Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 4
Текст из файла (страница 4)
О~ Отсюда находим систему двух уравнений для определения функций у~(~,ф и уг(Х; ф: ,м О~ а~ .// (О. Я О~ а. (3.5) Исключив из этой системы производные от ю получаем одно урав- / Р пение для функции тэка о Г' .о. ~~'~ а~ ~ь. Э~ ~ дХ ~~Од~ ~ дХ/ а~~, РУе'-~ дУ/ (3,6) Аналогично можно получить уравнение для потенциала скорости г1~: .Р Отношение — с помощью соотношений (3.1) и (3.2) выражается Яю Л Я Р через )д~'"Щ или через у~ +щу. Поэтому система (ЗЛ) и уравнения (3.6) и (3.7) нелинейны. Обратим теперь внимание на то, что в случае плоских течений ( ~~=- = 1) коэффициенты при дифференциалах в выражениях (З.З) и (3.4) зависят только от компонент скорости М и г1- или от модуля скорости Ъ и угла У вектора скорости с осью лс .
Поэтому, если в этих дифференциальных выражениях считать независимыми переменными и Ю (или какие-либо их функции), а за искомые величины принять ю (Р и уг то для определения этих искомых величин в случае плоских течений получим линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Плоскость изменения переменных ы, гР или переменных и,, У~ рассматриваемых как полярные координаты в этой плоскости, называется плоскостью годографа.
Не останавливаясь на случае осесимметрнчных течений, для которых переход к переменным годографа не приводит к каким-либо упрощениям системы уравнений, получим уравнения для 1д и эг в переменных годографа для плоских течеьшй. Для сокрашения выкладок, а также с целью использования в дальнейшем аналогии с течениями несжимаемой жидкости, разрешим соотношения (З.З) и (3.4) относительно дифференциалов сь~х' и с~у (это можно сделать прн АР т' 0) и скомбинируем их, введя обозначение сИ с(х+ Р +.с а~ф, т.е.
считая плоскость течения плоскостью комплексного переменного ~- .с+ела. В результате получим 18 1» - » (а'р '~а'»»). (3.8) Считая якобиан Я~а р) Э(х, у) отличным от нуля, т.е. функции У~.х:, у) и $,»~,ф независимыми, в силу произвольности сКУ и Ы $/' найдем~ (3.9) После сокрашения на Е отделив мнимую и действительную части »'. У этого равенства, найдем ОР' сй/р~1 дУ (3.10) Исключив из этих двух уравнений производные от ср получаем одно уравнение для фунтик токе /Р. Ъ' 81~ ~(, Ы Р. Дз(д д~' ~ О дУ,/ с()Г О У' д9й (3.11) Аналогично получается уравнение для потеклнзда скорости у».
Все этк уравнения линейны, причем в них коэффициенты при производных суть функции только одной независимой переменной У. После определения (Ф. и уг в зависимости от о» и К, функции х(Ф, $~) у~У, 1»',) находятся квадратурой из соотношения (3.8), Последним шагом решени~ является обрешение этих функлий. Течение в физической плоскости зс, ~с будет определено однозначн если в области плоскости годогрефа, соответствующей течению, отляче от ля якобиан х) Особые решения, в которых с' и ~ связаны между собой, бу. дут рассмотрены отдельно, 11 Исключим из этих уравнений с помощью дифференцирования первого из них по Р, а второго по Р производные от Х, После днфференцнровзния члены со вторыми производными в правых частях обоих уревнений будут одинаковы и при приравнивании правых частей сократятся, в результате чего получим где> согласно уравнениям (3.10) (3.12) Ясно, что при дозвуковой скорости яксбнан Я может обратиться в ~Уф~ 81~ нуль только при равенстве нулю всех производных г~ а~ АУ' '' ~ дР ' при этом и также обращаются в нуль.
Это может произой- дЮ дУ ти пншь в изодированных точках. При сверхзвуковой скорости в плоскости годографа могут существовать линии, в точках которых Я(У, К) = О. Эти линии называются критическими. Соответствующие им линии в плоскости течения называются предельными и являются в этой плоскости линиями ветвпения решений. Более подробно об этом будет сказано ниже при рассмотрении конкретных течений. При решении многих важных задач о течениях газа, например, в задачах обтекания тел или о движениях газа в каналах заданной формы, краевые условия дпя уравнений (3.3), определяющих потенциал скорости и функцию тока, естественным образом формулируются в плоскости течения .х ~. Лля решения уравнений (3.10) нужно формулировать краевые задачи в плоскости годографа. В общем случае это нельзя сделать, исходя из соответствующих постановок задач в плоскости течения.
