Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Очевидно, что ф~ ъ'ю-7 " '" л ' Выражения для углового коэффициента акустических характеристик с использованием величины угла У наклона скорости к оси х и угла Маха фС можно записать в виде ®.= ф(~-м). Так как скорость к и скорость звука а. связаны соотношением (1.21:) '(~ Л вЂ” -Я~а,б) =Я., то в общем случае угол Маха р зависит от модуля скорости и через б и 4 - от (д . В случае, когда Ю и 4 постоянны в потоке, угол ~и есть функция только модуля скорости (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями для этого достаточно, чтобы только 4 савВЕ, поскольку Ф не зависит ат 8 ) . Важно еше раз подчеркнуть, что, в отличие от одномерных неустановившихся движений газа, система днфференлиальных уравнений, описывающая плоские или осесимметричные установившиеся движения, не является гиперболической для всех возможных движений.
Эта система гиперболическая в области, где скорость газа сверхзвуковая, и эллиптическая - там, где газ движется с дозвуковой скоростью. Если при движении газа возникают дозвуковые и сверхзвуковые скорости (такие движения называются околоэвуковыми или трансзвуковыми), то система уравнений приобретает смешанный тип: эллиптический в одной части области движения и гиперболический — в другой, 6 2, Граничные (краевые) условия Область, занитаи движушимси газом, может быть ограничена поверхностями, на которых в соответствии с физическим содержанием рассматриваемых задач параметры газа должны удовлетворять тем нли иным условиям.
На непроницаемых для газа поверхностях должно выполняться условие непротекания сквозь них газа, т.е. нормальная к поверхности составляющая скорости газа Фг, должна равняться нулю. Если 12оавнение поверхности есть тельств движения давление связано с углом отклонения границы и ее кривизной, то условие на границе имеет вид: р -Р(», У, У; У"3, )О Я. -(~~.),- ™- (2~) Условие, следующее из уравнения сохранения импульса, будет иметь вид: ~т~К-(~~„Я~ (~ -~Я и . (2.4) Усцовня (2,3) и (2.4) показывают, что при т. О, т.е. прн отсутствии потока массы сквозь поверхность, на ней допжны выпопняться равенства Ркс. 2.1 йП пГ ~ я Р"'Яу (2,6) касательная же составпяющая вектора скорости 7~ как и плотность У ,у' могут испытывать произвольный разрыв.
14 где Р - некоторая определенная функция своих аргументов. Если абпасть движения газа простнрается в бесконечность, то поведение газа в бесконечности тоже должно подчиняться некоторым усцовням, разным в разных задачах. Например, в бесконечности может потребоваться знание значений всех параметров газа нлн только некоторых из ннх; иногда следует задавать порядок стремления значений перемет ров к постоянным при удаления в бесконечность н т.п.
Внутри области движения могут быть поверхности разрыва: ударные волны н контактные разрывы, На этих поверхностях должны выполняться определенные связи между параметрами течении с обеих сторон. Прн постановке некоторых задач поверхностямн резрыва параметров газа моделируются различные реальные проннцаемые тонкие структуры, например, сетки нли перфорированные плес тины, ткань паруса ,или парашюта, плоскость врашення винта самолета или лопаточного венца осевого компрессора и т.п.
На таких поверхностях раз1ыва к газу может подводиться илн отводиться энергия в виде тепла или совершаемой над газом нли отбираемой от него работы, газу может сообщаться нли отниматься от него импульс, к нему может подводиться нлн от него может отводиться дополнительная месса того же ипи другого газа. Прн этом на таких поверхностях разрыва допжны, естественно, выполнять. ся условия, следующие нз законов сохранения с учетом распределения по поверхностям источников энергии, массы и импульса, а также, возможно, н некоторые другие условия, Рассмотрим условия на искривленных поверхностях разрыва в пространстве, обобщающие условия, рассмотренные в ч.
1 для плоских поверхностей, нормальных направлению набегающего потока. Выделим на поверхности (рнс.2.1) элемент д~б' с нормалью й Поток массы сквозь элемент а(6' за единицу времени равен 0Ц Ыб (направление нормали выберем при Ц ~0 так,. чтобы Г~ была положительной); приравнивая' потоки массы с обеих сторон поверхности, получим условие Очевидно, что такая поверхность есть контактный разрыв. В неодномерных течениях его называют тахже тангенциапьиым разрывом. Прн Ф, М 0 вектор Р лежит в плоскости векторов T~ тк ~ так что локально течение вблизи элемента поверхности разрыва является плоским. Проектируя уравнение (2.4) на нормаль к элементу поверхности, получаем ~~Ю (2.6) ~' -ФА (2.7) Из уравнения энергии получаем О~ ~ — Е/- ~~М.
~~ + ЕЦ -(Ри ~ -Рй (2.6) (2.9) Воспользовавшись равенством (2.7), уравнению энергии можно при- дать вид ;-'.4-,".Я, Уравнение сохранения массы (2.3),проекция уравнения сохранения им- пульса на нормаль (2.6) и уравнение энергии в форме (2,10) полностью совпадают с соответствуюшнми уравнениями ч. 1 при замене в последних величины скорости 1> нормапьной ссставляюшей скорости ТФ . Поэто- му все результаты, полученные из анализа соотношений на скачках в ч. 1, сохраняют прн соответствуюшей трактовке силу н в общем слу- чае.
