Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Лействительно, продольная составляюшая скорости возмушений имеет порядок ~у, а поперечная - порядок у . Соотношения (23.8)-(23.7) у У можно привести к виду (обозначив — ф тУ 6'): (233) Таким образом, и на стороне разрежения величины Р У о~ ~ е~ т у зависят не от трех определяюших постоянных параметров 'Р~ сбл , ос и )' (и независимой переменной ~ = фЮ,) а только от двух постоянных параметров Л Нанси и у (и независимой пере- менной — ) . д' <Х Имея формулы для расчета течения с обеих сторон плоской пластины, определим ее аэродинамические характеристики. В принятом приближении коэффициенты сопротивления Ст.
и подъем- ной силы Су пластины, отнесенные к ее длине, равны, соответственно Р Рк С„.- ~ ~ сС,. ~Ру у Р» Р8 Ся С -~ — 2-= —, — Рс'~4~ где индексами,Ч и 8 обозначены величины на нижней и на верхней сторонах пластины. Подставив вместо;о» и )О~ их значения по форму- лам (23.4) н (23.8) (последнее - при Ю- — ас ), получим 147 ГК 1 (23.9 ) а/г аов о.оч При росте интенсивности скачка уплотнения величина Кв меняется от единицы до бесконечности. Поэтому при Лн 1 число М за скачком имеет тот же порядок, что и перед ннм; если же Л8, то (23.11 ) т.е. и в этом случае прн малых углах ск число М зв скачком большое.
Выяснив на примере гиперзвукового обтекания плоской пластины под малым углом атаки основные качественные особенности течения и установив цор/дки величины возмущений параметров основного потока, из- 148 ь'-.~ При — К > 1 второе слагаемое в квадратных скобках следует счи- г тать равным. нулю.
Значения С~ в зависимости от угла втеки с(., полученные по формуле (23.9) при !' = 1.4 для нескольких значений М~ приведены сплошными линиями на рис. 23.4, Твм же пунктиром нанесены значения по линейной теории Аккерета. Видно> что с ростом числа линейный участок зависимости — — т — — / — -à — -- С от Ж уменьшается и в м,=о! ~ ! ' ! предельном гиперзвуковом тече/ с / 1 . нии (Х- ~ ) он исчезает совоы — -~- - — г ! Ъ ~ ~ сем. Формула (23.9) приобретает / при этом внд 3/ С~ ! С вЂ” =(р .,/) ск . / / оС о./о Лля сравнения нв рис.23.4 ! / / / / нанесена также зависимость С~ от о~ для другого предельн/» го случая Ж/ = 0 (несжимаемая / l / жидкость) о.ов -~) т / /из С~=Яям. 5 !1/ Подчеркнем, что коэффициент / / подьемной силы пластины резко сю уменьшается с ростом числау!уу ~// и становится при гиперзвуковых скоростях очень низким.
/ /'=/. Ф Найдем еще значение числа Я в потоке за скачком уплото Г / в в а" пения при гиперзвуковом обтекании мало нвклоненна$ пластины, По формулам (23.4) получим Рис. 23.4 лежим основы обшей нелинейной асимптотической теории мелых возмущений скорости при гиперзвукоэом обтекании тонких тел. Пусть тонкое тело ээродинамически совершенной формы (рис.23.5) помещено в гиперзвуковой поток гэза, направленный по оси щ .
Примем длину тела за единицу и пусть Ю малая величина, характеризующэя наибольший угол отклонения потока при обтекании тела, нэпример, в случае тела вращения,- его наибольшая относительная толщина. Представим уравнение поверхности тела в виде (23.12 ) В соответствии с оценками, полученными при изучении обтекания пластины, введем новые переменные по формулам т "=8~' ~ ~у= ч"су э Х= Х, У=СУ', У-Гб' (23.13) Подстввим эти новые переменные в основные урэвнения установившегося движения (1.2), (1.3) и (1.8) и отбросим в них члены порядке В результате получаем систему '1/' — -(- уу — + 1,у — = — — — ~=- . Я~~' гдгс' ~с7д' ~ ~.съ' д.х. ду' дК' .8 дж ' ~ — ~- й' — + и9 — = — — -~: ' дгР' ~дсу' ~до' У др' У дХ дУ' д2(' ,Р дУ' ' (23.14) Условие обтекания тела в общем случае имеет вид при У'(л:,~, Ф~)=0.
На головном скачке, в также на возмо1кных разрывэх внутри области течения должны бьггь выполнены законы"сохранения (2.3), (2.4) и (2.8). Преобразуем все эти соотношения 'с учетом сделанных предположений. Как следоввло из условий на головной волне, угол ее наклона к неправ- 148 Ю (' Ю. (23.18) 1У„.' = ( г~' )~ - О Р' =Р~ (23.20) Система уравнений (23.14) и дополнительных соотношений (23.15)- (23,20) распадается на две.