К примеру, при обтекании профппя граничное условие на его контуре в плоскости течения заключается в том, что этот контур является линией тока, т.е. функция тока принимает на контуре постоянное значение. По этому условию непьзя заранее указать распределение скорости 1~ на контуре, т.е. нельзя найти границу области течения в ппоскости годографа.
Это обстоятельство затрудняет использование уравнений в переменных годографа. В значительной степени успехи нх применения связаны с разработкой непрямых методов решения задач, когда область в плоскости годографа находится в результате последовательных приближений. йля некоторых случаев движений газа можно сформулировать краевые условия в плоскости годографа во многих таких случаях удается получить эффективные решения задач.
Линейность уравнений плоских движений в переменных годографа облегчает изучение важных свойств течений сйимаемого газа на частных примерах Эти уравнения служат также основой дпя создания рациональных приближенных методов решения многих задач газовой динамики, включая н задачп об обтекании тел. Уравнения (3.'О) справедливы для произвольной баротропной связи (3,1). Прн адиабатических течениях совершенного газа связь межцу плотностью и скоростью, определяемая зависимостями (3.1) и (3.2), имеет вид (см; ч. 1): р (3.13) Здесь ~, — плотность торможения, (/' - максимальная скорость.
Если прясть, что масштаб плотности )О в выражении (3.4), опреде- 20 лнюшем функцию тока, и есть как раз плотность торможения, то урав- 1/' Я нения (3,10) после введения переменной ч, — и примут вид ~/Ю »-'тг-» а„ дг Рг~Ф-г)~~ да дг Лг дн дЮ Г3-г) Г ~г уравнение (3.11) для функции тоха преобрезуется к следующему —,-О.
дг ф-г)~— -с дг~,'~.~~ )Уг дд~ (3.14) (3.15 ) Эти уравнения быти выведены С.А.Чаплыгиным и носят его имя. 6 4. Некоторые точные решения в переменных топографа 1. Возьмем частное решение уравнений (3.10) в вице »л- — АЮ ('А. О), р:ч Найдем течение газа, соответствующее этому решению. Лля этого используем соотношение (3.8). Подставив в него а»~я и»» ((» нз (4.1), получим а~и = — — е ай9 —.с — е а~ К.
А 2У Р' (4гй ) где у, » некоторая точка плоскости М . Введем в плоскости М полярные координаты к, ту с центром в точке Х . Й т.е. положим И-М . хек . Тогда поле скоростей изучаемого движения определится формулами А %' ч-— ф Ч9.—— э 8 Линни тока этого движения являются концентрическими окружностями с общим центром в точке И . ~, Частицы газа двнжучся по ннм с постоянной скоростью, при выбранном знаке постоянной А - по ча- Пользуясь тем, что выражение в правой части есть полный дифференциал и, следовательно, путь интегрирования в плоскости годографа может быть любым, проинтегрируем это выражение от некоторой фиксированной тОчки д~ у ~» до точки с»7 1I сначала при 1Г-Ъ» — сОЭТ+ч. от О1» до У а затем при У-сол,е8 от 7» до ~.
В результате получим ~-К - ч' — Е" а 1г» совой стрелке. Скорость на линиях тока убывает обратно пропорционально их радиусу; при этом константа А связана с циркуляцией скорости 1 вдоль замхнутой линии тока очевидным равенством Г' А= —. РФ Описанное течение представляет собой обобщение на случай сжимаемого газа потенциального течения от сосредоточенного вихря в несжимаемой жидкости. Лля аднабатнческого течения совершенного газа такое течение сУшествУет лишь вне кРУга с РадиУсом к „(рнс,4.1а), определяемым условием и:мин М На окружности к 'в, скорость газа равна максимальной скорости адиабатнческого установившегося течения Ъ~~ а давление и плотность равны нулю.При неограниченном росте В скорость газа убывает до нуля (рис.4.16),а давление н плотность стремятся к их значениям в состоянии торможения; На окружности '6 'к~а у~~ ~ 'уе л скорость газа равна критической, так что при значениях 6 > В„р течение газа дозвуковое, в кольцевой области С ис Ф С бакр — свер звуковое.
На рис.4.1а в етой кольцевой области показаны акустические характеристики двух семейств. Рис. 4.1а 2. Рассмотрим другое частное решение уравнений (3.10): ~=Ас1 (А >О), у~ =А У вЂ” — с(н' с~ У. (4.3 ) а'Р у~ К~> Найдем соответствующее течение газа, Из соотношения (3.8) следу- Поступая 'при интегрировании аналогично предыдущему, отсюда получаем (4.4) Второе соотношение (4.5) показываРис. 4.1б ет, что линии тока направлены вдоль лучей, исходящих из точки З х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
