Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В первом случае потенциал возмущений симметричен относительно у т.е. у ~ х, -~, м ) = ~~ с,у~;е ) ~ а во втором — антисимметричен, т.е. Рассмотрим вначале более простой случай дозвукового симметричного течении, Будем искать решение задачи с помощью распределения источников по площади проекции крыла на плоскость .х', в. В силу симметрии течения относительно плоскости у. = О для интенсивности источников с~у на площадке с~Х с~~ в окрестности точки $ ~ можно написать 117 с~~ = г~®+О, ~) сО'Ы~ — г~(Х,— О,~)с~Ь~4'=Гг~® О43 ~34; Зля потенпиала возмущений )г от распределения источников по п~ верхности крыла Л получим формулу (21.6) Отсюда для компонент скорости находим выражения ЖП Ф о~ ~~ж ГЯГ Ц~Й'-я)~ -тю у~ т '(4-«,)~/'~ ' ~и~ ~ Лу,/Я'-х)~' ~у~' '~~,=ж3'7'" ' (21.7) Интегралы в этих выражениях расходятся при ~ = О и 1 х,4'=М по квадратичному закону.
Зля избежания этого поступим следующим образом. Будем считать, что контур крыле огрвничен кривой Я тэ('.х), 0~ж~ ~, причем ~М есть однозначная функпия .к'. Так как нас более всего интересует продольнея составляющая скорости ~с позволяющая найти распределение давления по крылу, огреничнмся преобразованием выРажения только для этой составляющей скорости. Представим в выражении (21.7) для ~ интегрел по площади в виде интегрела сначала по 4" от — +~:х) до -~-~-~ос), а затем по - от О до б причем в первом интегреле проведем интегрирование по частям. В результате получим -а-о,-)(~- ) ~ ,'ЯоФй-) к 1~1 )г ~ г г(,,~~ / у ) ~ г+(~- ~г/ Особенность, возннкающея здесь лри ~ = О н ь ~ж, можно устренить, беря главное значение интеграла.
При ~ = О получим Д~ 74, О,ь)~б-к) и®~О,-а)~~ -х) ~дД у- )г ~~ «) у ) +,,г „.~) 118 Функция 0"(~~,""0 ь,) определена для симметричного относитедьно = 0 крыла краевым условием (21,2) (21.9) Условия (21.3) и (21.4) удовлетворены автоматически в силу симмет рии течения относитедьно плоскости у = О; вихревой палены при этом вообще нет. Условие в бесконечности (21Л) удовлетворено, как это следует из исходного выражения (21.6) для потенциала возмущений )г. Выоажение (21.8) вместе с условием (21.9) позволяет при заданной форме крыла определять распределение давления по его поверхности.
В предельном случае цилиндрического крыла бесконечного размаха (профиль)уравнение поЬерхности крыла не содержит Х и внутрен/ ний интеграл в выражении для кс исчезает, так как тУС = О. Фактическое применение формулы (21.8) в большинстве случаев требует довольно громоздких вычислений. Н случае крыла, несимметричного относительно плоскости ~ = 0 (называемого несущим крылом, так как в общем случае такое крыло обладает подъемной силой) будем считать, что его толщина равна нулю, т.е, рассмотрим крыло в виде участка искривленной поверхности.
Так как значения возмущения давления, пропорциональные Я~у(йх;различны с двух сторон поврехности крыла, то и значен>и дотенциада у~ в точках поверхности крыла с обеих его сторон в общем случае различны. В частности, они -различны и при подходе к точкам задней кромки крыла сверху и снизу. В силу условия (21.4) эти разные значения потенциада сохраняются далее на вихревой пелене с двух ее сторон.
