Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2.21в) Соответствующее уравнение свободных линий тока при !. = еог имеет вид 1, ! 1 — сов (т+и) ~ + — г'о1п ) 2 ! 1 — сов (т — и) где Рис. 16 (1+ С) — + о (к — а), если т < а, к! а! ! ти (1 — С) — — За, 2 если т > а. Если полученное таким образом течение отразить относительно пластины, то получим полное описание идеального тече- ния, соответствую!пего двум симк метрично сталкивающимся струям (рис.
16). Сталкивающиеся струи обсуждаются в гл. П1, п. 3 — 5. Интересен предельный случай, когда а устремляется к я, й, остается постоянным, причем йь йз становятся бесконечными (см. приложение, диаграмма 8). Относительно наблюдателя, имеющего скорость потока, этот случай выглядит как образование струи при разрушении каверны ").,Если заменить скорости на обратные, то можно получить пробивание неподвижной жидкой мишени плоской струей жидкости с равной плотностью. Течение определяется формулой — 2 2 с+1 .+, — + + 1п +сопв1. (2.22) Успешное обсуждение, проведенное в п.
1, делает естественной попытку рассмотреть струи, набегающие на бесконечные клинья, 7. Течения Реги путем обобщения преобразования (2.21а) в впдеТ=2»п((Р'+1). Однако, за исключением симметричного случая, такое обобц1снне нс дает годографа в виде кругового сектора (см. конец и. 4). Симметричный случай легче изучить, если рассматривать половину течения, которое в плоскости Ч7 изображается бссконсчной полосой.
Перейдем теперь к рассмотрению этого класса течений. 7. Течения Рати. Рассмотрим половину течения около клина, помещенного симметрично в струе, вытскающей из сопла (рис. 17,а), Этому течению в плоскости )Р соответствует бесконечная полоса (рис. 17,б); область годографа (как мы предполагаем) — круговой сектор (рис. 17,в), стягивающий полуугол клина Т = к!а. Такое течение будсм называть течением Рсти. Рис.
17. где С=совал. Положив г= [ ". 'е(Ж', получим »ел 2 — С»л 2»ел — Р— В»л — 2 а = 2л „, е(» — 2л ( е(»„ »Рп 2С»л+ 1 " У»гп 2Р»п+ 1 (2.24) где ,0= — (з +в п))1 и С<1, 1 Г. Блрлгпф Если нормировать тсчспис так, чтобы полоса в плоскости комплексного потенциала Я7 имела ширину к, а скорость на свободной линии тока была равна единице, то можно считать, что (Р = 1п Т, как в (2.! 7), где Т задано формулой (2.3) "). Это даст %'= 1п [а (",'л+ 1) + 2б»" [ — 1п[с (» + 1) + 2 е(»л[. Далсе, если и < 1 — скорость в сопле, а е-" — скорость в струе, то»=в при У= — ои, Т=ерг=б, и»=ечл при ))7=Т=ии, Таким образом, пренебрегая аддитивными постоянными, имеем )рт=!П[(»л — а'"")(".л — и 'л")[ — 1П[(Г" — Н")(»" — З ") [= =1п[ л 2С,л 1 1[ — 1п[»еп — (~п ! в-л) ! 1], (2,2З) 50 Гг.
Рл Годографы в виде кругового сектора На диаграммах 9 а, б приложения приведено относительное отклонение струи а/т и отношение и скоростей вверх и вниз по потоку в зависимости от длины клина и его положения для значений половины угла клина т = 15, 30, 45, 60 и 90'. Отклонение свободной струи и поджатие потока в канале симметричным клином показано на диаграмме !О приложения. Частные случаи этого течения будут обсуждаться в п. 8; формальное интегрирование соотношения (2.24) для любого рационального и будет произведено в п.
9. Пока отметим только Ч Р и с. 18. %'= 2 !п —,„— --, г гв-т а=4и ) гв ! сГ. (2.23') (2.24') Написанные формулы описывают струйное течение в угле (33, $211 1.1тношение максимальной ширины к конечной некоторые интересные обобщения по методу симметрии, помимо обобщения на случай клина в струе, вытекающей из сопла, изображенного на рис. 17,и. В предельном случае при а = О, когда прямые стенки становятся бесконечными, можно получить половину течения из углового насадка (рис. 18,а), а также и обтекание клина в канале [94!. Повторяя отражения, получим струи, образующиеся бесконечным рядом симметричных одинаково расположенных клиньев.
В предельном случае, когда стенки клина простираются в бесконечность в обоих направлениях (рис. !8,б), можно произвести отражение на обоих прямых участках стенки. Если л = = 2т — четное число, отражение можно повторить, чтобы сделать критическую точку внутренней критической точкой, как в случае сталкивающихся струй, уже обсуждавшихся в п. 6. Особенно простой случай получается, когда прямые стенки исчезают (и = 1, С = — !), чему соответствует комплексный потен- циал 8. Лриложения; аринина наложения выражает утолщение струи, равное о Случай и = 6 показан на рис. 18, в; любопытным фактом яв.
