Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Далее, поскольку ускорение жидкости Йп/И = — ур/р, ускорения должны быть направлены к каверне, если там давление минимально. Этот результат, как и теорема 1, хорошо согласуется с наблюдениями. Следствие 2. Для каверны конечных размеров скорость на границе каверны постоянна, и поэтому существование критической точки на ней Невозможно. зо Гя, ! Общие соображения Доказательство. Согласно теореме Бернулли, вдоль линии тока (62, гл, 1] постоянному давлению в каверне соответствует постоянная скорость (как и в следствии 1, течение не предполагается безвихревым).
С л е д с т в н е 3. Каверна конечного размера, вдоль гранис!ьс которой скорость меняет знак, должна иметь точку заострения и 1ч <О. (Относительно подобных каверн см. гл. Ъ', и. 14 и гл. Ч1, п. 10. Применяя принцип строгого максимума (гл. !'тг, п. 9), можно доказать, что Я < 0.] Следствие 4. Если выполняется условие (1.1б), то каверна за простым выступом имеет бесконечную длину и Я = О. В связи со следствием 4 возникают принципиальные трудности теоретического характера, поскольку для реальных каверн (и следов) Я ) О. Эта трудность преодолевается введением фиктивных стенок или возвратных струй на заднем конце каверны (см. гл. 11, п.
8, гл. 111, п. 8 и гл. чг, п. 9). Это впервые было показано для следов Рябушинским в 1920 г. [74, 75] и распространено на каверны Вейнигом в 1932 г. (43, стр. 294 — 300]. В случае криволинейных препятствий имеется вторая менее серьезная трудность, которую не учитывал Леви-Чивита н на которую впервые указал Бриллюэн в 1911 г. (13], а именно: положение точки отрыва оказывается неопределенным даже для бесконечных каверн.
(В случае плоской пластины во избежание бесконечно большой скорости и кавитации отрыв задается у острых кромок. Этот факт отмечался еще Гельмгольцем в 1868 г. (27].) Для определения положения точки отрыва потребовалось применить искусственный математический прием (гл. Ч1, п. 6), физический смысл которого был выяснен (с использованием условия (1.16)] лишь недавно (7, гл. П, п. 5]. Для широкого класса двумерных препятствий, включая круговые цилиндры, следующие условия оказываются эквивалентными: 1) отрыв происходит как можно ближе к критической точке, 2) давление минимально на поверхности каверны, 3) каверна имеет выпуклую форму, 4) кривизна каверны в точке отрыва конечна.
15. Эффективные методы вычисления; обобщения. Теория идеальных плоских течений (гл. Ъ'1 — Ч11) и ее завершение с помощью эффективных вычислительных методов (гл. 1Х) является для математика кульминационным пунктом всей книги н представляет собою полное решение трудной краевой задачи теории потенциала, интересовавшей математиков в течение почти це лого столетия, 16.
Влзкост~ и гурбялкнтногть Последний шаг, заключающийся в разработке эффективных вычислительных методов, вряд ли имел бы практическое значение, если бы не последние достижения в области быстродействующих вычислительных машин. Мы сочли этот последний шаг очень важным и поэтому посвятили ему целиком гл. !Х. Однако успех в разрешении этой задачи дает очень мало оснований для успокоения. В теории идеальных плоских течений пе учитывается влияние сжимаемости, сил тяжести и вязкости. Более того, в ней игнорируется неустойчивость (по Гельмгольцу) поверхностей разрыва и турбулентность потока.
В остальной части книги обсуждаются попытки учета указанных факторов, а также возможность построения трехмерных струйных течений. Прежде всего рассматривается возможность непосредственного обобщения методов теории функций комплексного переменного. Так, в гл. ЧП! анализируются плоские течения сжимаемой жидкости без учета влияния силы тяжести (и вязкости) и плоские течения несжимаемой тяжелой жидкости. В первой из указанных выше задач с успехом применяется достаточно общая теория Чаплыгина (93! и его последователей. В гл.
Х рассматриваются установившиеся осесимметричные эйлеровы течения со свободными границами. Несмотря на отсутствие точных аналитических формул и несмотря на наличие лишь небольшого числа достаточно точных численных решений, для частных случаев известно много приближенных результатов. Кроме того, развиваются прямые численные методы, с помощью которых можно надеяться в ближайшее время решить эту задачу. Исследование неустановившихся (т. е. зависящих от времени) потенциальных течений в гл.