Рассмотрим (рис.21.2) циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, начинающемуся в точке Рэ(х',"О> ~) шюскости ~ = 0 и приходящему вновь в ту же точку .Р (я: -Рр ~) с другой стороны плоскости ~ = 0 ". Так как потенциал р в рассматриваемом случае антиснмметричен, т.е. (21,10) то, следовательно, .1 = Р~~~~ О У) . (21 11) Согласно известной теореме гндроме'ханики об изменении циркуляции по кон туру, перемещающемуся вместе с частицами газа, Рис. 21.2 119 В результате получим (21,13 ) Входящую в это выражение величину (пф"~.,~0~ 4) удобно представить в виде интеграла от )дя =~ по ь от Х до Х, .
Тогда выражение (21.13) можно записать в виде с'М )ф '"Й 4) ~ (М-ж)~~-тпуя т~я-ф 1 (21,14) где интеграл распространен лишь на плошадь проекции крыла. формула (21,14) дает решение обратной задачи, когда задано распределение давления по поверхности крыла, т.е. задана функция м1'с,~О, ь). В случае прямой задачи, когда задана форма поверхности крыла, т.е, задана функция ут~~х,+0~ 2,)р выражение (21.14) позволяет получить интегральное уравнение дпя опредепения функции м(х,+О,.с). Для этого нужно выполнить дифференцирование выражения (21.14) по у и перейти в нем к пределу при у О, Выполнение этих операций требует осторожности из-за расходимости получаемых промежуточных выражений. Не останавпиваясь на выкладках, приведем окончательный вид получаемого интегрального уравнения 8 (21.13) Левая часть этого уравнения известна из краевого условия (21.2).
В силу выражения (21.11 ) производные ~~й и ~~С с точностью до постоянного множитепя можио трактовать как распределения вихрей, так что величина ~Р~~ в этом уравнении есть производная от распределения вихрей. Перейдем к случаю сверхзвуковой скорости набегающего на крыло потока, Рассмотрим слабовозмущенный сверхзвуковой однородный поток, для которого потенциал возмущений удовлетворяет уравнению (21.4), Проведем из некоторой точки Я (рис.21.4) конус Маха> обращенный вперед - навстречу потоку, и конус Маха, обращенный назад.
Очевидно, что параметры течения в точке .Р ие зависят от возмущенкй, идущих из точек, расположенных вие обращенного вперед конуса Маха. 121 Таким образом, если источники возУ7 мущений однородного потока распределены ча некоторой поверхности,то Р областью зависимости точки Р ! Ф. ! на этой поверхности будет та часть ! ! этой поверхности, которая лежит внутри обрашенного вперед конуса Маха вь в точке .!'-ъ. "й Напротив, возмушения, идушне из точки Р распространяются только х внутри обращенного назад конуса Ма! ха, так что этот конус Маха является областью влияния точки Р.
В частности, если источники возмуРис. 21.4 шений расположены на плоскости Д = О, то область зависимости точки Р ограничена на плоскости '~ = О сбрашенной вперед ветвью гиперболы (рис. 21,5) (' -ь,)~- ~~~-4)= г~~~, т.е. представляет собой часть плоскости т;! = О, где Ь' и 4 удовлетворяют неравенству (21.15) В задаче о сверхзвуковом обтеквнки тонкого крыла, ограничимся такой формой крыла в плане, при которой касательная к контуру крыла поворачивается монотонно при обходе контура (рис. 21.6). Выделим на контуре крыла характерные точки. Точки З и В~ — концы крыла в яапрввлении его размаха; часть контура крыла между точками .В и З~, обращенная вперед, называется передней кромкой крыла, а часть контура между этими точками, обращенная назад, - его задней кромкой.
У передней кромки гвз натекает на крьшо, а у задней кромки - сходит с хрыла. В точках А и Ау и в точхах С и Су характеристики двух семейств касаются передней н задней кромок, соответственно. Части передней и задней кромок ААу и ССу называются сверхзвуковыми, а их части между точками А и С и точками Ау и Су - дозвуковыми. Очевидно, что нормальная к контуру крыла Рис.
