Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда из фор'- мулы (6.17) найдем свЯзь междУ уо и )0 в виде , =с- —,, (.6.18) где С и С~ - произвольные постоянные. В плоскости у, 70 связь (6.18) представпяет собой уравнение произвольно. ориентированной прямой линии. Ренее мы уже встречепись с моделью газа, в котс~- рой давление н плотность связаны этим уравнением> эта модель называется газом Чадпыгина. Запишем уравнение (6.18) в виде д д д Р»~» .10 ~) +)О» Й» )0 ° (6.18). 36 )в Прямая в плоскости уэ, у, определяемая этим уравнением, проходит через точку «0»,— ~.Р» / и имеет отрицательный угловой коэффициент )о+ Я „ , где а,с.
есть значение вели- Л х а',о чины ю= ч — ~ (эквивалента скорости звука „-~ э~д. для баротропной связи (6.18)) при у =)О~ При аппроксимации соотношением (6.19) адиабатической зависимости р (~о) для совершенного газа константы )О+, 1о+, я я можно выбирать по-разному. Чаплыгин (при решении задач об истечейии струй) принимал Рис. 6.2 за аппроксимирующую прямую (6.19) касатель ную к истинной адиабате в точке, соответсч вующей параметрам заторможенного газа (рнс.6.2)> т,е, полагал р„-~о„ ~0 1~~, а.,~ а, При решении задач об обтекании газом профилей обычно принимают, что прямая (6,19) есть касательная к истинной аднабате в точке, соответствующей набегающему однородному потоку, т.е.
полагают в выражении (6.19) ~о„-~>, )О - )О., ~ а.. Конечно, можно выбирать аппроксимирующую прямую (6.19) и многими другими способами, например, проводя ее через каин~либо две точки истинной ади аб аты. Модель газа Чаплыгина не обладает рядом свойств нормального газа. В частности, для нее давление обрашается в ноль при уменьшении плотности уже до некоторого конечного значения; прн дальнейшем уменьшении плотности модель в применении к газам теряет физический смысл.
Рассмотрим некоторые свойства газа Чаплыгина при установившихся движениях. При использовании связи (6.19) иэ интеграла Бернулли полу-. чаем л ~я — — =7 ~ -а. 4д„» ~с,ч рЛ я' ~- .е где К, есть значение скорости, соответствующее о р . Иначе можно написать Ъ'~-а~ - Ъ'„~-ая.. (6.20) Эта запись интеграла Бернулли показывает, что при непрерывном течении газа Чаплыгина переход через скорость звука невозможен: знак разности в левой части определяется знаком константы в правой части.
Будем считать этот знак отрицательным, полагая Ъ а-а„, = — а г а г г - — ~ —. Здесь )о - значение плотности „о при Ъ" = О. В дальнейшем примем >Од = 1, Из выражения (6.20) следует, что в отличие от течений нормального газа,в газе Чаплыгина скорость звука с ростом скорости не падает, а 'К возрастает. Связь между числом Маха Р~ — и скоростью при этом Ф. определяется формулой из которой следует, что М О при Ъ' О и .Н" - 1 при 1Г - з.
График зависимости 1т от )'- приведен на рис. а 6,3.Там же приведена соответствующая зависимость для аднвбвтического течения совершенного газа при ~ = 1А. Введем вместо е- переменную 14 по формуле с~ )~» 'К~ Тогда согласно выражению (6.7) е с~ Рис. 6,3 (8.21) (8.23) где ~ - произвольная аналитическая функщщ. Соотношение (3.8) Ыа = ~ ~Ыу Ра~р) вместе с формулами й.
4к — н (8.21) и (6.22) дает зависимость %и Уи 0 х и ф от с' и — н, следовательно, от с' и и. Установим связь получаемых таким образом течений сжимаемого гвзв с течениями несжимаемой жидкости. Будем трактовать выражение (6,23) квк решение уравнений Копи~-Рн мана для течения несжимаемой жидкости с комплексным дотенпиапом -се ~А ~+с~/ и комплексной скоростью — = Ц~ ~"' ~~8 . Йля такого к сб~ — ~4~(Р~ с д(р ~И~ е' / К~ 'Ки ~ Используя следующую из интеграла Бернулли для газа Чапльпина связь между )Г и )о, получим К ~+.Р Отсюда Уи '(/ Я .)О" ~+ и Д' г —" % » Ку аюзов ~тЯ (8,22) о.' Здесь К - постоянная интегрирования. Выписанные формулы дают общее решение уравнений, описывающик течение газа Чаплыгина.
Йействительно, уравнения (68) прк Л * 1 Фмеют общее решение которая будет иным способом получена ниже прн рвссмотрении течений с малыми возмущениями скорости. Область течения несжнмвемой жидкости, соответствующего денному течению газа Чаплыгине, может быть многолистной. Верно и обратное: при использовании некоторого течения несжнмвемой жидкости в плоскости для построения течения газа, область в плоскости Я, определяемая пересчетом по формуле (6.24), может оказаться неоднолистной, иногда - начиная с некоторого конечного знечения параметра А. Так, на рнс.6.4 приведены контуры, обтекаемые газом Чаплыгина прн разных значениях числа».», соответствующие при М О обтеканию круге.
При достаточно больших значениях М (см. Рис.6,4 при т 0.86) Рис. 6.4 обтеквемый контур становится самопересекаю- шимся, а течение перестает быть однолистным. Если известив облесть течения гаэв в комплексной плоскости »'е ', то ей легко поставить в соответствие область в плоскости $~ после чего, определив функции и»-У(~) и 2; - 2 (4'.), можно найти и течение газе в плоскости 2'. Тек, в частности, каждому струйному течению несжимаемой жидкости можно поставить в соответствие струйное течение газа.