Х1 имеет особый характер. Несмотря на то, что рассматриваемые течения весьма важны для приложений, полученные результаты относятся в основном к простым симметричным конфигурациям свободных границ и возмущений (цилиндрической и сферической кавитации), допускающим применение метода разделения переменных. Единственнымн исключениями являются импульсные и антомодельные течения, в которых от переменной времени удается избавиться другим способом. !6. Вязкость и турбулентность.
Наше понимание влияния вязкости н турбулентности на струи и следы еще менее полно. Поэтому в гл. ХП вЂ” Х!'эг, посвященных этим эффектам, принят полуэмпирический подход. Этот подход резко отличается от принятого в гл. П вЂ” Х1, в которых главным образом разбираются корректные решения корректных краевых задач потенциальной теории. Для нелинейных уравнений Навье — Стокса, котооые, по-видимому, описы- 32 Гя. Д Общие соображения вают вязкие и турбулентные струи и следы, неизвестны какие. либо точные решения, относящиеся к этой задаче, за исключе.
нием случая «ползушего» течения при Ке((!. В гл. Х11 и Х1Ч почти вся теория представляет собой немногим больше, чем интерпретацию уравнений сохранения количества движения (которая значительно сложнее, чем это может показаться, судя по теории невязкого течения) в сочетании с соображениями подобия при асимптотическом поведении. Сверх того, даже указанная весьма неполная теория не всегда выдерживает критику; это особенно относится к понятию «длины смешения», несмотря на популярность, которой оно пользуется.
Еше болыпее значение эмпирический подход имеет в гл. Х111, в которой рассматриваются удивительные периодические явления, происходящие (см. п. 5) при числах Рейнольдса, лежащих между значениями, соответствующими типичным ламинарным струям и следам, с одной стороны (гл. Х!1), и типичным турбулентным струям и следам, с другой стороны (гл. Х!Ч). Какими бы неприемлемыми для математика ни казались рассуждения гл. Х!1 — Х1Ъ', они содержат важные научные факты и их интерпретацию. Что касается весьма важных задач истечения жидких струй в жидкость, газовых струй в газ и реальных следов, то в настоящее время эти рассуждения дают наилучшее научное истолкование. Теоретические модели потенциальных течений, приведенные в гл.
11 — Х, слишком неточны, несмотря на некоторые исключения "). Мы надеемся, что те, кто считает анализ, проведенный в гл. ХП вЂ” Х1Ъ', неприемлемым, сделают попытку улучшить его! 17. Другие физические переменные. Как и в большинстве других разделов механики сплошной среды, даже те задачи, ко. торые слишком сложны для математического решения, с точки зрения физики слишком просты. Для завершения нашей реалистической оценки теории струй, следов и каверн мы приводим в гл, ХЧ описание ряда важных эмпирических фактов, связанных с физическими переменными, которые полностью игнориро. вались в гл. 11 — Х1Ч. Некоторые из этих переменных перечислены в гл. ХЧ, п.
1. Мы хотели бы здесь отметить, что реальные струйные течения, следы и каверны чрезвычайно сложны. Успешная математическая разработка любой из упрощенных моделей может считаться обнадеживающим шагом на пути к следующей, более реальной модели. Если иметь в виду эту точку зрения, то расположение материала в книге должно представляться вполне логичным, несмотря на его разпородност~. Последовательно проводится деталь. Примечаний ное исследование все более сложных явлений или их математических приближений.
На каждой стадии усложнения мы пытаемся построить картину уже известного явления, описывая ее возможно более рациональным образом. По мере усложнения мы постепенно переходим от теорий, известных в течение некоторого времени, к идеям, высказанным недавно, затем к теориям, имеющим фрагментарный и незавершенный характер, и наконец, к простому изложеншо экспериментальных фактов, количественное истолкование которых еще совсем не ясно. Следуя этому плану, мы теперь обратимся к изучению простейших после параллельных течений (п. 7) математических моделей струй и каверн.
Вплоть до гл. Ъ'111 мы будем рассматривать исключительно безвнхревые стационарные течения не- вязкой жидкости, ограниченные неподвижными и свободными линиями тока, и учитывать только силы инерции. Мы будем считать, что эти течения описывают поведение струй жидкости в воздухе и каверн позади препятствий в потоке большой скоро. сти, забывая (временно), что реальные течения подвергаются также действию сил тяжести, поверхностного натяжения и вяз. кости. ПРИМЕЧАНИЯ ') В)г[|Ьо11 С., МсОоггяа)1 О Р, Рцяь Е. М., Тау1ог С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
