Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этом течении,7 ~Дг', Ю)=астьЫ от Угол з' при движении вдоль стенки уменьшается, так что скорость возрастает (с~И и АКР имеют разные знаки). Следовательно,давление вдоль стенки уменьшается и течение Пранлтлл-Майера есть течение разрежения> в котором (при обычном предположении о свойствах газа) прямые характеристики образуют расходящийся пучок.
Так как угол Ю в каждой точке обтекаемой стенки известен, то согласно (11.1) известна и скорость, Зная угол Ю и величину скорости 1' можно определить угловой коэффициент прямой характеристики первого семейства, выходящей из данной точки. Параметры потока во всех точках характеристики одинаковы — те же, что и в точке ее пересечения со стенкой. В аналитической форме решение можно подучить, если в общем выражении у- х ф(У+р)=7( Й (11.2) определить вид функции Э'(й ° Для этого нужно выразить координаты и Ж точек стенки в функции угле Ю подставить эти функции в выражение (11.2), а затем заменить всюду в этом выражении Ю функцией Д согласно формуле (11.1). 11ля совершенного газа с постоянными теплоемкостями легко подучить решение геометрически, используя диаграмму эпициклоид в плоскости годографа. Очевидно, что образующееся при обтекании криволинейной стенки течение Прандтпя-Майера соответствует отрезку эпициклоипы второго семейства, проходящей через точ(су ( Ъ~~, О ) плосхости годографа, соответствующую заданному невозмущенному потоку (рис.11.2).
Движению вдоль стенки вправо соответствует движение вдоль эпицнкпоиды от точки ( 7;, О) в сторону уменьшающихся значений 1)). При этом вектор скорости с началом в центре плоскости годографа и концом на эпициклоиде поворачивается по часовой стрелке. Нормаль к эпициклоиде в какой-пибо точке дает направпение в плоскости течения характеристики первого семейства в точке обтекаемого контура с тем же значением угла У (ось и у=0 в плоскости х, у и, ось Р ~= 0 параллельны). Рассмотрение рис.11.2 показывает, что при данной начальной скорости 1У~ при адиабатическом течении совершенного газа существует предельный угон поворота потока вдоль стенки, при котором скорость й становится равРис.
11.2 ной максимальной скорости Ъ' стационарно- го течения газа, давление падает до нуля, а характеристика первого семейства совпадает с линией тока (угон Маха ~И О, так что ф(У+~я)=~У). Если стенка искривляется на угол, больший этого предельного угла, то газ отрывается от стенки и между прямопинейной границей области движущегося газа и стенкой образуется вакуум (рис,11.3). Очевидно, что с ростом начапьной скорости )'~ предельный угол поворота уменьшается. Наибольшее его значение соответствует звуковой скорости невозмущенного потока Ъ~ = Р~о и равно (~ — "'- ~ у --~~ — что при г = 1.4 составляет 130, 48 .
/~Г ~ уг о Если после искривленного участка стенка вновь становится прямолинейной, то за прямолинейной харектеристикой, замыкающей течение Пранд- 48 тпя-Майера, поток вновь становится однородным. Если уменьшать протяженность криволинейного участка, сохраняя неизменным угол поворота потока вдоль него, то в пределе, когда стенка будет состоять из прямолинейных участков, образующих выпуклый угол, течение Пранптпя-Майера станет центрированным (рис.11.4). Это же решение с центрированной водной / Прандтля-Майера .можно использовать, есин считать, что прямолинейная стенка, вдоль которой движется со сверхзвуковой скоростью газ, обрывается в точке О, и газ истекает в область с пониженным давлением. Прямолинейную границу вправо от точки 0 следует при этом считать свободной границей.
При заданном давлении во внешнем про- О странстве скорость на свободной границе находится из интеграла Бернуппи, а угол отклонения потока в центрированной волне - из соотношения (11.1). В. частности, при истечении газа в вакуум угон отклонения свободной гранины будет равен предельному Комбинируя течения Прандтля-Майера Рис.11.4 и области однородного потока, можно конструировать разнообразные течения в каналах.