Одна независимая система служит для определения //, ./о и (д . Она состоит из четырех последних уравнений (23.14), которые после введения переменной Р =.с/4~~ примут вид дЪ ', М1' / дЪ" д6 ду/ Ю~' /0 ~ /. аиду-',о Г'= б; /у — -/' 7У вЂ”, -/-1д —,=О . 84 /8+ / 84- д6 ду' дк' (23.21) // / / Операторы с/киы и а(/.т9 берутся по переменным у/ н в . Эта система представляет собой уравнения нестационарного движения газа в плоскости ~'/ Я '. Условие (23,16) на поверхности тела принимает вид условия лепром текания газа сквозь контур У( К г/ ~/ К ) = 0 В плоскости ф/ Х / представляюший собой сечение обтекаемого тела плоскостью ж= 1~~~. Условия (23,16), (23.18) и (23.19) или условия (23.20) суть условия на нестанионарных поверхностях разрыва (скачках уплотнения или тангенциальных разрывах в плоскости ~Г, Х'~ величина Ю в них, равОУГд~ ная й .— есть скорость перемещения поверхности разрыва в плоскости ~ / и .
— / После нахождения из этой системы // / 1о и р первое уравнение (23.14) вместе с условием (23.17) на скачках уплотнения опредаляет величину возмушения продольной составляющей скорости и/, Нахождение сс можно упростить, если вместо первого уравнения (23.14) использовать интеграл 7~л 1,/. Я вЂ” -4= — ' Ю р я .Ф справедливый во всем потоке. Из него в принятом приближении следует что во всем потоке м' определяется соотношением р/Р ~/д / о/ 1/ м~-/.
+е'./- -=е + '- . (23.22) 131 В том случае, если поверхность есть тангендиальный разрыв, соотношения (23.16) и (23.18) дают условия на нем в виде р Г~оршен Рис. 23.6 Таким образом, задача о пространственном гиперзвуковом обтекании тонкого тела эквивалентна задаче о плоском неуствновившемся движении газа, вызываемом изменением в этой плоскости контура, который представляет собой сечение поверхности тела плоскостью ж=Ъ~е~. Наглядно эту эквивалентность можно представить (рис. 23.6), если рассмотреть фиксированную в пространстве плоскостФ у ', У', сквозь которую пролетает со скоростью (~~ по нормали к ней обтекаемое тело. Сечение тела плоскостью ~г ~, в ' представляет собой поршень", расталкивающий в стороны частицы газа, К примеру, симметричное гиперзвуковое обтекание со скоростью Ъу тонкого круглого конуса с полууглом оС эквивалентно плоскому течению, возникающему при расширении в покоящемся газе круглого пнлиндрв, радиус которого растет по закону А= Ъ~~Ый.
— / С принятой точностью составляющая скорости частиц газа Ъ' в плоскости у', М', его давление и плотность определяются независимо из уравнений движения газа (23.21) в этой плоскости с состав ствующими дополнительными условиями. При необходимости из соотношения (23.22) находится возмущение продольной составляющей скорости, имеющее более высокий порядок малости. Эквивалентность трехмерного гиперзвукового обтекания тонких тел плоскому неустановившемуся течению называется иногда законом плоских сечений в гиперзвуковой аэродинамике.
Этв эквивалентность делает очевкдным подобие гиперзвуковых течений около аффинно-подобных тонких тел (23,12) с разными значениями к', Действительно, течение в плоскости у ' .е ' будет для разных тел одним и тем же, если при данных параметрах первоначально покоившегося газа (т.е. набегающего на тело потока), поршень, вызывающий движение в плоскости у', Х', будет изменяться со временем одинаково; для этого нужно, чтобы для разных тел была одной и той же величина Ь~ т. (более тонкое тело должно двигаться с большей скоростью и наоборот).
Сформулируем закон подобия. Система уравнений (23.21) с условиямн нв поверхностях разрыва (23,16), (23.18), (23.19) или (23.20) и условием нв поверхности тела ьУд= Э при Уш(1~1, у', у'), в также уравнение (23.22) определяют и', е, р', р в зависимости от ~,у~' У' н постоянных Уе, 1ое,,О~ и у или — в безразмерной форме— зависимость —, —, р-г, „— от У~1=Х,у, х~ и посто- г янных и 3" Р~ ~ К~~ Таким образом, при гиперзвуковом обтекании аффинно-подобных тел Г 'У К~ .~ -Ък ~У Ы с уравнением контура 5~~ ~х, ~ ~ ~ — -у=О значения р —.у-, в соответственных точках (т.е.
прй равных 4К я' ~ .Рм и ж,.ф., — ) одинаковы при равных значениях величин Нт и у . Параметр К- Ф~ называется параметром гиперзвукового подобия, Используя установленный закон подобия, вычислим суммарные силы, действующие со стороны потока на обтекаемое тело. Сила, действующая на тело в направлении набегающего потока, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
