Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если в построенном течении провести линию тока, целиком лежащую в области, где пересечения характеристик еще нет (рнс.12.1), то, приняв эту пинию за вторую обтекаемую стенку, получим непрерывное тече!- ние внутри канала с сжатием газа в волне Првндтпя-Майера, При возникновении в потоке после пересечения характеристик скачка уплотнения найденное течение, вкдючвющее волну сжатия Првндтля-Майера, сохранится в области (рис.12.2), ограниченной вниз по потоку скачком уплотнения АВ и характеристикой второго семейства АС> идущей к стенке от точки зарождения скачка уплотнения, Линия тока АФ'.) идущая вниз по течению от втой точки, отделяет область безвихревого движе- Рис.
' 12.2 Рис. 12.1 61 ния вбпизи стенки от завихренного течения в за скачком. Вихри в потоке образуются вслед стене неодинакового на разных линиях тока изменения энтропии газа при прохождении им' скачка переменной интенсивности. Если пересечение характеристик происхо- дит непосредственно на стенке ипи стенка ис- 4 д кривпяется не плавно, а имеет нэпом, то ока. чок начинается на стенке.
Рис. 123 Отметим, что, как следует из дальнейше- го (6 14 ), решение задачи об обтекании вогнутой стенки сверхзвуковым потоком вообще не существует (и с учетом возможного образования скачков), если угон поворота стенки достэ точно велик и стенка после поворота продолжается под постоянным уг лом в бесконечность; если же при этом стенка в дальнейшем вновь отклоняется и образует небольшой угол с направлением набегающего потока, то течение существует, но скачок уплотнения может при этом начинаться перед точкой начала искривпенного участка стенки (рис.12.3), Обпасть, занятая течением Прандтпя-Майера, при этом, конечно, отсут- ствует.
6 13. Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердпевидная кривая Продолжим рассмотрение соотношений на скачке, начатое в 6 2, Займемся геометрической интерпретапией этих соотношений. Как уже отмечалось> при заданном состоянии газа с одной стороны скачка его состояния с другой стороны образуют однопараметрическую совокупность. Зафиксируем состояние газа с одной стороны воины и будем отмечая параметры газа в этом состоянии индексом 0 . В качестве параметра, от которого зависит состояние газа с другой стороны волны, возьмем угол 16д между направлением скачка и направлением скорости газа в зафиксированном состоянии, которое мы примем за направление оси д: .
Тогда, очевидно, справедпивы следующие выражения дпя составпяв» щих скорости ~„= Ц.' юп У~ миур» Рмп 1д~ и'„= Р.'мю9~, (13.1 ) 6'+У Ъ~кР Обозначкм правую часть равенства (2.10) через - —. Испопьзуя 6'-.У выведенное ранее соотношение Праидтля (4.13, ч. 1) ~по 6'и. ~ 9е и, замечая> что к> -И вЂ” и~~, получим г г Ит~т~т (кр ~+1 ~го ' Подставим в это равенство выражения (13.1) ддя О;а, ~У и Р) Е4Ф~к 9~~~с;ы 5 -6 свм',$~)-~6~,— — у К мм 5 .
Р 6'-У г (13.2) Согласно соотношению (2,7) касательные составляющие скорости с обеих сторон скачка одинаковы, т.е. (13.3 ) тотические ветви, а ||Рн при Е'о ~ $/',е- всЯ поляра (в обоих случаях — в пределах круга с радиусом Г ), В дальнейшем при пользовании ударной полярой мы будем считать фиксированнмм состояние газа перед скачком, т.е, рассматривать только замкнутую часть поляры; при этом всегда И»-Р~э.0т метим, что полная скорость газа за скачком может быть и дозвуковой и сверхзвуковой, норма|в«- ная же составляющая скорости всегда дозвуковая. На рис.13Л приведено семейство ударных поляр Я (13.4) при ~» 1.4 для различных значений — >1 Ы 1:«р или числа Маха Я = — (приведены лишь замк- Р о нутые участки поляр). При О =Кр ( /'у 1) ударная поляра выро»|шается в точку, при Ц 3/' она становится окружностью г ~~г где У )а,~ Ф» )«я»»/ Рис. 13.1 Рис.
13.2 Исключив из двух последних равенств ~р получаем »г '-Ф--)' КО (13.4 ) Кривая в плоскости и, К», соотьэтствуюшая этому уравнению, есть кривая третьего порядха (строфонда) и вазе|веется она ударной полярой илп полярой Буземана. Согласно уравнению (13.4) направление потока при прохождении им скачка не меняется, тэь составляющая скорости Ъ" равна нулю при Ю = Е/ т,е. когда скачка нет (или его можно очи- | а тать бесконечно слабым), и при и — «~: в этом случае скачок нор- Уо мален направлению скорости с обеих его сторон ° д ' ~.'~ Ударная поляра имеет аснмптоту ы Г ,+т е Ц Ударная поляра при Е' > Ъ»«д изображена на Рис.13.1, а при 1/с Ц~» - ка рис.13,2. В первом случае точка ударной поляры ~Е/ » О/ является двойной, во втором - изолированной.