Один из примеров тахого рода приведен на рис.11,6, В этом примере гаэ паследоватепьно ускоряется в двух центрированных течениях Прандтпя-Майера, но так, что начальное направпение однородного потока и направление однородного потока после ускорения совпадают. В плоскости годографа (рис.11.8) начальному потоку соответствует точка А ~1~~, О), первой водне Праидтля-Майера - дуга эпицикпоиды АВ, второй воине Прандтпя-Майера дуга эпипиклоиды ВС; точка С( У~ 0 ) этой дуги соответствует конечному однородному потоку. Конечно, использование течений Прандтпя-Майера не позвопяет рассчитать сверзвуковое течение в канапе, у которого задана форма обеих стенок, так как решение, соответствуюшее этим течениям, содержит лишь одну произвопьную функцию, распоряжаясь которой можно удовлетворить условию обтекания только одной стенки.
Рис.11,3 Рис. 11Л Рассмотрим пример того, как рассчитывается сверхзвуковое течение в канале с заданной форме! обеих стенок. Пусть стенки канала вначале параллельны, а зэ тем начинают искривляться как показано на рис, 11.7, причем нижняя стенка обрывается в точке О, соединяя канал с обл,ютью с заданным постоянным давлением. Во входном участке канала поток однороден.
Требуется рассчитать течение внутри канала и после выхода из него. Будем при этом предполагать, что течение всюду непрерывно,т.е. в потоке не образуются разрывы. Так как левее точек А н А'~ поток однороден, то область этого однородного потока ограничена прямыми характеристиками разных семейств, Рис. 11.8 Рис.
11.7 идущими вниз по потоку из точек А н А~ и пересекающимися в точке С. В областях АСВ и А~ СуВу решения задач с известными данными на акустической характеристике и с заданной линией тока (см. 6 8, задача Ша) будут представлять собой течения Прандтля-Майера, причем из-за излома контура стенки в точке А~ часть волны Прандтля-Майера в области .4~ СЗ,~ будет дентрированной . По известным данным на характеристиках С3 и СВ~ найденных течений ПрандтляМайера рассчитывается течение в области ВСВ~Ы~ (6 8, задача П). В областях ЖЮ и Я~Я~Ог течение находится вновь ~йтем решения задачи Ша, затем, решая задачу?1, находим течение в четырехугольнике РХ'Руду и, решая задачу Ша, — в треугольнике Огай~~.
Таким образом рассчитывается все течение внутри канала вплоть до характеристики 1-го семейства ОУу, ограничивающей слева область влияния неизвестной заранее части гранины области течения свободной линии тока, исходящей из точки О, Если полученное при расчете давление .в в точке 0 (т.е, давление в этой точке при подходе к ней из области уже найденного течения и, в частности> при подходе вдоль характеристики ОЯ~ ) окажетсн совпавшим с давлением р, в окружающем пространстве, то течение может бьггь непрерывно продолжено вправо от характеристики ОК путем решения задачи !!!б, Если же ~о+уод. то из-за несогласованности условий на заданной характеристике ОУ~ и на отыскиваемой линии тока ОК течение в 80 точке О будет иметь особенность.
Прн,о>~од,, согласно сказанному ранее, течение в окрестности точки. О будет центрироввнной волной Прандтля-Майера и может быть описано аналитически в небольшой обнести ОЫ~ за отрезком Ой характеристики ОУ~, нв котором знв чедия параметров газа можно считать постояннымитс помощью полученных ранее в этом й формуп.
После нахождения течения в областях НЬЕН~ и Н~ КЙ~ (путем решения задач П и Ша, соответственн течение справа от характеристики .Ы$~ находится в резупьтвте решения задачи Шб, но уже при условиях нв этой хврвхтеристнке, соглвсовш ных в точке .Ч с условиями на продолжении. свободной линии тока ~УУ Если р ~ р,~,то непрерывное продолжение течения вправо от харей теристики О.У~ вбпизи точки О невозможно, О том, как продолжить течение в этом случае, будет сказано в конце 6 14 поспе того, как буд1 рассмотрены разрывные течения газа. и 12.
Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов Рассмотрим вновь обтекание прямопинейной стенки, которая, начиная с некоторой точки О (рнс.12.1) плавно искривляется вогнутостью в сто рону, занятую газом. В этом случае за однородным потоком, примыкаю;щим к прямолинейному участку стенки, образуется течение ПрвндтляМайера, в котором скорость газа уменьшается, а давпение возрастает. Это течение есть, таким образом, течение сжатиявн прямопинейные характеристики, образуя сходящийся пучок, неизбежно пересекаются ,,в области течения, Непрерывное решение задачи об сбтеканнн стенки и этом случае не существует: в потоке образуется скачок уплотнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
