Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 2
Текст из файла (страница 2)
~~,~~.) = г~б~. (1.9) Константа в правой чести этого интегрвла может быть резной на резных линиях тока, Соотношение (1.9) позволяет выполнить интегрирование в интегреле Бернулли (1.7), так кек дает необходимую для этого связь > -,~'б' ~) С помошью термодинвмического равенства Тсй = сЫ вЂ” — ~- Ы р (! .10) и соотношения (1.8) условию (1.6) вдоль линии тока в случае адивбатических течений можно придать вид 4~ — ч 6И =Оу ~/ Я (1,11) так что для таких течений интеграл Бернулли можно заменить интегра- лом Прн преобразовании использовано соотношение (1.8) н то, что для ба- ЯР ротропных нлн адиабатнческих течений вдоль пинии тока л~р= -сф ЯР ~~о причем в первом случае производная вычисляется по известной д)О связи между )О н )О а во втором, в силу условия (1.8), производная у- вычисляется при постоянной энтропии.
Яо а9 Таким образом уравнение неразрывности для установившихся движений можно записать в виде а'уйи й — — — =О. с~ У~ 6~И (1,18) Пользуясь выражением для а~ото в произвольной ортогональной системе координат, для двумерного двнження получим зр~~~„, а ~l~ ~,,"~ч аф„у" д.х: Рж -' а дж Му ~З ДлЯ плоского двнженнн Ж~ Ф~#~ ~~'кя Е~ Р Уля У з 11 для осесиммеунчного движения ху-х, хл=~, .хз" тР, у« ~р~ = 1, раз -у; дпя конического движении ~с~ - у (шнрота), ~я=,(, (долгота), зсл- к> Р„,-~~, 4,,~= кЯсж~У, Р,з-1., 8 В дальнейшем мы, в основном, будем рассматривать двумерные установившиеся движения: плоские, осеснмметрнчные, конические.
Движение называется плоским (плоскопараллельным), если существует такая прямоугольнан декартова система координат ( х', ~, М ), в которой параметры газа не зависят от одной нз координат (напрнмер, я) и компонента скорости в направлении этой координаты равна нулю. Осесимметричным движение называется тогда, когда существует цилиндрическая система координат ( Ж, ~, И' ), в которой параметры потока не зависят от угловой координаты Р. Мы будем рассматривать осесимметрнчные течения, у которых компонента скорости в направления изменения угловой координаты равна нулю (незакрученные осеснмметричные течения). Движение называется коническим, если существует сферическая система координат ( К, у~, Л ), в которой параметры движения не зависят от радиальной координаты к (еслн прн этом параметры газа не зависят н от одной из угловых «оординат - долготы Л ~ то коническое движение будет одновременно осеснмметрнчным).
.В случае плоского движения достаточно рассматривать поле параметр ров потока в одной нз плосхостей течения, в случае осеснмметрнчного двнження - в одной нз плоскостей, проходящей через ось соответствующей цилиндрической системы хоординат, в случае конического движения — на одной из координатных сфер соответствующей сферической системы координат, Уравнение неразрывности (1Л) для установившихся движений можно переписать в виде Лля плоских ( У *' 1) и осесимметричиых ( 'Р 2) движений уравнение (1,18) имеет> таким образом ° вид (1.17) Это уравнение можно рассматривать как условие того, что выражение в правой части соотношения (1.18) есть полный дифференциал. функция ~к~х,у) называется функцией тока, При этом (1.19) Очевидно, что функпня тока любого течения определена этими соотноше- ниями с точностью до аддитивной постоянной, Из определения (1.18) следует, что функция тока сохраняет постоян- ное значение вдоль линии тока, Рассмотрим (рнс.1.1) две близкие линии тока н элемент сО~Ях,сф) пересекающей их кривой.
Из построения ясно, что 4я И $ ( т:и) Ыпс -Мсж(~ 4) где и - нормаль к элементу с~В. Таким образом, резность значений функции тока в точках А» и Ах равна движений можно придать форму; »= бф3 + Х= М.ф~). (1.20) (1.21) 8 При э~ 1 величина рИ' Я есть, очевидно, расход газа через элемент кривой А~А» между двумя линиями тока в слое единичной толпш- н~ . При 9 *' 2 произведение ~~~~е ......,, У и ходу газа через кольцо, образованное вращением элемента А~А» вокруг оси симметрии; назовем эту величину тоже расходом.
