Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так при обтекании профиля сверхзвуковым потоком согпасно закону подобия Аккерета Д ъ7ууи:7/' ' Отсюда следует аснмптотический аид функ»ши р (Я) в формуле (22.6) при больших В частности, для клина, с4гт»И = 2, На рис. 22.9а эта аснмптотическая зависимость приведена в виде пунктирной кривой. В случае, когда скорость набегаюшего потока точно равна скорости звука, т.е. Ж = 1, соотношение (22.6) запишется в виде с (У+4'' о) откуда следует> что при 2'.» 1 сопротивление профиля из данного семейства аффинноподобных профилей пропорционально его относительной толшине в степени 6/3.
Ранее мы видели, что для свеохзвукового и»>- тока в линейной теории сопротивпение профиля пропорцнонацьно второй степени его относитепьной толщиньг, в дальнейшем 18 23) будет показано, что цри очень больших сверхзвуковых скоростях сопротивление профиля пропорционально третьей степени его относительной терцины. Перейдем к изучению некоторых свойств течений с переходом через скорость звука, Йокажем сначепа необходимую для дальнейшего теорему о том, что если в плоском потенциапьном потоке двигаться вдоль изотахн - линии 136 постоянного модуля скорости (и постоянных значений >У )> не совпадающей с линией тока> то вектор скорости будет поворачиваться монотонно.
действительно, запишем тождественное соотношение Я~'У,Ъ') Ы('Ж,Ю Я('х', Ю /д9 ~ /~1~ Э~х, у) З(х, У) Э~-.с, у) ~ д.с/„~ дф Рис. 22,10 так что Отсюда При изменении положения точки ("> на прямопинейном отрезке А>ю точки .Р и Р„. на звуковой линии смещаются, причем с> С(> "ЫУр О.
Так как вспедствие теоремы о монотонности изменения угла У вдоль звуковой линии знаки с>, с>о и >кб>о совпадают, то Уо и Уу> остаются при изменении положения точек .Р и Я~~. постояннь>ми. Согласно уравнениям (22.8) при этом должна быть постоянной и скорость Ч~~ во всех точках прямолинейного участка границы. Но 136 Согласно выражению (3.11) левая часть этого соотношения при Ж ~ 1 не отрица- Гаа1 тельна и, следовательно, знаки [ — ~ и ~~ †/ одинаковы. Поэтому (рис.
у >)м '1г~ 1> >> 22.10), если двигаться вдоль линии 1> = 1/ =сс»>Ы так, чтобы область 'Ь>ь1/и 'р'( 1>» оставалась, например, слева, то вектор скорости будет поворачиваться по часовой стрепке. Этот вывод справеппив, в частности, дпя звуковой линии, на которой ~=Ук>р. Еспи течение с обеих сторон звуковой линии дозвуковое нпи сверхзвуковое, то Р д >>>' на такой линии У= а»»Ы и — 1-=>р, т.е. линия является эквипотендиалью.
Рассмотрим теперь местную сверхзвуковую зону> примыкающую к обтекаемому контуру, с непрерывным течением в ней. м.У Покажем, что это непрерывное течение А а в может разрушиться при сколь угодно малом изменении обтекаемой границы и,в частности,при замене малой ее части отрезком прямой Я Я (рис.22.11 ) . Возьмем на Рис. 22.11 участке Я Ц точку ь). Выходящие нз этой точки характеристики С и С"" пересекают звуковую линию в точках > и Р~ .
Вдопь характеристик справедпивы, соответственно> соотношения тогда из соотношений (22.7) следует, что в характеристическом треугольнике А В С течение однородно, так что к нему примыкают волны Прандтля-Майера. Рассмотрим для определенности волну, примыкаюшую к характеристике Л С. Эта волна должна примыкать к звуковой линии вдоль прямой характеристики Р Р~ > на которой к'> = 1, Но в волне Прандтля-Майера характеристика, на которой »> = 1> является двойной> т.е.
