Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Как обычно [7, гл. П11, 1/Йе и 1/Рг определяют относительную роль сил вязкости и сил тяжести соответственно. Наконец, примем обычные обозначения для коэффициентов сопротивления и подъемной силы О бо= — раеА 2 в и Сг —— — ра'А 2 где 0 — сила сопротивления, 1. — подьемная сила, А — площадь поперечного сечения препятствия, расположенного в потоке. В п. 13 мы увидим, что введенные здесь безразмерные коэффициенты существенны не только при эмпирических расчетах, но и в теоретических исследованиях. 5.
Реальные следы. Реальные следы представляют собой наиболее характерный пример, иллюстрирующий значение числа Ке (1.5). По мере роста Ке = М/р характер следа позади кругового цилиндра, сферы или другого тела с поперечным размером и' претерпевает четко выраженные изменения, которые можно в общих чертах охарактеризовать следующим образом (31, гл. ХЦ. (Более подробно это явление рассматривается в гл.
ХП вЂ” Х1Ч. На рис. 99 дается картина последовательных изменений.) При Ке ( 0,1 линии тока примерно симметричны относительно поперечной оси тела и соответствуют так называемому ползущему течению. В интервале (приблизительно) 0,1 < Ке < 5 линии тока позади тела расходятся, нарушая симметрию. При дальнейшем увеличении числа ке (например, при 5 < це < 25) за препятствием могут образоваться два стационарных симметричных вихря.
В этом диапазоне чисел Ке на поверхности тела появляется также четко выраженный ламинарный «пограничный слой» с сосредоточенной вдоль тела завихренностью. В диапазойе 30 < Ке ( 1500 возможны самые различные типы течений Непосредственно за плоской пластиной типичен более или менее неподвижный след (см. рис. 2). В случае кругового цилиндра след колеблется из стороны в сторону и периодически появляются вихри переменного знака (рис.
105). В случае диска периодически возникают вихревые кольца. При дальнейшем увеличении числа це след все более турбулизируется и обнаружить периодичность становится все труднее, Наконец, при Ке порядка 1Оз — 10' пограничный слой сам стано- 6. Типы капит«Чик 17 вится турбулентным, отрыв потока затягивается и след за обтекаемым телом заметно сужается. 6. Типы кавитации. Если предположить, что кавитация возникает самопроизвольно при р < р, [см. (1.1б)1, то можно получить грубую оценку условий возникновения кавитации в установившемся потоке (некоторые существенные исключения из этого описаны в гл.
ХЧ п. 1 — 4). В соответствии с этим (см, п 8) характер кавитационного течения около препятствия будет меняться в зависимости от числа кавитации 9 (1.3) следующим образом (ср. [2), [1) или [45)). Первые признаки кавитации наблюдаются, когда число становится меньше некоторого критического значения числа 9ь лежащего обычно в интервале 0,35 < Д; < 1,О, Точное значение числа (1, зависит больше всего от формы препятствия, а также от поверхностного натяжения, количества растворенного воздуха и вязкости жидкости (см.
гл. ХЧ). Когда 9 становится меньше Яь в зоне отрицательного давления возникают мельчайшие каверны, наполненные воздухом или парами, захлопывающиеся с шумом, как только течение выносит их снова в область повышенного давления. Этот тип течения называется режимом начальной кавиггв1ии. С дальнейшим уменьшением числа Я кавитационные пузырьки становятся крупнее и впереди кавитационной области начинается отрыв потока.
При еще меньших значениях Я пузырьки сливаются в общую полость, которую и можно назвать «каверной». На обычных фотографиях таких каверн (рис. 4, а) их поверхность выглядит ровной и матовой ввиду того, что за время экспозиции пузырьки успевают переместиться на расстояние, во много раз превышающее диаметр пузырька (например, на 2,5 мм за 0,02 се«). Скоростная фотосъемка 'а) (с выдержкой порядка 1О-' сок) обнаруживает в этом случае пенистый турбулентный характер поверхности каверны (рис. 4, б). Течение в каверне обычно имеет резко выраженный градиент давления.
При еще меньших числах кавитации (например, при Я = 0,10), особенно в случае обтекания хорошо отполированных препятствий с острыми краями в гидродинамических трубах с низкой турбулентностью и малым содержанием воздуха, поверхность каверны становится ровной, прозрачной, действительно стационарной поверхностью.
Возможны также и другие типы кавитации; они будут описаны в гл. ХЧ. Помимо «срывной кавитации» на спинке винта и турбинных лопаток, известна так называемая концевая кавитация, срывающаяся по спирали с концов винта, «вихревая кавитация» вблизи затопленных струй и «акустическая кавитация», вызываемая звуком. Я Г, Ьиек~»Ф 1з Гл.
