Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Величина скорости на пиниях тока одинакова на каждой окружности с пептром в этой точке и'меняется с радиусом к окружности согласно первому соотношению (4.5), которое выражает собой закон, сохранения массы. Константа А связана с расходом газа Ю через окружность соотношением А- —. Я Описанное течение представпяет собой источник (при А ( 0 - сток) в сжимаемом газе, уже рассматривавшийся раньше (см. ч. 1). Напомним, что для аднабатических течений совершенного газа зависимость К~я) имеет две ветви (рис.4.2б); при этом для 6 < ~„,э,~~, где К „,~ соответствует критической скорости газа, действительные значения У не существуют.
На одной ветви решения скорость меняется от критической при до нулевой пои а (дозвуковой источник или сток, рис. 4,2а слева),на второй ветви - от критической при к. ~к до максималь иой при г = с о (сверхзвуковой источник или сток,рис,4,2а справа).Соответственно, давление н плотность газа меняются при изменении .к. от до от критических значений до их значений в заторможенном состоянии в первом течении, и до нулевых значений - во втором течении. Обратим внимание на то обстоятельство, что однозначному (при О< э 9(Дуг ) решению (4,3) уравнений (3.10) в плоскости годографа соответствует двузначная зависимость (4.5) 1~ от 'к в ппос кости течения. Можно считать, что два соответствующих решению (4.3) течения га- Рис.
4,2а за происходят на разных листах плоскости и соединяются вдоль окружности к ~„, „, через ко- торую они не могут быть продол- жены в сторону меньших т.. На этой окружности якобиан (3.12) а> О~~к) г Д(У )>) / > 1>>1~ г/г (4.6) Суц~~ ~ слщ > )>' =Сю9ю ~~дФ Из соотношения (3.8) при этом получим И - Су Му . ~~ М~ . Применим принцип суперпозиции к двум рассмотренным ранее решениям (4,2) и (4.4), считая в каждом из них й> = О. Поле скоростей нового течении определится формулой: (4.7) Приравнивая модули правой н левой частей этого равенства, получим связь полной скорости К и радиуса — А+А„— > (4.8) Введем радиальную и окружную составляющие скорости газа кт и 3ф.
Очевидно> что' 7„'+сну е' =Ке'. Приравняв отношение правых частей этого равенства и равенства (4.7) к отношещпо их левых частей и используя (4.8), найдем 24 равен нулю, а ускорение газа Рис. 4 2б ' 4Л~ ЫУ .Р~ с~'с Ау М~-0 обращается в бесконечность. Линия Ф к в рассмотренном течении есть простой пример возникновения в физической плоскости при переходе в нее из плоскости годографа уже упоминавшейся предельной линии. На предельной линии ускорение газа обращается в бесконечность1 через нее течение не может быть продолжено. В этом примере предельная линия совпадает с линией, на которой скорость газа равна скорости звука; линии тока подходят к предельной линии по нормали. Однако, эти свойства в общем случае не являются характерными для предельных линий.
3. Из линейности системы (3;10) следует возможность суперпозиция ее решений. Если уг ~Ь; У) и щ1 К У) и, соответственно, у> и ~»а суть решения системы (3.10), то ее решением будет и линейная комбинация б Чу -А э с,Кк =А Р т.е; окружная и радиальная составляющие скорости полученного течения равны, соответственно, значениям полной с««срости каждого из составляющих течений. Согласно изложенному Ранее«прн запани««х А и А два различных течения; одно из них соотве'«ствует сложению вихря и сверхзвукового источника (стока), а второе сложению вихря и дозвукового источника (стока). Оба эти течения существуют вне круга, радиус которого 'г.
„н находится из успев««я минимума правой части выражения (4,8), рассматриваемой как функпня ~Г. Это условие име- К о Р~ 'Яо У.Р у«А — сзеУ ,Яо у 1г (4.10) являются решением уравне- 1«ий (3,10). В несжимаемой жидко«-тч«> т.е. при ~О ~у, етое 26 Рис. 48 (4,9) и вместе с (4.8) определяет значение 'ильи, . Очевидно, что при Ау'Ф ««О будет У«Ук .к > 1, т.е. полная ско1«ость газа при К ««вер«с«пук««вви; рнпнй««йан«г жн' с«««:т«овап«л«наг скорости равна скорости зву ка.
Таким образом, если течение от вихРя ««сверхзвукового источника, очеищно, всюду сверхзвуковое, то в течения от вихря и дозжукового источника скорость сверхзвуковая лишь в щ«льпевой области между окружностью ~ Ь „„н окружностью некоторйго РадиУСа а а на когоРой в« СКОРОСТЬ СтаНОВИтСЯ РаВНОй СКОРОСтн Знуха. ПРИ '6 ) Кн СКОРОСТЬ Гава дозвуковая. Вычислив Якобиан ~~~~ р«и пр««раен"в его нУлю, вновь полУчим э Равенство (4.9): Легко найти также, что ускорение газа при к-Ф„, обращаетсн в бесконечность. Таким образо««окружность т .к „«является предельной линией рассматриваемого течения, Линии тока обоих течений отходят от атой линии под угломе ««е равным прямому при Ау ~ О, и скорость газа ««а предельной линии - сверхзвуковая.
.1 На рис,4,8 показана одна «(инин тока каждого из двух теФл чений,а также часть окружно- аФ ФФ «.ти .у = 6я на которой бчнижг М 1, - для второго (сме'ненного) течения. 4. Непосредственной под«.тановкой легко проверить, 'что функпни — В, А Рис. 4.4 му решению соответствует течение около полубесконечной пластины,расположенной вдоль полуоси ф = О, ю ~ О плоскости комплексной переменной З=х+су. Комплексный потенциал этого течения И~-у+су )1ф со ~УгЯ (~Ай) . Лействительно, из того, что =Уе ' = — след,Ы * А сУ дует М~= ~ В, т.е.
