Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ле В качестве первого примера определим минимальное число кавитас)ии для установившегося кавитационно- Рнс, В, го течения в кавитационной трубе (рис. 8). Рассмотрим '") течение невязкой несжимаемой жидкости, имеющей стационарную границу с газом, обладающим пренебрежимо малой турбулентностью. Далее предположим, что в кавитационной трубе с площадью поперечного сечения А, имеется равномерный набегающий поток со скоростью о, и что скорость равномерного свободного потока вниз по течению становится равной о„ когда площадь каверны достигает своего максимума А,. Приращение количества движения жидкости в единицу времени равно ро',А, — рпоАО, где А, = А, — А,.
Полная сила, действующая на жидкость, равна (р, — ра) А, — О, где р, — давление вверх по потоку в свободной струе, ра — давление паров В каверне, 0 — сопротивление обчекаемого тела. Отсюда Рп,'А, — РпоАа=(РΠ— Р.) 4о — О Гя. 1. Общие соображения По уравнению Бернулли, р„+ рф2 = р„+ ро',~2; вследствие несжимаемости потока в,А, = воАо. После подстановок получаем ь) = РАо~2 (о~ ~от)+(оо ~1)~о~ 2 РАо(~1 по) (1.18) Применяя снова уравнение Бернулли и определение (!.3), имеем Я = ~ — ') — 1, или (1+ Я) ь = — "', (1.18') получим точное соотношение С~=!(1+ Фь 1!' А' '-'= ол' ' (1. 19) Следовательно, !г не может быть меньше минимального числа кавитации Я 1„определяемого соотношением !'.)> (;! ь,=2(С~)л( — 4 — ) '. (1.19') Поскольку Св обычно изменяется в пределах 0,0625 — 1,00, то практически (А/Ао)ь/2 < Я ы < 2(А!А,)ь.
Таким образом, чтобы получить Я = 0,05, необходимо иметь отношение Ао/А равным не менее 400. Но поскольку это нереально, то можно заключить (9), что исследование кавнтации при Я < 0,1 предпочтительнее проводить в свободной струе, а не в закрытой кавитационной трубе. Сопротивление и число Я. Предполагая, что распределение давления с точностью до масштабного коэффициента не зависит от !е, можно получить очень полезную приближенную формулу ") С (Я)=;1+ !1)С (О), (1.20) которая следует из того, что по уравнению Бернулли коэффициент давления Ср изменяется от ! в критической точке до — (г в каверне. Согласно определению (1.Зб), формула (!.20) с успехом может применяться также и для следов. Она дает зависимость между теоретическим значением Сэ(0) при Я = 0 и действительным значением Са. Вообще применима также другая при.
ближенная формула 1 — С, Д) =(1+ (~) (1 — С,(0)). (1.20') сткуда, выразив, как обычно, коэффициент сопротивления через поперечное сечение препятствия А и скорость вверх по потоку во = вь так что Роо 4 1 оо ) А ' ИЬ Идеальные плоские течения 27 Разл~ер каверны. Лналогичное приближенное рассуждение дает довольно надежную оценку размера каверны. Этот размер играет важную роль в баллистике, так как убойная сила пуль часто зависит больше от образуемой ими каверны, чем от их пробивной способности ").
В основе этого рассуждения лежит предположение, что течение вокруг замкнутой каверны за снарядом, движущимся с большой скоростью, имеет в основном радиальное направление. В частности, можно предполагать, что сопротивление О= = — ро'АСо 1см. (1.7)1, рассматриваемое как сила, приложено 2 к жидкости и определяется изменением кинетической энергии на единицу длины перемещения. Принимая, далее, что почти вся эта кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию (работу расширения каверны) при максимальном поперечном 1 сечении каверны А, получим 2 ро'АСр — — (ру — рл)А, или та) С А А,„ (1,21) Аналогичным образом, в случае открытой каверны, простирающейся до поверхности воды, можно предположить, что работа затрачивается на преодоление гидростатнческого давления рду на глубине и.
Отсюда имеем приближенную формулу 77 А Си~ А (у) = —, или РА'у А 2еу (1.21') Этот приближенный анализ будет развит далее в гл. Х, п, 6. 12. Идеальные плоские течения. Для полного определения идеальных (эйлеровых) течений, удовлетворяющих условиям (!.12), (1.14а) и (!.146), требуются более совершенные методы. Наиболее простыми являются идеальные плоские течения. Гл. 1! — Ч!1 в основном посвящены исследованию этого случая, являющегося единственным, для которого существует законченная точная теория.
