Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 6
Текст из файла (страница 6)
задачи о струйном течении несжимаемой жидкости соответствует решение (5.4) задачи о сруйном течении газа. В качестве примера рассмотрим истечение газа иэ шелк в ппоской стенке (рис.5.1). Напомним решение этой задачи ддя несжимаемой жидкости. С помощью конформного отображения или методом особенностей функция иу 1'~) находится в виде „---ы ~' — -е).
Отсюда =н г-и(~-Л-~(г-к ф~ ), так что ~~ Яж „,,„=-~[в ~ — „[ ) г а/. , Постоянная Ф есть функция ширины отверстия, которая определяется соответствующим интегрированием. Проверим выполнение краевых условий. На стенках при о'=-д имеем уг=~— ~Ъ .у. улуг . р ) — 4 на поверхности струи при ~= ~~ имеем Т Са+,~~~— ФкгйджЮ=~'4упб), так что у — — ' при жуг Д У ) 0 и (1г — ' пРи У~О . Л Спедовательно, при истечении газа из шепи решение для р дается формулой (5.5) Рис. 5.1 ~30 (3.14), получим Я'-Я ~6~ Р 'дУ' В Ф= Д ~~Д )Р=7 .айаг Э т~ Подставив сюда выражение — из (6.6) и произведя необходимые д'Г преобразования, получим у' Х к" 5~ д Учитывая, что л' ~лбы ~=у~свй~Лп-У)д-сж~Ь| 4У/, ~г выполним интегрирование.
В результате найдем и-~ ~, й~~~,~„ж) а*И)"' 7~~1-г,)~~- л у ( лу ~®/ С другой стороны, расход бк газа в струе равен ~~=,РХ~ у Ы„~д"у. ~, Фял =Й-.)~' К.~. так что Найдем одну из наиболее важных характеристик истечения — коэффициент сужения струи, т.е. отношение ширины струи М на большом удапении от отверстия к ширине отверстия Ю. Лля этого проинтегрируем соотношение (3.8) от точки А нижней кромки отверстия (см. рнс.5.1) до точки кЧ лежащей на нижней поверхности струи в бесконечности.
Интегрирование будем вести вдоль граничной линии тока, так что в формуле (3.8) следует считать к~)уг = О, У~ Ру и, спеповатепьно, д ~' е'~ д(~ У ' Я ' ~ 4ГУ З А,~ ц ~ф К Отделив здесь мнимую часть и воспользовавшись' вторым уравнением Спедоватепьно, окончательно дпя величины, обратной коэффициенту сужения струи, получаем формулу ю „г я и~"5 ~~. «Й ~'г.~ 7 .у'пй-~ ~(- ура, ~'~~3-~ ' Легко показать, что при '7' -в О, т.е. в пределе, когде влияние сжимаемости на течение газа отсутствует, У~ Я 4 л 11 В нижеследующей таблице приведены данные расчета величины Н при ~ = 1.4 для разных значений Г.
1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0,12 0,14 0.16 6 ~Щ 0.611 0.823 0.638 0.860 0.666 0.681 0.698 0.717 0.738 0»745 31 С.А.Чаплыгиным было найдено также решение задачи о симметричном обтекании со сходом свободных поверхностей плоской пластины бесконечным потоком и струей ограниченной ширины. В последующих работах ряда авторов метод Чаплыгина решения задач о дозвуковых газовых струях был существенно развит и усовершенствованан. й 6. Приближенный метод Чаплыгина и его сеобщения Как уже указывалось, использование точных уравнений Чаплыгина для решения задач об обтекании профилей сжимаемым газом, о течениях внутри каналов с заданной формой стенок, для решения многих задач о струйных течениях газа представляет большие трудности.
В связи с этим широкое распространение получил приближенный метод решения линейных уравнений в переменных годографа. Идея этого метода бьща высказана самим Чаплыгиным и впоследствии была развита, в основном, в работах советских ученых. Вернемся к исходному соотношению (3.8) и следующим из него уравнениям (3.10). Входящие в коэффициенты этих уравнений величины Р' и р связаны между собой и с давлением 1о двумя зависимостями (3.1) и (3.2).
Примем, что )д, = 1, т.е. будем измерять плотность )о в долях р,, и введем дополнительно к (3.1) и (3.2) связь между уо,у, )~ и новой переменной э- посредством формулы с:Кй- я,(,, с~~~ э (6.1 ) где у — некоторая функция от Р или + вид которой пока не определен. Четыре величины р у ~ и э- связаны тремя соотношениями и, следовательно, любые три из них могут быть выражены через четвертую, Видом функции ~ можно впоследствии распорядиться.
Система (3.10) и уравнение (3.11) для функции тока -(д при использовании взамен К новой переменной э примут вид (6.2) (6.3) Здесь введено обозначение (6.4) Функция К называется функцией Чаплыгина. При любой связи между )о и ~3 эта функция положительна при дозвуковых скоростях и отрицатепьне - при сверхзвуковых, Отсюда следует, что уравнение (6,3) имеет элпиптический тип, если соответствующая течению область плоскости годографа лежит внутри окружности У (Уид, и гиперболический тип, если эта область лежит вне окружности К 1~ба. Если об- 32 ласть в плоскости годогрзфа содержит участок линии к - Ъ'ко,т.е. если в части области течения скорость дозвуковая, а в части - свер1сзвуковая, то уравнение (6,3) является уравнением смешанного типа - эллиртикэ-гиперболическим, Произвол в выборе функции у позволяет подчинить коэффншгенты уравнений (6.2) или уравнения (6.3) какому-либо одному условию и таким образом придать этим уравнениям удобный в том или ином отношении вид.