21.5 122 Рис. 21.6 Рис. 21.7 составляющая скорости газа боль ше скорости звука у сверхзвуковых кромок и меньше скорости эвукау дозвуковых. Огибающая всех конусов Маха, которые начинают в точках сверхзвуковой передней кромки крьгцв> образует передний фронт возмущений, вызываемых в потоке крылом. Перед этим фронтом набегающий на крыло сверхзвуковой поток не возмущен. В плоскости х, У воэвозмущенная обнасть ограничена спереди сверхзвуковой передней кромкой ААу н выходящими нз нее вниз по потоку характеристиками АА' н .4у А~' (рггс.21.З).
С залней кромки крыла ЯЗу вниз по потоку сходит вихревая педена, ограниченная прямыми ВВ Ф и В~ Вг у пврвллельныкги нвправпению набегающего потока. Будем обозначать площадь проекции крьша через Яо, область между характеристикой д д (Дг дГг ) кромкой хрыла ЯВ (АгВ1) и краем вихревой пелены ЯЯ' (Д Д„') через 7 ( Tг), вихревую пепейу — череэ$К Представим потенциал скорости в виде Согласно сказанному ранее, для определения потеншгвла оо по этой формуле область интегрирования Я, в которой необходимо знать ( $, () ( ) ограничена неравенством (21.15), Следует различать несколько характерных случаев расположения об- ласти интегрирования Я. В первом случае область Я расположена целиком перед фронтом возмущений (рис.
21.7, кривая 1). В остальных трех случаях область (21.15) пересекается с возмущенной областью: во втором случае только с поверхностью крыла Я„(кривая И),в третьем случае (кривая Ш) она захватывает и одну илн обе области Т( У~) между характеристи- кой АА ' гАгАг) и краем пелены ВВ (ВгВк) наконец, в четвер- том случае (кривая 1У) область 5' захватывает и часть вихревой пе- лены Иl.
В первом случае в области 8 гну(.Ф 0~ 4')=О тах что потегнциl ап возмущений ~ равен нулю. Во втором случае величина ~~~~, в области интегрирования известна из условия обтекания профиля. В треть/ ем и четвертом случаях ~~у~, о в области о заранее известна толь- ко в точках проекции крьша; дпя использования формулы (21.16) необхо- 123 За точку х', а.
можно принять, например, точку пересечения продолжения характеристики АА' с осью л: тогда и = О. Так как Хй~ сЮ~= ( ' .) сИс~й-2 пс~Ый ЫЖ,Ю Р то вместо уравнения (21.17) в новых переменных подучим Яя (21.18) Пусть уравнение сверхзвуковой передней кромки крыла Д Д в новых переменных есть М~= ~(Х1), а уравнение дозвуковой передней кромки крыла АВ есть У ~ Я~ (ХД. Тогда уравнение (21.18) можно переписать в виде % яг эг ЯкЖ.) г ф ~К«Ф= — ~~Ух ~- ~ у, э ясак) о яА) Иначе Хс аю 8Ф~) Это уравнение представляет собой уравнение Абеля относительно функции в квадратных скобках с тождественно равной нулю правой частью, Из него следует, что прн У~ ж~ выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. Я~ (х~~ 8(ху) Это соотношение есть вновь уравнение Абеня, но уже с не равной нулю правой частью.
Опуская промежуточные выкладки, приведем ферму лу обращения этого уравнения. / Отметим, что согласно этой формуле ~Ру при прибднжении к дозвуковой кромке А.8 растет неограниченно как — где Ю - расстоя- ЪЯ™ иие до кромки. Зная )ф~л:~О~ И) в обювсти между характеристихами АА и ВВУ~~ можно найти цотенциал ~Р в тех точках пространства, дпя которых область интегрирования в формуле (21.16) захватывает поверхность крыпа н область 7 (на рис. 21.0 эта область .ограничена гиперболой П! ). Интересный результат, который мы приводим без вывода, состоит в том, что в выражении для потенциала возмущений части интеграпа по 126 площадям Я~ и Я~ на рис.21,0 взаимно уничтожаются, так что потенциал определяется при этом формулой где Яэ - часть площади крыла, от- еченная на ис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