Нужно только иметь в виду, что полное теппосодержанке газа, сохраняющееся в силу (2.8) цри прохождении газа через разрыв, при использовании формуп ь 1 должно вычисляться без учета кинетической энергии, соответствующей тангенциальной составпяюшей скорости,т.е. уя без учета члена В частности, сохраняется вывод о том, что дпя сред, для которых Эг / ь($скачки возможны лишь при сверхзвуковой скорости набегающего на иих потока. Полная скорость газа за скачком может быль сверх- звуковой, тогда как нормальная составляющая скорости за скачком всег- да дозвуковая. Соотношения (2,3), (2.6), (2.10) должны быть дополнены в общем случае двумя соотношениями, вытекаюшнми из векторного равенства (2,7).
Для плоских ици осесимметричных незакрученных течений доста- точно использовать лишь проекцию равенства (2.7) в плоскости теч~ ння, так как другая компонента скорости в этом случае равна нупю с обеих сторон разрыва. Рассмотрим плоскость течения вблизи какой-либо точки поверхнос- ти разрыва. При заданных параметрах газа с одной стороны этой по- верхности четыре уравнения (23)> (2.6), (2.7), (2.10) (уравнение Составляющая же вектора скорости в плоскости, касатеш,ной к повярхности разрыва, при этом не изменяется при прохожцении разрыва (2.7) превращается в скалярное) связывают пять величин: угол ~я между направлением разрыва в данной точке и направпением заданной скорости (рис.2.2) и значения четырех параметров потока с другой стороны поверхности разрыва давления, плотности и двух компонент скорости (ипи величины скорости и угла Ф поворота вектора Рис.
2.2 скорости при прохождении через скачок),Таким образом,при заданном состоянии газа с одной стороны разрыва параметры газа с другой ее стороны образуют однопараметрическую совокупность эначений,так что любая пара из пяти перечисленных величин связана при этом определенным соотношением. Во многих случаях анализа течений со скачками удобна геометрическая интерпретация некоторых из этих соотношений. Ранее мы уже испольэовали геометрическую ннтерпреташ~ю связи между давлением и плотностью с одной стороны скачка при известных параметрах газа с другой его стороны — кривую Гюгонио. Помимо кривых Гюгонио, связывающих значения «с н ~й- ~ часто используют кривые, иллюстрирующие связь между Зу' и с) (ударные поляры) и связь между )с и Ю ("сердпевидные" кривые).
Мы займемся этими кривыми позже> при решении некоторых задач о течениях со скачками уплотнения. Приведем конкретный вид соотношений, выражающих значения парамет- ров газа с одной стороны скачка через их значения с другой стороны дпя совершенного газа с постоянными теплоемкостямн. йля этого в соот- Р Рк а~У ношениях ч. 1 ддн — и — заменим величину гс~ величиной Р~ Р Лу Фйг. (ду ~ где ~дя — угол между направлением скачка и направлением скорости Р~ . В результате получим: У" ~' (и< ась Р -У),, у (2.11) (2,12) для получения двух других соотношений в форме, удобной для использования в дальнейшем, 'направим ось Ж вдопь вектора Ру а ось ф по нормана н ней в плоскости векторов 1 у н Й и спроектируем уравнение импульсов (2.4) на оси Ж и у, Это дает Р1 К ( 64 К) /-1~ Р ~Оу К +~~в(ду ь'=-ф~эу-~о)сну,.
С использованием соотношений (2.11) и (2.12) приведем эти выражения к виду (2.14) ~Р Так как ~ = ф~ У, где д — угол поворота вектора скорости в скачке, то из последних двух выражений находим связь между этим (2.13 ) илн в виде И 3. Плоские и осесимметричные потенциальные движения. Уравнение Чаплыгина ):(ля течений, в которых Ю- сюжа4 и Я„= же или имеется какой-либо другой вид баротропной зависимости (3.1 ) и константа в правой части интеграда Бернулли (1.7) одна и та же во всей обнести движения, этот интеграл, как уже указывалось в 6 1, дает связь между давлением р или плотностью )О и модулем скорости Р: Р и"и ~' сК вЂ” + — 1~=0 л 3у (3.2) Р~ Будем рассматривать далее плоские н осесимметричные течения,При сделанных предположениях уравнение (1.24) для таких течений превращается в условие безвихренности д т~- ды — — =-О дм ду Это условие эквивалентно тому, что выражение ~~Р = ккЫ~~гс~у (3.3 ) есть полный дифференцнап функции у - потенциала скорости.
Уравнение неразрывности дпя плоских или осесимметричных движений эквивалентно условию (1.18), в котором для рассматриваемых течений р есть известная функция от ча~+ и- Мт=У"ь ~Э У'Ч (3.4 ) (Здесь введен масштаб плотности )Эа ппя того, чтобы придать функции тока иг ту же кинематическую размерность, что у потенциала скорости у~ ). 17 Из дифференциальных соотношений (3.3) и (3.4), принимая ю и ~ за независимые переменные, получаем ди Эф ~С.= с О'=— дж ' дф и у У =~~.а ° ' у = .-)1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