Так, при ф,= 1 получим Ж~ К ~Ф' ~9+ дУ (8,6) 8К = Лй дЮ дэ- и соответственно, — - ~/к —, д~ 8У 8~- Уравнение (6Л) запишется в виде — ~: — ~'+ — — К К вЂ” ~-О д .~~ д д~~ дУа Л Ы4. д+ д» а~ д~- дУ (6.6) (8.9) а связь э с другими переменными выразитсн формулой ог Ъ' 'и При»г»г > 1 обозначим К = -К», полагая у 'МК~, получим каноническую форму уравнений для сверхзвуковых движений'.
(6.10) ~~» дУ д~г д д дик дУ» д+ д+ (6.11 ) д' 8'~ ~ Ы З„, 6 к — -о. дУ~ дэ=л Л гг1' +» дФ Связь + с другими параметрами деется формулой сй- У ю=г Ж (8.13» Уравненйя '(6.11) легко преобразуются к характеристическому виду аг зе»яр~ у у укэн) (6.6) Переменная 4. определяется при этом соотношением ~й- (6.7) Если всюду в области течения Ма. 1, то, приняв ф= 1Ж можно придать уравнениям (6.2) так называемую каноническую форму гшя дозвуковых движений с характеристическими направлениями, опредецяемымк условиями да— +~ ЫЮ Эти соотношения можно проинтегрировать и ввести характеристические переменные б и 'и по формулам +-о1 ГХ + гЮ Л р.
В характеристических переменных уравнение (6.12) примет вид — ~'- - — — б К, ( — ~ — ~'-~ = О. а' ~ ы Ф а даду Ф <й у (дх ду,l (6.14) Для адиабатическнл движений совершенного газа связь между + и '(/'Л скоростью 1Г ' илн переменной Чаплыгина т. —, согласно формуле (6.7), имеет вид ' ы. ,г = Х ~'й-е)~'-у— =г а функдия Чаплыгина К определится в зависимости от к. спедуюшим образом (6.16) На рис.6.1 приведен вид зависимости К от относительной плотности дпя еднабатических течений совершенного газа. .Ро Основная идея излагаемых ниже методов получения приближенных решений задач об адиабатических.движениях сжимаемого газа с помощью 34 Аналогичное уравнение можно подучить для потенциала скорости. В урав- нении (6.14) коэффициент при первых производных есть определенная функция от 4- аь ~-у .
йля несжимаемой жидкости при выборе ее плотности в качестве масш-~ таба плотности у)„получим,согласно формулам (6.4) и (6.7), К = 1 Х и Ф вЮ вЂ , ~ где Д~ - некоторое характерное значение скорости, зу при котором + О. Уравнения (6.6) обратятся при зтом в уравнения Коши-Римана г)~ о) а~ в~ м =а+ о~ =ою. (6.16) Общее решение этих уравнений имеет вид 4 -.У=~~'Ф+ .), где ~ - произвопьная аналитическая функция.
Если ввести комплексный потенциал ЬГ у~. ~'~~у и переменную 4' Е "~'р 44~ — Е то это У~ решение можно записать следующим образом (аГ -51 й;) . Из выражения (3.8) в рассматриваемом случае получаем связв между комцлексной переменной 4 и комплексной координатой М в плоскос- ти течения несжимаемой жидкости: ЫЬ1 Ым К уоавнений Чаплыгина (6.6) состоит в саедуюшем. ы Вид коэффициента Л (у)' в уравнениях (6Л) и внд зависимости у- ( р') связаны а р с видом соотношения 13 =~с ~ уо) „Можно по этому пытаться, меняя в допустимых пределах -И в требуемом диапазоне значений р физическую зависимость 0~р) т.е. меняя нескдпьхо принятую модель газа, так изменить вид функции К®, чтобы уравнения (6Л) ста- -Ю пи математически возможно проще, т.е.
ста- ли более доступными дпя решения. -м Запишем выражение (6,4) ддя Х в виде у~~~ Рис. 8.1 к- — !'у- -а— ж 1 фР Отсюда, рассматривая это соотношение как уравнение для определения зависимости 10~~~, получим У~ ~~~~, Е Г0 г,11 (6.17)~ таким образом, при заданной фунхпии Х~у) зависимость ~0(~0) содержит две произвольные константы. Соответствующим выбором этих констант можно обеспечить, например, совпадение при некотором значении ~0 10» значений 10 и р0~(ф в адиабатической зависимости )0(02 и в той, которая соответствует принятому выбору Я (у).
Рассмотрим некоторые наиболее важные примеры нспопьзования описанного метода, получившего название метода аппроксимации адиабаты. Первый пример принадлежит самому Чаплыгину и называется приближенным методом Чаплыгина. При малых значениях г ипи числа Маха Ж функция К дпя адиабатических течений близка к единице. Разпагая правую часть выражения (6.16) в ряд по степеням е, подучим Х= У-'~ — аГ~"' = У ~ + - ° У З+1 9х)' ' Ф Даже при ~Ч =ОЛ отличие К от единицы при р 1.4 составляет менее 0.04. Положим, как это было сделано Чаплыгиным, Л 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