В совершенном газе с постоянными теплоемкостями возможны лишь скачки уплотнения, в которых полная скорость газа уменьшается. Поэто- му, если считать финсированным состояние газа перед скачком, то должно быть Е/' > Р и физический смысл имеет»|ишь замкнутая часть поляры при Е/ > '(/„'о. если же считать фиксированным состояние газа после скачка, то 3' »~/' е и физический смысл ||Ри Е~, ) '(/«~ имеет лишь часть поляры, на которой Р )~~ „т.е. ее асимп- ир~ . лл аа ал ад К При каждом значении — сушествуй1 Ккр Ъ! ет максималЬный угол поворота потока в Р ФС скачке, соотъетствуюший лучу, проведенному из точки 0 касательно к поляре.
Этот Р» угол уведичивается при возрастании — . 1 Т кр Наибольшее его значение при К - К~ х очевидно, опредедяется равенством р.+ уш, су ~ч ~ы ~е у. о При ) = 1,4 значение дн = 45,58, Рис. 13.3 при р' = 1,2 Ург= 56,14, Можне показать, что окружность $'= Ъ'цр пересехает ударную поляру правее точки максимального угла поворота потока, так что в этой точке скорость газа эа скачком меньше скорости звука и сравнивается с ней лишь при 7~ ~~а и ~~' $~~~,Отличие угла отклонения, при котором скорость за скачком становится равной скорости звука, от максимального угла отклонения невепико и при ) = П,4 не превышает 30 во всем диапазоне значений Е~' . Простым геометрическим построением можно определить ту точку удар ной поляры, которая соответствует данному угду ~~~ накпона скачка к направлению потока перед ним, т.е.
определить для данного ~Р~ скорость за скачком, Действительно, проведем в плоскости -ы г," (рис.13.4) луч из начала координат под углом 1~~~ к оси ц перпендикуляр к этому лучу из точки Е1 О. Очевидно, что отрезок луча ОА дает вепичину касательной к скачку составляюшей скорости перед скачком. Так как касательная к скачку составляюшая скорости газа за скачком должна иметь ту же величину, то ясно, что скорость за скачком представляется отрезком ОВ, идущим из начала координат В точку пересечения нормали с ударной попярой. Обратное построение, т.е. нахождение направления скачка по заданной скорости за скачком, тоже не представляет труда.
Отметим, что если задано лишь направление скорости за скачком (в предедах значений ут да отклонения потока, меньших максимального), то можно найти два разных значения величины скорости за скачком и два разных значения угла наклона скачка. Эти два скачка, соответствуюшие одному и тому же углу поворота.скорости, называют скачками "слабого" семейства (прн меньшем изменении скорости и меньшем рооте давления) и "сильного" семейства (при большем изменении скорости и большем росте давдения).
За скачком сильного семейства скорость всегда дозвуковая, за скачком сдабого Ф семейства скорость почти всегда сверхзву- Л ковая (исключение составляет уже упомиЗ навшаяся очень малая окрестность максимального углю поворота скорости). Угол наклона скачка изменяется в пре- 0 5Г делах от ~ — этому углу соответствует наибодьшее по величине изменение скорости газа при прохождении им скачка - до ; минимального значения (~~ мин, при Рис, 13.4 котором нормаль к скачку из точки ~~~, О касается ударной поляры в этой точке. Найдем это значение ~~15~ мим Вблизи точки ЕР, О уравнение ударной поляры имеет внд ~; -~~.„ гт~ о Выразив отношение — я через М,, получим Ы~ Отсюда заключаем, что ф 5~~ -г 0 т.е.
~Бнин,Х~ есть угон Маха - скачок уплотнения вырождаегся в характеристику, Аналогично уравнению ударной поцяры, связывающей значения компонент скорости гХ и тР с одной стороны скачка при известном состоянии газа с другой его стороны, подучим связь между давлением р и углом Ю поворота потока в скачке.
Соотношения на скачке в виде у ь'(и) И. где бР('чс~ определяется уравнением уцарной поляры (13.4), дают в параметрической форме (с параметром .Ы ) связь между ~О и У с одной стороны скачка при фиксированном состоянии газа - с другой. Р На рис.13Л представлена эта связь для случая, когда фиксированным является состояние движения со сверхзвуковой скоростью перед скачком. Замкну- тая петля соответствует в этом спу- чае скачкам уплотнения; нижние вет.' а ви не имеют физического смыспа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
