражаются формулами чс — ~~- — — Х— дх Ял т, ('д: — ф»- Р~у рф З~д Я юг ( — ~~,') Рф лг ~х- Ц»- ~и»ф-~)» (18.18 ) Распределим источники на отрезке оси х занимаемом п8офилем (длину этого отрезка». примем за единицу): т> О, 0~ 5 ь 1.
Интенсивность источников а~)у(8') соответствует тому, что из отрезка протяженностью Ы У истекает объемный расход газа с~~ ®, Обозначим через тУ~У,""О) и ХУ~ф -О~ нормальную к оси я; составляющую скорости при попходе к оси сверху нли снизу, соответст"~д:,-о)--~~Ъ,-с~ с~~ ф)=ту(У,~О)с~У вЂ” иЯ,-О)сйЯ =От»(Я,+0)дЯ. Потенциал схорости течения от всех источников, расположенных на отрезхе 0 -к я. < 1, выразится интегралом ! к~У (18.19) а составляющие скорости - формулами х) Согласно закону подобия Прандтля-Глауэрта это обтекание может быть получено простым пересчетом из соответствующего решения для несжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
