Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Внутренние линии тока на диаграммах 1 — 3 приложения были рассчитаны методами, описанными в гл. 1Х, п. 2. Нам также неизвестно какой-нибудь формулы, в этом или любом другом случае, выражающей время, необходимое для того, чтобы частица прошла от одной точки до другой вдоль внутренней линии тока. 4. Каверна за клином. Распространение результатов и. 2, 3 на случай клиньев при и Ф 1 позволяет выяснить некоторые интересные теоретические вопросы. Задавая годограф в виде кругового сектора, можно повторить рассуждения, приводящие к формуле (2.7), ввести )й' = Т2 и получить соотношение Т= —— гал 2Сгл+ ! ' (2.1 5) Одно из таких течений показано на.диаграмме 4 п32нложения.
,где й ) О, С вЂ” действительный параметр, Если и — рациональное число, то можно проинтегрировать -равенство с/а= 2~. 'Тг/Т, для того чтобы определить з(~) и другие величины, используя общие методы (п. 9); для иррациональных и можно использовать численное интегрирование ,(гл. 1Х, п. 7). Для симметричного клина Бобылев' ) отметил, что, поскольку С = О, из (2.15) просто следует (тлл 2 2л-2) (тзл 1 цз (2.15') 43 4.
Каверна аа кликал Если и = Ь'н выбрать в качестве переменной интегрирования, то длина пластины ( может быть легко выражена через логарифмическую производную гамма-функции ф(х) =Г'(х),!Г(х) по формуле [62] 8 +8'+16~се'1 4 ~ (2 4 Коэффициент сопротивления также может быть графически построен 4) в зависимости от угла раствора клина р = 2к/и.
Однако наиболее интересным фактом является теоретическая недостаточность предшествующих методов для рассмотрения общего асимметричного случая. Так, например, для каждого угла Рис. 12. наклона а только одно отношение длин сторон клина совместимо с однолистным годографом в виде кругового сектора. Для других размеров клина простейшее идеальное кавитационное течение нс будет разветвляться в вершине клина. В случае тупого клина (рис. 12,а) это приведет к годографу в виде кругового сектора с разрезом; в случаях острого клина е ,(рис. !2, 6) в вершине клина возни- ! е .кают бесконечные скорости. Чтобы .избежать бесконечных скоростей '), ---" можно предложить другие конфигу- Рис.
13. рации свободных линий тока (гл. Ч, и. 6, рис. 59); во всяком случае, нужны более усовершенствованные методы исследования. В действительности даже около плоской пластины образование идеального кавитационного течения нс столь обязательно, как это можно было бы предположить. Другая возможная схема такого течения изображена на рис. 52. Еще одна возможная схема течения, отличающаяся от однородного течения около плоской пластины, расположенной параллельно набегающему 44 Тл. 75 Тодографы в виде круговою сектора потоку, получается, если положить а 4 О в схеме п.
2 при изменении положения пластины и ее размеров так, чтобы критическая точка и входная кромка располагались постоянно в точках л = О и з = 1 соответственно. Получающееся течение показано на рис. 13; оно определяется формулой Е 16 ЗС 1 — 1~. (2. 16) 17 ~(1 с)э + (1 с)э В самом деле, определение всех возможных течений со свободными линиями тока около плоской пластины крайне сложно 5) . 5. Струя, истекающая из воронки. Одним из простейших течений со свободными линиями тока является струя, истекающая из воронки (см. диаграммы 5 и 6 приложения).
Схемы таких течений показаны на рис. 14,а — в. Впервые эти течения 1 д' Г Рис. 14. Таблица 7 Струя, истекающая из симметричной воронки (8 — половина угла раствора) 157,5' 112,5 22,5' тс 0,537 0,577 0,516 0,500 0,546 0,541 0,666 0,684 0,611 0,632 0,568 0,606 0,745 0,753 ~с теор. Сс экса. 0,855 0,882 изучал Гельмгольц (27, стр. 225); см. также 133, стр. 311. Коэффициенты сжатия жидких струй предсказываются теорией с достаточной точностью '), как видно из табл. 1. Табл. 1 основывается на расчетах, проведенных Мизесом [61, стр.
472), и данных Вейсбаха, исправленных с учетом влияния силы тяжести Цейнером (88, стр. 3511. Б. Струя, истекающая из воронки В этом случае область в плоскости !1т, очевидно, является бесконечной полосой с критической точкой ири Чт = — оо, Путем соответствующего выбора единиц измерений ее можно свести к полосе 0( Чт (я. При этом переменная Чт в формуле Т= еит, или Ж'= !п Т (2.1 7) однозначно определяется в полуплоскостн Т. Если годограф течения изображается круговым сектором, что кажется вполне правдоподобным, то одновременно будут справедливы соотношения (2.17) и (2.3). Наличие критической точки Чт" = — оо, Т = = 0 приводит к тому, что а = 0 в формуле (2.3). Наконец, поскольку преобразование Чт — !1т+ !г, которое соответствует преобразованию Т е"Т, нс имеет никакого физического смысла (гл.
1, и. 3), то можно без потери общности положить Ь = с = 1, Следовательно, формула (2.3) сводится к (2.!5), если положить 2!г = !. Учитывая еще и формулу (2.!?), получаем Ю'= и !п» вЂ” !и (»'" — 2С»" + 1) = = и !и» вЂ” !и (»" — ег"") — 1п (»' — е г""), (2.16) где С = созна, 5 = з!ила, как и в и. 2 — 4, причем — а определяет направление струи на бесконечности. При п = 1 в случае струи, истекающей из щели (см. диаграммы 6 и 7 приложения), можно легко проинтегрировать ига = =» гг'Ф' в замкнутой форме и получить гв а=- — — +С(1и»+ !Ч')+го 1п г„. (2.!9а) » — е В табл.