!. Обиеие соображения Рис. 4. ФотограФии каверны позади диска в потоке воды в канале. 7. Модели параллельных течений. Следует отметить, что не все струи и каверны обладают такой сложной структурой. Так, например, истечение жидких струй из насадков и вертикальные кавитационные течения за продолговатыми телами могут быть Неппдвижппя жидлпсгпь — сг ---Струя---- з след Непадоижппя жидлпстп Р и с. 5. приближенно представлены следующими двумя простыми моделями параллельного течения.
В модели струй предполагается, что скорость о постоянна внутри прямого кругового цилиндра диаметра д = 2 а, а окружающая среда неподвижна (рис. 5, а). В кавитационной модели вне такого же цилиндра поток предполагается однородным со 8, Эйяеровн течения !9 скоростью о. Цилиндр (рис. 5,б) составлен из полубесконечного твердого тела, к которому сзади примыкает каверна (или стационарный след, заполненный «мертвой водой»).
В обеих моделях предполагается, что каждая область невозмущенного течения ограничена поверхностью разрыва, или скольжения, на которой скорость разрывна "). В невязкой жидкости такая поверхность могла бы находиться в равновесии при условии, что давление непрерывно при переходе поперек поверхностей скольжения. В салюм деле, течения, приведенные на рис.
5, в точности удовлетворяют уравнениям движения любой невязкой несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р. Это легко можно проверить, если исходить из математического определения такого течения, данного в п. 8. В этом смысле, как впервые отмечено Гельмгольцем (27), данные течения могут рассматриваться в качестве возможных моделей газовой струи и следа в газе. Неустойчивость.
К сожалению, поверхности разрыва оказываются неустойчивыми 'е). Как будет показано в гл. Х1, п. 14, малые возмущения поверхностей разрыва возрастают по экспоненциальному закону. Скорость возрастания, грубо говоря, пропорциональна )/ер'/р, где р' и р — плотности жидкостей по обеим сторонам поверхности разрыва, причем р' < р. Влияние вязкости оказывается несущественным. Вследствие указанной неустойчивости модели на рис. 5 приближенно соответствуют реальным течениям только в том случае, когда выполнено условие (1.2 ") или же когда рассматривается начальная часть струи или следа.
Кроме того, если р'+ р, то модель перестает быть верной вследствие влияния сил тяжести: гидростатическое давление не может быть непрерывным поперек поверхности разрыва, за исключением случая горизонтального течения. По указанным причинам описанные модели приближенно соответствуют действительности прежде всего при выполнении следующих ограничений: — ' ((1, (1.2*) е Рг » 1.
(1.7") (При этом, конечно, предполагается, что Гсе»! и М((1.) Эти же ограничения (1.2 ") и (!.7 *) обычно применяются при математических обобщениях моделей рис. 5, которым в основном посвящены гл. !1 — Х (некоторые исключения отмечены в прим. 22, гл 1 и прим. 4, 7, 14, гл. 11), 8. Эйлеровы течения.
Результаты, полученные в гл. П вЂ” Х, базируются на дифференциальных уравнениях Эйлера для Гя. Д Общие соображения невязкой несжимаемой жидкости, вывод которых не представляет затруднений. Предположим, что вектор скорости и — функция радиуса-вектора х и времени 1, имеющая непрерывные производные всюду, за исключением, может быть, особых поверхностей разрыва. В тензорных обозначениях и,= и,(хп х„хз', г), (1.8) где г = 1, 2, 3. Несжимаемость, или сохранение объема, жидкости математически выражается условием з б!Уп= т — '=О, чч дпг л ! дх; г=г (1.9) для всех х, й При скоростях, не превышающих 20а/о скорости звука (т.
е. не более 60 м/сек в воздухе и 280 м/сек в воде), жидкость можно считать почти несжимаемой. Уравнения движения невязкой несжимаемой жидкости в форме Эйлера имеют вид з г(дч-» ° д,' ~= — г, -~-геы а=1 (1.10) ди и= ЧК и,= —. дхг ' (1.1 1) Очевидно, что такое безвихревое течение одновременно является течением несжимаемой жидкости тогда и только тогда, когда з з (1.12) Легко убедиться в том, что безвихревое течение несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнениям (1.10) тогда и только тогда, когда соответствующее ему давление р (х; 1) удовлетворяет уравнению Бернулли ") р+ 2 рЧЮЧИ+р дг +~О =р~Я. 1 дУ (1.13) *) Уравнение !1.13) чаше называется интегралом Коши — Лагранжа, уравнение Бернулли получается аз него пря дО/дг = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