А Таким образом, расход газй » ~ЕА, между двумя линиями тока равен разности значений функции тока на этих линиях. ~/+ ф х в у Фу д янна, интегралам (1.8) и (1.12) вдоль линии тока для двумерных Рис. 1.1 плоских или осесимметричных Преобразуем уравнение неразрывности (1.17) к виду — + — +6-~) — + — — = =О Ри Рс~ и У с~~ дх д~ р Ы~ Отсюда, пользуясь выражением (1.14), получаем (а -и ) — — и и( — — — ~- Са~ — о~) — -~-(1г-У) — -О. ди /ди дг>1 ~ ди- И дх (ду дх~~ ду- Так как входящую в это уравнение скорость звука а можно считать функцией термодинамических величин ж и я то, согласно выражениям (1.20) и (1Я), я зависит определенным образом от суммы Юа+т~д и - через функции ю®) и ~ ф~)- от у.
Йля совершенного газа с постоянными теплоемкостями эта зависимость имеет, следующий вид и~+а ~ а )~о ~~) э (1.28 ) и не содержит я~р). Если при этом 1,(уг)=соева~, что выполняется во многих важных и интересных задачах, то функция уГ выпадает из коэффициентов уравнения (1.22 ). В случае двумерных движеннк иэ векторного уравнения (1.13) кроме интеграла (1.21) следует получить еше одно скалярное уравнение.
С этой целью для плоских и осесимметричных движений возьмем проекцию (1.18) на направление у. В результате получим Поскольку Ю и л. суть функции только одной величины (д то>нольде зуясь еще формулой (1.19) для — найдем д~' Таким образом, исходная система уравнений приведена в случае двумерных плоских или осесимметричных движений к двум уравнениям (1.8) и (1.11) вдоль линий тока, которые допускают интегралы (1.2О) и (1.21), и к двум дифференпиальным уравнениям (1.22) и (1.24).
К этим уравнениям в общем случае нужно дсбавить одно из соотношений (1.19), определяющее функцию тока. Попробуем привести и уравнения (1.22), (1.24) к характеристической форме. Для этого умножим уравнение (1.24) на неопределенный пока множитель Л. и сложим с уравнением (1.22): (а -и ) — -(и~ -~) — -(ии.-Ц вЂ” +ФР-~Ф) — Л.Я-(М-У)— д а др-, Ои аЪ- дх ду дх ду у (для сокращения записи правая часть уравнения (1.24) обозначена через У ). Потребуем, чтобы полученное уравнение содержачо производные от и ~- лишь в комбинации а а — .с-.) — ~ дх у т.е.
производные по направлению, определяемому выражением 6~У сых: = 0 Зля этого должно быть выполнено равенство ии+Л и -а~ а~-аэ иИ--Л. или Л = а (и + гг )-а~ . Отсюда находятся значения Л: А = а3/Р-ат. Эта формупа показывает, что значения Л., а вместе с ними и значе ния с, будут действительными только при ~за. Слецоватепьно, исходную систему уравнений можно привести к характеристической фо»- ме только в случае сверхзвуковой скорости движения газа. Характернс тические направления определяются при этом выражениями ыу 1 аю аъФт-ат х/+ =С = цг — аг (1.26) Соответствуюшими характеристическими уравнениями будут — с — с ~х- с — ~ — — э(э-с — -~ я~.
да ди до дел 1 Г а~ад~ ду ( х -дуГмэ-и ~ у (1.'26) Попная система соотношений вдоль характеристик имеет вид: с~~а с сЫ-К+Ах прн аф = б~ салаг сКи ч'С Ыи=К с~т при сф= С Ых г~" ) И-о Ыб=О ~~ -о Г аяу Здесь .К+ = — ~~~-Х) — -Л 32 ) . и~-а~ ~ у Эти соотношения будут в дальнейшем служить основой дпя решения задач о сверхзвуковых установившихся течениях газа, Опредепим относительное расположение характеристик трех семейств в точках плоскости течения. 11ля этого введем в этой плоскости локальную систему координат я: ', у' с пентром в рассматриваемой точке О направив ось х~ вдоль скорости У(чс' р ') в этой точке (рис.1.2), т.е.
вдоль линии тока - характеристики третьего семейства С (энтропийной). Из формулы (1.26), полагая в ней тР = и- = О, ~с ы' (~, найдем направпения характеристик С + и С 11 Таким образом, характеристики С+ и С образуют в каждой точке равные углы с направлением скорости (направлением характеристики С ). При этом проекция скорости на нор мань к характеристике равна по величине местной скорости звука а. Угол, образуемый характеристиками С и С с направлением скорости, называется углом Маха и обозначается буквой уи, а сами зти характеристики называются акустическими (звуковыми) характеристиками или Рис. 1.2 линиями Маха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