никакая характеристика ОР другого семейства не может ее пересекать на участке Р~~ У~~ . Полученное противоречие доказывает невозможность непрерывного течения в местной сверхзвуковой зоне около границы с прямолинейным участком. Отметим> что если участок границы АВ вогнут в сторону потока ( >ко>» з" О при движении вниз по потоку), то д9р >>' с~Я = ЛсКУ -(„-~) — ' —;~ — ~ + —,=О.
У д д~ д (р У р дх дх~ ду~ (22,0) Нетрудно проверить, что это уравнение имеет точное решение Здесь вел>чина с пропорциональна ускорению газа в центре и /ди '> равна С = — ~ — у = ~„„~о~,/ ' Можно показать ( 5 ), что это решение является главной частью степенного резложения решения точного уравнения для потенциала возму шений скорости (в том числе и для несимметричных относительно оси .х течений) по координатам вблизи центра.
Из выражения (22.10) получаем =к. ~с Ь. Ю у~" ° д;У T ~(у. ч-1) с ху.+(у+~) с (22.11 ) На звуковой линии к1Р = О> так что ее уравнение есть уравнение параболы 137 что противоречит теореме о монотонности ( ~Юр ~ О и с~>9~> ~ О ). Следовательно, непрерывное течение в местной сверхзвуковой зоне около контура с вогнутыми участкамв невозможно. Изучим теперь течение в окрестности центра околозвукового течения, предполагая составляющие скорости трижды непрерывно дифференцируемы ми функциями координат. центр течения поместим в начало координат, 'а ось ,х направим по скорости в этой точке. Ограничимся случаем те чения, симметричного отнсситечьно оси т , и примем, что ускорение газа в центре конечно и не равно нулю.
Уравнение (22.1) для потен циала возмущений относительно скорости в центре примет вид г х=- — Су г (22.12 ) Уравнение линни, на которой скорость направлена вдоль оси с х т.е. линии, где ту - О, есть х=- — су (22,13 ) Найдем, наконец, уравнения характеристик С н С, проходящих через центр. Из уравнения (22.9) и выражения (22,11) для ы следует, что характеристики определяются уравнениями Ф б ) 'Ф /' ~~х~ / 1 «)г~г.й~- ~~Р Решениями этих уравнений, удовлетворяющими условию ж~ОЭ.
О~ также являются параболы х= су 8 э"'«г х= — — су . ф (22.14 ) (22,16 ) При этом С - характеристика Фс ' представляет собой участок параболы н-~,е ~~ !у (22.14) при у >. О и участок пврвболы (22,15) при ~( О. Соответственно, С - характеристика состоит у Ф из участка параболы (22,18) при у э О и участка параболы (22,14)- — и / при ~/ ( О. Таким образом, характеристики имеют в центре точки перегиба.
Линии, определенные формулами l (22.12)-(22.18) > изображены на рис, я / л 22.12.. Квк показывает сравнение зависимостей (22.12) для звуковой линии си (22.13) - для линии Ф О, звук<> ввя линия отклоняется вверх по течению от места наибольшего сужения Рис. 22.12 канала. Любую пару сямметричных относительно оси х линий тока рассмотренного течения можно принять за стенки сопла (рис. 22,13) н получить таким образом семейство течений в соплах Лаваля с переходом через скорость звука.
Можно убедиться, что все эти течении удовлетворяют околозвуковому закону подобия, аналогичному полученному ранее для обтекания тонких профилей. Установленное выше расположение характеристик показывает, что область влияния сверхзвукового течения на дозвуковую часть потока ограничена отрезками характеристик С н С, составляющими параболу (22,14).