А А оР ил Уу ~г сж" У ~1 У' На рис.4.4 изображены линии тока такого течения в плоскости и:,у и в плоскости годографа. Линии тока в плоскости и у являются параболамн (гА') й — =у = м!, ~~Я ф- а в плоскости м,~У- - окружностями А — ссуд = 1р во ьЫ. Скорость жидкости в бесконечности равна нулю, а при приближении к кромке пластины она неограниченно возрастает. Изучим соответствующее течение в сжимаемом газе . Из (З.о) после интегрирования и некоторых выкладок получим МГ ,— ~.-А(~"~ —,, а — е ~а), г УФ .3~9 Ф'В 0 так чтоф полагая И~ О у р" рй ь ~ '~='~рР~еа~~ ~.~ Р\~' 1з г ',0 (4.11) Полуось .ф О у ас ~ О и в этом случае является линией тока, а на больших расстояниях от начала координат (там, где Р мало и />-0,) линии тока имеют внд парабол.
26 Однако, в рассматриваемом течении газа есть предельная линия. Действйтельчо, для этого течения якобиан Ы по формуле (3.12) равен 2) = -А — З( У-/У~СМР Ю) . У. р у У~( Следовательно, критическая линия в плоскости годографа определяется условием 1 — я~слмлд=О. ' Соответствуюшая ей согласно формулам (4.11) предельная линия в плоскости течения есть линия ветвления решения. Для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями предельная линия, линия ветвления и линии тока течения показаны в плоскостях ж, у и ы, гу. на рис. 4Л. Там же приведены окружности, на которых скорость рав- х) на скорости звука Прсовлвноя линия Луко Уа» аффояваа лв ной Звук окруж Рис. 4,5 х) Из формул (4.11) легко установить, что линии У саот46, а, следовательно, и Л=сйв~й~ образуют в плоскости Х, ~ семейство окружностей с центрами на оси д .
27 Течение вне линии тока А В не имеет особенностей. Газ, движущий~ вдоль какой-либо линии тока в етой области постепенно ускоряется из состояния покоя в бесконечности, дсдтигает наибольшей скорости в точ- ке на линии ф 0 (эта скорость может быть сверхзвуковой, если ли- ния тока проходит внутри звуковой окружности) и вновь замедляется до нулевой скорости при удалении вдоль линии тока в бесконечность. Линии тока, начинающиеся внутри области, ограниченной линией тока АВ ведут себя по-иному. Например, линка тока, проходящая через Ф точку Ау~ доходит до предельной линии внутри окружности звуковых скоростей в точке С и не продолжается далее. От точки С под тем же углом, но в обратном направлении отходит линия тока другого те- чения.
Эта линия тока продолжается до точки Я, лежащей на уходя- щей в бесконечность ветви предельной линии,и не продолжается далее. Из точки Я выходит под тем же углом, но в обратном направлении, линни тока третьего течения, продолжающаяся до симметричной точке Ж точки Я на верхней части линии ветвления, / Таким образом, формулам (4.10) соответствуют три разных течении в физической плоскости. Одно из иих определено во всей плоскости с разрезом вдоль внутренней дуги линии ветвления.
Второе определено справа от линии ветвления. И наконец, третье определене справа от линии, состоящей из уходяших в бесконечность участков линии ветвлеи и ния и соединяющей их линии тока Яд. 6, 3. Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях Так как коэффидиенты уравнения (3.11) для функции тока зависят лишь от одной переменной Р, то для нахождения его решений можно воспользоваться методом разделения переменных. Лля адиабатических движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями частные решения уравнения Чаплыгина (3.15) можно искать в виде действительной или мнимой части выражения '. ~а —,спЮ ~ -х.
~„®е (3.1) где тю - некоторая постоянная. Подставив (р в уравнение (3.13), после некоторых преобразований получаем х(~-~) — +~ .-1- ( — -и-У~У " р =О. (3.2) Это уравнение определяет гнпергеометрическую функдию фя,б, с; я') х) при частных значениях входящих в нее параметров а.,д, с: пй+1 а+8 а — —, аа=- С-тх 1. М-4 ' При отыскании решения уравнения (3.2) в окрестности его особой точки ®' 0 в виде ряда х) Так называются решения у — у~~~, К с; к) дифференциального уравнения а(4-к)у "+~о-(а+4~М)т]р'- ~Я~ -О.
28 При струйном установившемся течении несжимаемой жидкости или газа область движения ограничена линиями тока. Поэтому на границе этой области в пдсскости годогра$а к, Ю функция тока должна принимать постоянные значения. На поверхности струи давление газа постоянно н, следовательно, постоянен модуль скорости; поэтому в плоскости Ф; 9 поверхности струи соответствует дуга окружности К=К=сдиЗ~. При У= Ь'~ и, соответственно, х. ку правые части выражений (5.3) и (5.4) совпадают. Поэтому, если при )~=Ъ~~ уг= сои+6 , то одновременно при Г 'Гу и у=сстЛ~ . Если ограничивающие несжимаемую жидкость ипи газ стенки плоские, то им в цлоскостн годогрвфа соответствуют отрезки лучей с' У "асжФ На этих отрезках в несжимаемой жидкости правая часгь выражения (5.3) не должна зависеть от У, что возможно лишь> если при данном У=(9о дпя любого и. Но тогда и правая часть выражения (5.4) при У = 6) не зависит от ~:т 'Ге (~ "СОЖА~ при ~)у-6',- Следовательно, при одних и тех же граничных условиях решению (5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