ляется то, что теоретически для идеальной жидкости течение в любой пз шести ветвей может быть обращено, причем уравнения движения все равно будут выполняться! 8. Приложения; принцип наложения. Особый интерес для приложений представляет случай и = 2, который был подробно обсужден Рати и другими авторами'з), "). Итак, рассмотрим половину кавитационного- течения около пластины шириной 2Ь, расположенной перпендикулярно к оси — Каверна Р и с. 19.
длинного канала шириной к/о (рис. !9, а), Можно легко проинтегрировать соотношение (2.24) в замкнутом виде и получить 2 е=/г(Г)=4агй" — 2еагйпг.— — агй — ', (2.25а) Ь = 1(2+ 2в) агс16 и — и), (2.26а) где и — асимптотическая скорость вверх по потоку. Коэффициент сопротивления, определенный по скорости на свободной линии тока (вниз по потоку), равен Св = к/1 — о')/Ьо; тот же коэффициент, определенный по скорости набегающего потока, равен Св/о'. Используя формулу (2.26), можно показать [61, что влияние стенки на коэффициент Со мало, если он определен по скорости на свободной линии тока, и весьма значительно, если он определен по скорости набегающего потока.
Например, в канале, половина ширины которого равна а = 6Ь, в первом случае поправка составляет всего 1о/о, а во втором — 150оЬ. 52 Гл. !!. Годогрофм в виде кругового сектора Аналогично, если пластина (ширнной 26') находится в свободной струе ширины и (рис. 19, б), то имеем е =7; (",) = 2 1п (1 + ч) — 2)п (1 — й) — е' 1п 1 г"С 1 — в!"С вЂ” ег м!п — 1кС (2.25б) 1 — г !" С го а1 Ь'=я(1 — сова) — 2з)по)п !и~ — ' — — -), 14 2)' (2. 26б) (2.25в) г Л (~) +Г2 (~)' Изложенное является частным случаем следующего принципа.
Принцип наложения. Пусть функции е = !'! (ь) и е = )г© определяют два идеальных плоских течения, имеющих одну и ту же заданную область годографа. Тогда любая линейная ком- бинация (2.27) = ~ьр' (~) + ~У (й) где аь а,— действительные постоянные, описывает идеальное плоское течение, имеющее тот же годограф. В самом деле, функции тока )г, и )г, являются кусочно-постоЯнными на гРанице; тогда 1ш(а!)1г~ +агКо) = а,)г, + а,)г, обладает тем же самым свойством и, следовательно, результирующее течение (2,27) действительно ограничено линиями тока.
Принцип наложения часто бывает полезен при изучении течений с годографами в виде кругового сектора. Однако в общем случае течения могут оказаться самопересекающимися илн не иметь физического смысла по другим причинам. где а — асимптотический угол струи. В этом случае поправка для коэффициента Сэ за счет конечной ширины струи равняется приблизительно такой же поправке в длинном канале одинаковой ширины, если этот коэффициент определяется по скорости на свободной линии тока. В случае пластины, расположенной в струе, еогтекающей из сопла (рис. !9,в), комплексный потенциал в плоскости годографа имеет источник в точке ь = и и сток в точке ! = е". В случае длинного канала источник находится в точке Ь = о и сток в точке С = !.
Для пластины в свободной струе источник расположен в точке з = 1 и сток — в точке ь = е'". Поскольку е = ~ с 'й)вг — линейная функция йт(Ь), то любое кавитационное течение около пластины, расположенной симметрично в ограниченной струе, можно рассматривать как наложение течений около пластины в длинном канале и около пластины в свободной струе, й. Роэаоэеение но лроггме дроби Каверна с разрежением. Недавно был также изучен '4') случай источника в точке с = и и равного ему по интенсивности стока в точке Ь = о,(0 ( о ( о, (1).
Предельный случай о = о, безграничного потока дает простейшую модель кавитационного течения с положительным числом кавитации Я > О. Он представляет собой половину идеального течения около пластины с каверной, граница которой заканчивается на параллельных (не свободных) линиях тока (рис. 19,г). Половина этого течения определяется формулами 2Се о'+ о-' С' — 2ДСе+ 1 ' 2 Отсюда сразу приходим к заключению, что а =7„(", еы)+7„("., е-'") — г' (', и) — е„(", ъ '), (2.29) где комплексные функции !„определяются интегралами Сл — 2 ел (' ~1) — Л ) еа еп р о 1 (2.29') Если показатель п = г/з рациональный (г, з — целые), то, введя параметр и =",'р= гпе, получим е е-а-1 /па(ч, "1) =г ),, ег'и, о и' — и' гле и =Г.па, 1 1 Поскольку л > 1 и г > з, то г > з+1 и подинтегральное выражение конечно при п = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