В плоском течении положение точки на физической плоскости может быть определено единственной комплексной координатой в = х + )у. Сопряженную комплексную величину вектора скорости обозначим Ь = С + 171, так что 3 = и, и т! = — и,. Если комплексный потенциал В' определим как У + Ю, где 0 — потенциал скорости, 1' — функция тока, то, как известно из классической теории [51, 18ь) идеальных плоских течений, йу (г) является комплексной аналитической функцией, причем — г=) ч ФФ; (1,22) 28 Гл.
I. Общие соображения Соответственно краевые условия (1.14а) и (1.14б) переходят в условия Тг= сопз! (1.22а) на твердой границе и [Ц =~ — „~ ~=сонэ! (1.22б) на свободной границе. В некоторых случаях, когда твердые границы имеют прямолинейную или полигональную форму, идеальные плоские течения, удовлетворяющие условиям (1.22), (!.22а) и (!.22б), могут быть найдены с помощью конформного преобразования, причем решение получается в замкнутом виде. Гл. 11, !11 и Ч будут посвящены разработке этого метода, впервые примененного в 1868 — 1869 гг. Гельмгольцем [27] и Кирхгофом [44].
Случай криволинейных стенок, теоретически значительно более сложный, рассматривается в гл. Ъ'1. Несмотря на то, что многие основные идеи теории были даны Леви-Чивита [53] еще в 1907 г., лишь только около 1930 г. эта теория была завершена теоремами существования и единственности. Эти теоремы доказываются в гл. Ъ!1; в п.
1 этой главы дается краткий исторический обзор. 13. Общие теоремы. Хотя ббльшая часть гл. !1 — Х1 посвящена исследованию частных случаев, для которых течение может быть построено в явном виде, очень важно знать некоторые общие свойства идеальных струйных течений.
Мы начнем с одного результата, принадлежащего Кирхгофу"). Теорема 1. В любом течении, удовлетворяющем уравнениям (1.12), (1.13), минимум давления достигается на границе. До к аз а тельство. Применяя оператор Лапласа к (!.13) и замечая, что Р'6 = 0 [42, стр.
124], после преобразований получаем О= чэр+ — р1гг(ЛГ(/ч!У) = чгр[-р ~~1 чи,.чис Ясно, что чи, ри,) 0; следовательно [42, стр. 316], давление является супергармонической функцией и принимает минимальное значение на границе. Отсюда с учетом условия (1.1б) следует, что кавитация в безвихревом течении (но не вихревая кавитация) должна начинаться на границе. Теперь рассмотрим общий кинематический принцип, установленный Бриллюэном [13]. Т е о р е м а 2 (принцип Бриллюэна) . В установившемся безвихревом течении линии тока искривляются в направлении возрастания скорости.
29 14. Приложения Д о к а з а т е л ь с т в о. Компоненты ускорения частиц жидкости удовлетворяют, по определению, соотношениям где о=(егия) обозначает скорость течения. Следовательно, я 'Ь вектор ускорения параллелен градиенту скорости хо. В предыдущих теоремах течение предполагалось безвихревым.
Далее приводится результат, относящийся к динамическому подобию, в котором указанное предположение отсутствует, однако не учитывается влияние силы тяжести. Т е о р е м а 3. Если Ф вЂ” установившееся течение невязкой несжимаемой жидкости со свободной границей, то для любых действительных постоянных чисел а, )), т > О и о преобразования х' = ах, и' = "рп, р' = тр и р' = (р'!) р + й определяют установившееся течение Ф', также удовлетворяющее уравнениям Эйлера.
Утверждение теоремы непосредственно проверяется подстановкой в уравнения (1,9) и (!.!О), в которых пренебрегается ускорением ц и не учитывается д(д! [7, гл. 1Ч, и. 161. Указанное преобразование переводит свободные границы в свободныс границы и определяет скорость эйлерова течения У' = ар(1. При этом все безразмерные коэффициенты, такие как Со, !г (1.3а) и другие, остаются неизменными. Следствие. При определении эйлерова течения со свободными границами можно полагать р = о, =! и (например) й = к без потери общности Целый ряд других результатов общего характера будет получен ниже в гл. !Ч и Ч!!. !4. Приложения.
Из общих теорем п. 13 вытекает ряд очень важных результатов, которые мы представим в виде следствий, относящихся к установившимся плоским и осесимметричным течениям невязкой невесомой жидкости. Следствие 1, Если выполняется условие (1.16), то Я ) О и кавернсч должны быть выпуклыми. До к аз атель ство. Так как из (1.!6) следует, что р > р„ |о очевидно, что Я > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