Пересчет некоторых струйных течений несжимаемой жидкости на те чения геза, в том числе и в случвях, когда неприменим описвнный ренее точный метод Чаплыгине, был дан самим Чаплыгиным; Впоследствии теория былв резвита на случеи истечения струй из сосудов с криволинейными стенками или струйного обтекания криволинейных препятствий и ив случаи бесциркуляционного обтекания профилей. Решение задачи об обтекании профилей при отличной от нуля циркулявин потребовало существенного развития теории.
Суть затруднения состоит в том, что при неравной нулю циркуляции скорости вокруг профиля соответствие между плоскостями Х и й'„в окрестности бесконечно уделенной точки перествет быть однолистным. Поэтому пересчет однолистного течения несжимаемой жидкости около некоторого исход». ного профиля не позволит получить обтекание газом деформированного профиля. Действительно, при наличии циркуляции и окрестности бесконечно удаленной точки плоскости я„спрвведливо разложение — =Ъ'е' + —. + Л Г' У ая »и Из формулы (6.24) непосредственно вытекает, что вблизи точки У= соответствующей 2!„оо, однолистность будет только чри Г О. При Г О профиль в газе соглвсно формуле (6.24~ отличается от профиля в несжимвемой жидкости из-зв присутствия в этой формуле второго слвгаемого.
Если А мало, т.е. при малых у с „этим отличи- л»Я ам профилей 'можно пренебречь. При этом формула Кармане-Тзяна дает зависимость расцределения цавлення на неизменяемом профиле от числа Н» ° Мы не имеет здесь возможности нзлагвть соответствующие теории щи г Ф О; сошлемся на литеРатУРУ ( 8) . При Ут 1 функция Л обращается в нуль. Поэтому для изучения течений со скоростями, близкими к скорости звука, функцию К нельзя полагать постоянной. Наиболее простым видом уравнения (6.3), описывающего смешанные до- н сверхзвуковые течения, является уравнение Эйлера-Трнкомн — -+ — ( — „-о ~9 р' д ~.дя ЭО" которое получится, если в уравнении (6Л) положить у-А, ХМ=-Аэ, Из соотношения (6.1), пользуясь тем, что )о1Ы1' 'а(1с= 0 (здесь О— размерная плотность) получим ся'Х А~ Ы~о М~ ' Исключив отсюда М с помощью выражения (6.4) для К, получим дифференциальную связь между,К и )О в виде Аз я~,- .
(6.гб) Постоянную интегрирования и константу Д найдем нз условий, что,К 0 и — = ( — 1 при,с =,о„~ ~ — Р' Из выражения (6.4) при ади~батической связи между Мя и )О простыми выкладкамк получим дЯ З ~ У у-7 )зис. 6.6 При а меция функции ~Г ~ —. ( 1,74 "Р решение ', 40 (при ~ 1.4), это уравнение имеет особенно простое На рис.6.6 дано сравнение кривой Х~~с) для адиабатического течения (сплошная линия) и з ависимостн, полученной интегрированием уравнения (6.26) (пунктир), Уравнение Эйлера-Трихоми является основой для изучения многих свойств околозвуковых течений газа. При сверхзвуковых скоростях течения га-, за аппроксимация Х 1 не является удовлетворительной. Значительно лучшее соотнес стене приближенных зависимостей с точными для адиабатическнх течений можно получить, полагая в уравнении (6.14) коэффициент ~У вЂ” — ЬвК ,где тэ - це- Ф Ы4- У 4+4 Ь 7 Х лое число.
Уравнение (6.14) переходит при этом в хорошо наученное уравнение — — -о им~ ~ ~ +.а~ а~ 1, при котором достигается удовлетворительная аппрокси- Х для адиабатического течения в диапазоне 1.06 с ~~й) ьФ) Р ~ -~,.д-. Мы не будем останавливаться на дальнейших деталях использования метода аппроксимации вднабаты для изучения сверхзвуковых течений, так как в следующих параграфах будут изложены другие эффективные методы нх исследования. 6 7.
Сверхзвуковые течения. Метод характеристик Уравнения двумерных плоских и осеснмметричных уствновившихся движений в форме соотношений вдоль характеристик (1.27) мы использу ем для решения различных задач о сверхзвуковых течениях газа, При этом наложение метода характеристик во многом не будет отычвться от соответствующего изложения в разделе, посвященном одномерным неустановившимся движениям> хотя физическое содержание зацач в этом разделе, конечно, является иным. Вновь рассмотрим элементарную задачу метода характеристик. Учи тыввя, что эта задача подробно рассматривалась для одномерных нестанионарных движений, ограничимся лишь кратким изложением. ПУсть на некотоРом отРезке пРЯмой х'= Х'а заданы достаточно гладкие распределении искомых функтшй и, чт, а, .ьр соот- ветствующие сверхзвуковой скорости. Возьмем на этом отрезке (рисЛ1) две достаточно близкие внутренние точки Рр.
и Р . Проведем через эти точки элемен- Р„ )э ты характеристик первого и второго семей- ств.. в сторону роста х до их пересечена ния в точке Р, заменив цри этом отрез- Р ки характеристик касательными к ним в э точках Р+ и Р . йля нахождения зна- чений и и гУ. в точке Р воспользуеь(- Х Ф ся первыми двумя соотношениями вдоль характеристик, заменив их приближенно конечноразностными уран нениями Рис. 7 1 ~Р 'гор+ Мр Ыр ~р~-) Ж+)р (хр х )' р-СС, -(С Ъ (Р тала-) ®)р ~ р-Х.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
