Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Зти автомодельные решения вновь могут быть построены с помощью сердцевидных кривых, т.е. кривых, соответствующих ударным полярам и (в случае возникающих волн разрежения) кривых, соответствующих простым воинам, в плоскости Ю,)с. Однако, как и в случае пересечения ударных волн разных направлений,при пересечении волн одного направления автомодельные решения существуют не при всех значениях параметров набегающего потока (при р 1.4 для ~'.~ >- 1.305) даже если течение за вторым скачком / сверхзвуковое.
В таких случаях второй скачок расщепляется в точке О (рис.15.9), не доходя до геометрической точки пересечения, образуя тройную конфигурацию из одного приходящего и двух уходяших скачков, -Рис. 15.8 При пересечении отходящего от точки расщепления О ' махового скачка с первым скачком в точке О" образуется еше одна тройная конфигурация - два приходящих скачка сливаются в один. От точек О и О отходят контактные разрывы О 1' и О А . В области за маховым скачком О О ~ течение дозвуковое; этот скачок, как и отраженный скачок О 5 и линии контактных разрывов, искривлены. Возможно, что течение в окрестности точек О и О не является локально автомодельным. Подчеркнем, что эта неавтомодепьная система вопи мало изучена и теоретически и экспериментапьно, Рассмотрим, наконец, пересечение скачка уплотнения с поверхностью контактного разрыва.
В этом случае Рис. 15.9 Рис. 15.10 автомодельные решения могут существовать лишь в том случае, если течение с обеих сторон контактного разрыва направпено в одну сторону и явпяется сверхзвуковым в обоих невозмушенных потоках и за падаюшим скачком (а также н в рассмотренных выше предельных случаях отражения скачка от свободной поверхности и от твердой стенки). Очевидно, что проходящее (препомленное ) возмущение будет всегда скачком уплотнения, отраженное же возмущение может быть и скачком уппоткения (отражение от более жесткой" среды, рис.,15.10а) и цент рированной волной разрежения (отражение от более 'мягкой" среды, рис.
15.10б).'Автомодельное решение и здесь удобно строить, используя те же кривые в плоскости У, -с,что и в предыдущей задаче. Если течение по другую сторону контактного разрыва дозвуковое илй если скорость дозвуковая за падающим скачком, то автомодельного решеняя задачи нет, неавтомодельные же ее решения изучены мало. Из изложенного в настоящем параграфе следует, что в стационарном двумерном потоке задача, аналогичная задаче о распаде пронзводьного начального разрыва при одномерных неустановившихся течениях, далеко не всегда имеет решение. Ф 16.
Осесимметричйые простые волны. Сверхзвуковое обтекание круглого конуса Подобно простым волнам в плоском установившемся потоке (течениям Прандтпя-Майера) существуют также осеснмметричные течения, в которых компоненты скорости и и и (или значения ~' и Ю ) связаны определенным соотношением. Как и течения Прандтля-Майера, этн осесимметричные простые волны являются баротропными (в частности, изэнтропнческнми) потенциапьнымн течениями.
Однако, в отличие от течений Прандтпн-Майера, осесимметричные простые волны могут быть лишь автомодельными, т.е. параметры газа в них постоянны при ье (в цилиндрической системе координат с расстоннием вдопь оси симметрии х и расстоянием от осн симметрии пн ). Осесимметричные простые волны называются течениями Буземана; очевидно, что они явпяются частным случаем конических течений. При изучении течений Буземана удобно наряду с ппоскостью течения ю у испопьзовать плоскость топографа та И-, в которой простым волнам соответствуют отрезки кривых Ф- - и:фа")— Найдем уравнения, которыми описываются осеснмметричные простые волны.
Введем в полуплоскости течения ф ) 0 полярные координаты т у (Ож ~Р < Я ) ° отсчитыван угол у от направления оси з Из уравнения безвихренностн ~"- ~"=о Ух Р~ считая та и б' функциями одного только ~р, подучим (16.1) (16.2) Отсюда следует, что направление луча (р =на'.яйся в плоскости течения, на котором компоненты скорости равны м б," совпадает с направпением нормали к кривой Ф ф~Ъ) в плоскости годографа в соотвеч ствующей точке (рнс.16.1). Для получения второго уравнения, связывающего ка И, воспользуемся уравнением неразрывности (1.22). Считая в нем и и п~ функциями (н и используя уже полученное уравнение (1 6.1), найдем пх'м А/ — = а~и (16Л) где Фа а — ( РСж ~ — и жа (~) Л'= а~ — г~~ и и = тя.сзэ-р — и жатву~ есть составляющая скорости гР~, нормальная к лучу (Р - СО~4-с Заменив в этом уравнении с~ и сЛР с помошью (16.2), получим одно уравнение второго порядка, определяющее связь гУ-- = ь'(Ы в течениях Буэемана.