2 приведены коэффициент сжатия') струи С, и угол т, образованный стенками щели и линией, соединяющей края гцели, в зависимости от а для 0 ( а (90'. При а = 90' коэффициент сжатия равен к/(и+ 2) = 0,611; в этом случае свободная граница оказывается трактрисой. В общем случае свободные границы могут быть выражены в параметрическом виде следую- Таблица в Геометрические параметры струи, истекающей нз щели м,а гао гал' аа,а' та,т' ат,о Гл. !Л Годогрос!ггг в виде кругового сектора щим образом. На левой свободной линии тока, где величина Ь = ег" [О < гт < а], находим х = — соз с'+ г я и а+ гСгг — С )н [2 (соз о — соз а)]— — 5(а+ я)+ — г5!и— 1 .
1 — сов (З вЂ” и) 2 1 — сов(у+и) ' (2.19б) Наиболее интересным является симметричный случай в). В этом случае ноловина течения вновь представляет струю, вытекающую из воронки, одна сторона которой (ось симметрии) простирается в бесконечность. Если выбрать оси координат как и в предыдущем случае, то ось симметрии будет составлять с горизонталью угол а = р)2 = гг)2л, так что в формуле для комплексного потенциала (2.18) получим С = 0 и 5 = 1. Следовательно, (ггг — и !н с — )н (г,гв+ 11 (2.18а) ,гп — г дс х = ] ~ 'г((уг= — — — 2л ] ', (2.186) тги+ ! откуда входное отверстие воронки й определяется через логарифмическую производную гамма-функции ф(х) = Г'(х)/Г(х) в следующем виде: Ь=з1п~ !2и+т(1 — 4 ) т(2 4 ))' В интересном частном случае насадка Борда л = 'гг (см.
гл. 1, и. 10). В этом случае уравнение свободной линии тока имеет явное выражение [51, гл. 1кг] 0 о х = 2 з!пг — — 21п зес —, у = 0 — з)н О, 2 2 ' а коэффициент сжатия струи С, = 0,5 (ср. гл. 1, я. 10). Представление о том, что коэффициент С, всегда находится в пределах 0,5<С, <1,О было очень полезным в гидравлике. Для сужающихся отверстий это следует из вышеизложенных результатов и теоремы сравнения гл.
И, и. 13. Однако, как было показано Леви-Чивита "), это заключение не обязательно выполняется в случае сужаюд1ихся — расширяющихся насадков типа, изображенного на рис. 14, г. Аналогично, на правой свободной линии тока, где а < тр < к, х = — соз г+ г яп у+ гС (а+ т) — С!п [2 (соз у — соз а)]— — 5а-г--,г5 )н (2.19в) 6.
Удар струи а пластину 6. Удар струи о пластину. Струя, ударяющаяся о бесконечную пластину") (рис. 15,а), в плоскости ))т дает более сложную область (рис. 15, б); годографом течения является полукруг (рис. 15,в). Будем считать, что пластина расположена горизонтально и что ширина струи равна к. Л ем м а 1. Если точки разветвления отображаются на точку Т = О, то плоскость (1т отображается на гголуплоскость Т посредством преобразования %'= — (п(Т вЂ” Т,)+Ь,!п(Т вЂ” Т)+Ьз1п(Т Тз) (2 20) где Тг, Тз, Т,— точки на бесконечности набегаюи!ей струи и ее двух ветвей соответственно, причем Ьз + Ьз = !. йлоскосгпь ь 77лосноспгь и' яласоосвгь г Р ис.
15. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно общей теории отображений Шварца — Кристоффеля в (2.4) можно положить, что 7(Т) = = Т!(Т вЂ” Т,) (Т вЂ” Т,) (Т вЂ” Т,). Используя разложение на простые дроби"), можно далее написать 7(Т)= ~Ьг)(Т вЂ” 7;) для соответствующих постоянных Ьь Ьп Ь,. Интегрируя (2.4), получаем (о'=~Ьг1п(7' — Т;), причем пйг равно скачку функции тока )г в точке То Согласно принятой нормировке, Ь, = — 1; вследствие сохранения массы (однолистности в смысле теории функций комплексного переменного) получаем Ьз + Ь, = 1.
При несколько более тщательном рассмотрении можно получить конечные формулы. Если положить гз (2.21 а) то область годографа по теореме 1 отображается на полуплоскость, и параметры и = Ь = с = 1, а = гз = 0; кроме того, в точке разветвления потока г, = О, откуда Т = 0 и, значит, условия леммы 1 выполнены. Подставляя й=ег", ч=1, 5= — 1 в (2.21а), полУчаем соответственно Тг=2ег"7(езги+1), Т,=1, Т,= — 1. Далее, из условия сохранения количества движения в горизонтальном направлении находим Ьз — Ьз = С, где С = соз а (а — угол Гл ГЛ Годографм в виде кругового сектора между набегающей струей и осью х). Учитывая далее условие йг + Йз = 1, получаем 2пт= !+С и 2йз=) — С. (2.216) у (Т) — Х гг!(Т Т!) и интегрируя, по- Подставляя в (2.5) лучаем а=то+С!п(~з 2С~ 1 1) г51п с — г '" — (! +С) 1п(ч — 1)+(! — С)!п(с+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