Возмущение сверхзвукового потока справа от этой линии и, в .частности, изменение формы стенок сопла правее точек А и А«не 138 области между параболами (22.13) и + характеристиками (22.14) и третье ( 4. ~ 1) — области правее характеристик (22,14). г Таким образом, годограф сверхзву- I кового течения вниз по потоку от С и С характеристик (22,15) яв- 0 ляется трехлистным: области 3,1,5 плоскости течения отображаются на одну и ту же область плоскости годографа.При полном обходе центра в плоскости те- С чения область между С и С характеристиками в плоскости годографа проходится трижды (см. рис.22.15).
Рис. 22.15 Выше было изучено течение в окрестности центра околозвукового течения дпя случая, когда ускорение газа в центре конечно и отлично от нуля. Интересными и важными для некоторых приложений являются околозвуковые течения, для которых это условие не выполнено; однако, мы не имеем здесь возможности изложить соответствующие резупьтаты (см., напр., ( 5.1 ). В заключение отметим, что теория околозвуковых течений газа изобилует многими сложными проблемами, все еще далекими от полного решения. Х а й 23. Гиперзвуковые течения. Общие свойства.
Обтекание тонких тел. Законы подобия. Формулы Ньютона и Буземана (23.1 ) Так как скорость звука в газе по порядку величины равна средней скорости хаотического движения молекул в нем> то это условие эквивалентно тому, что в гиперзвуковых течениях кинетическая энергия элементарных объемов газа намного превосходит внутреннюю тепловую энергию и теплосодержание (последнее - так как отношение -~- тоже .Р имеет порядок квадрата средней скорости хаотического движения молекул). Йля совершенного газа с постоянными теплоемкостями отношение ки)/й нетической энергии единицы массы газа — к теппосодержанию Ср7' )Г~ у — 1 г равно — — М ,так что при ~ = 1.4 кинетическая энергия гаРср 7" Р за превосходит его теплосодержание при М = 5 в пять раз, а при Г1= = 10 — в двадцать раз.Ясно поэтому, что при выполнении условия (23,1) небольшие относительные изменения скорости газа (т.е.
его кинетической энергии) могут приводить к большим относительным изменениям теплосодержания и других термодинамических вепичин. Течение газа называется гиперзвуковым или течением с большой сверхзвуковой скоростью, если во всей занятой газом области (или в значительной ее части) скорость газа намного превосходит скорость звука в нем, так что выполняется условие Если условие (23.1) выполнено, но изменения скорости в потоке настолько малы, что термодинамическое состояние газа тоже меняется мало, то гиперзвуковое течение не обнарух>ивает новых характерных свойств по сравнению с изученным в предыдущих параграфах линеаризованным сверхзвуковым течением. Поэтому к гиперзвуковым тече пням относят лишь такие течения с большой сверхзвуковой скоростью, в которых существенно проявляются нелинейные эффекты.
Одной из основных задач теории гиперзвуковых течений является изучение обтекания газом тел при их движении с очень большой скоростью. Эта задача связана с потребностями развития авиационной и ракетно-косьшческой техники и с интересом к некоторым естественно-научным проблемам: входу и движению метеорных тел в атмосфере Земли,обтеканию Земли солнечным ветром и др. Первые ступени ракет для вывода на орбиты вокруг Земли искусственных спутников или для вывода на баллистические траектории межконтинентальных снарядов достигают в атмосфере чисел Маха до пяти и бопее. Спускаемые на Землю космические аппараты имеют при входе в атмосферу с околоземных орбит М ' 25, а при возврашении с окополунных траекторий Ч 35. Метеорные тела достигают в верхних слоях атмосферы значений >> 100.
Большие значения числа Маха ( '> 10-15 и более) имеют потоки в специальных аэродинамических трубах, предназначенных для изучения гиперзвуковых течений газа> а также истекающие в разреженное пространство струи из сопл ракетных двигателей верхних ступеней многоступенчатых ракет. При набегании на тело газа с типерзвуковой скоростью газ тормозится за возникающей перед телом головной ударной волной и в вязком пограничном слое у поверхности тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