~и+ и и')~ туи"= т "еУ а~ аг (16.4) Рис. 16.1 Здесь штрих обозначает производную по ка. Каждому решению уравнения (16.4) соответствует автомодельная осе- симметричная простая волна в плоскости течения, так как при извест- ном решении тт= гУ(са) из уравнения (16,2) находятся зависимости м и Ф от ~ - Прн этом для однозначности решения в плоскости течения кривизна интегральной кривой Ф= и-('м) не должна менять знак на рассматриваемом ее участке. Изучим наиболее интересные течения с осесимметричными простыми волнами, Рассмотрим течение, непрерывно примыкающее к однородному посту- пательному потоку вдоль конуса уд = ~о~.
При у.=4д~ -ю Ту ~0, Ф' = О. Из уравнения (16,3) следует, что при к~- = О должно быть 4~М 4~= О (иначе у = О при )~= ~~ и течение продолжается за конус с~-(Р~ как одноРодный постУпательный поток ы 1у ~ с" = О),т.е. ий — Р'~ыю~"' = О. Это равенство показывает, что непрерывное примыкание простой волны к поступательному потоку возможно лишь при сверхзвуковой скорости ( Ъ~ ) и~ ) и линии ~- ~~, как и следовало ожидать, суть акусти- ческие характеристики.
Действительно, угол Паклона этих линий определяется равенством (~к .фс ю ~ау = — = — Фью му (16Л) ( п~ - угол Маха набегаюшего потока) и характеристические соотношения (1.27) вдоль них выполнены, так как ж=$~~-ааааа~ и г~ =О, Таким образом, простая волна может непрерывно примыкать к сверхзву ковому поступательному потоку вдоль обрашенной назад (по потоку) и4н вперед (против потока) характеристики. Изучим эти два случая течения. Точки м 1'г ® з~), х~-О являются особыми для уравнения (16.4). Вдоль каждого из двух направлений, определяемых формулами (16.2) и (16.6) ('"-).== ф " Ф из каждой такой точки выходит однопа- раметрическое семейство интегральных У У' кривых, имеющих, как показано ниже> а> одинаковую кривизну (рис.
16.2), Дифференцированием уравнения (16Д; по >» с использованием соотношения >7 (16.1) найдем> что при (»- (>Рг Ц ~(Ю ~. )~.3 . з ея>Ф 4 г >91>у>>»>>чн>> >2 и (тп- 2) К Ф>~» Рис. 16.2 аг »> (16.6) УРв' Здесь >и - — так что для совершенного газа >л ° Л,)' -.> .
Р~ Йифференпируя (16.2) по та, полагая )>'= ~'у и используя выражение (16,6) для Ыу г получим (" ) (~~Я)/1~ ф у>~ О~ Пусть (Ф~ (~ т.е. простая волна примыкает к набегающему однорож ному >ютоку вдоль обращенной по потоку характеристики и продолжается, следовательно, в сторону уменьшающихся значений о> (рис.16Л). Тогда -с~~г ~ О, т»у и ) О, Л~~>г ( О, т.е. в волне © растет, а тР убывает, т.е. по модулю тоже растег (т.к.
г» = О). Таким образом, вблизи начального конуса простой волны скорость газа возрастает, а давление и плотность, следовательно, уменьшаются. Величина Л~ -2~в возрастает, так что нормальная к лучу составляющая ско- И Л рости газа становится дозвуковой. Эти свойства сохраняются и далее в волне, т.е. в етом случае простая волна есть волна разрежения. Однако, можно показать, что течение может быть продолжено лишь до некоторого 1>>' ~щ > 1-~»' ~~~~у>~,прн котором кривая в>-гу~ю) имеет точ ку, где ~ у О. При этом значении ~> > как следует иэ уравнения (16.4), а, -ь» -О > так что линия о>= ~~~ имеет характернстическо> » Л 70 Рио.
16.3 нацравпение. При приближении к ней производные х) ограниченно возрастают по величине Найденную простую воину можно использовать дпя построения части течения около тела вращения в виде кругового цилиндра, который, начиь нэя с некоторого сечения, постепенно сужается по специальному закону (на рнс,16.6б контур такого теда заштрихован). Отметим, что найденную осесимметричную волну разрежения нельэн соединить со следующим за ней потоком с помощью конического скачка уплотнения, так как в волне нормальная к лучу у~ - вожака составляющая скорости дозвуковая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
