Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Далее, разлагая на простые дроби, как можно видеть из того, что — (ч'+", ')/2 отображает область годографа на верхнюю полуплоскость Т. 9. Разложение на простые дроби. Будем теперь рассматривать выражения г© в замкнутой форме для течений с годографами в виде кругового сектора, области изменения В' которых являются односвязными и однолистными. Мизес [61! впервые заметил"), что метод п. 8 может быть применен ко всем течениям Рети с рациональными показателями п=г/з (г, з — целые).
Действительно, из (2.23) непосредственно следует ел — 2 Са-2 Сл-2 ел-2 г( = Г' еу Ж вЂ” ~ —.—. + — — 1 л А. ел ~п Са — (аа Сп а Сп -л (2.28) Гл. 11. Годографы в виде кругового сектора получаем -с — тыкт1т кча1 е ~,'Л и ЫМ1т йо и т-и-1 и — о| т т-1 У («, «)=и-'~~) е-"скн1т!п ~1 — ",.в ~ . (2.30) н=о ие Эта формула и дает возможность выразить г© через элементарные комплексные функции.
10. Применение бета-функций. Любая из функций / («, «~), введенных в п. 9, может быть также записана как неполная бета-функция Вз(т)=ВД, 0; т)=~ к~ (1 — т) с/т, о где р'=(и — 1)/и. Действительно, заменяя «=«,т'1", получаем (2.31) 1 «и Ч Т.(«, «,)= —.«; В; ~ —,„). 1 (2.32) С другой стороны, если показатель и = г/э — рациональное число, то функция В(1 — э/г, 0; с) может быть выражена по формулам (2.30) и (2.32) через элементарные функции. Используя бета-функции, получаем следующее обобщение рЕзультата Мизеса. Теорем а 3. Если область изменения комплексного потенциала течения )й' односвяэна и однолистна, а годограф изображается круговым сектором (2.2), то функция г(«) равна сумме переменной «, умноженной на рациональную функц1сю от «" = 1, и комплексных постоянных, с„умноженньсх на неполные бета-функции В1 (//11), где б= (и — 1)/и.
Доказательство (см. [9, З 5 — 6)). Поскольку функции Т = 1а(/в + 1) + 2Щ/!с(/к + 1) + 2с(4 и с/Ю/аТ = /(Т) рациональныс, то с/Ю'= — — / = г (1) й/, йЮ' вт а'Т В1 где г(1) — рациональная (действительная) функция. Но, согласно известной теореме алгебры, любая рациональная функ.ция может быть записана как линейная комплексная комбина- Примечапил ция простых дробей (! — !!)'". (В нашем случае гп ( 3, согласно следствию ! теоремы 4 гл.
!П.) Из этого следует, что 1-1,'л г = ) — = ~ сг ) (, г[1, (2.33) где тп = пт(!) — положительное целое число. Ио для любого г, нли (! = О, интеграл равен переменной Ь, умноженной на отрицательную целую степень 1, или же комплексной постоянной, умноженной на В (!/!т). Полагая т = (/!ь используя рекуррентную формулу — Ил 1 -1,'л 1 'л г! (1-.)'" — 1 (1 — )"-' ( -1) ~ (1-т)м-' и разлагая последний интеграл на простые дроби, можно перейти по индукции к случаю гп = 1, при котором результат получается сразу [см. (2.29), (2.32)1 Это и завершает доказательство. Интересные вычисления, основанные на предыдуших формулах, будут рассматриваться в гл.
[Х, п. 4. ПРИМЕЧАНИЯ ') См. [6, т. 1, стр. 6Ц [23*, 27*]. Доказательс~во этой теоремы не простое. ') См. Кирягоф [44] Репей [72, т. 1, стр. 287 и т, 1П, стр. 491] произвел впервые количественное сравнение с экспериментальными данными; более полное сравнение было сделано Фейджем и Иогансеном [90!. ') Б о б ы л е в Л. К., Ж. Русск. фиэ:яим. о-ва, 13 (1881), 63; (см, также Мещерский И.
В., там же, !8 (1886).— Прим, ред), Вгуап С Н., 3 о п е з й., Ргос. Яоу. Вос., 9]А (!9!5), 354 — 370. Полагаем, как в формуле (2.7), что 2/г = 1. ') См, также М о г1 о п 'йт. В., Ра!!. Мад., 48 (1924], 464 — 476; экспериментальные факты имеются в работе В г и п В., Р! а п М., Ч аз з е и г М., Е Яесд Сеп!ге Нит. Яесй Еса, № 4 — 5 (!948), 17 — 25.
з] Онн вознинают в том случае, когда жидкость обтекает угловую точку; течение около пластины с бесконечной скоростью см. 5 с 11 гп]е б е п С., Еи]![игаса., 17, № 2 (1940), 37. См, также К а 1 а о и а М., Ргос. 2пг( уар. Нас. Сопуг. А рр!. Меся., № 2, 239 — 243. ') Имеется девя~ь случаев; см.[78! ') См.
[6!]; [59]; М с !4 о м п 3. 5., Н з и Б.-У., Ргос. 7зт Л!ийюеят Соп!. .Р!и!г] Руп. (75А (1950), 143 — 155. 56 Гл. П. Годографь> я виде кругового сектора Я) Этот коэффициент определяется кан атно>пение асимптотической ширины струн к расстоянию между краями пластин. ') См. ]33, $18], а также 5 пт е1 а п а Л,йа Ьои!!!е ЫапсЬе, 3 (1948), 41 — 53; Н а Л п е гп а п п Н.
тр., Рогясд. Сеу. )пу,, 18 (1952), 45 — 55. '") Л е ч1- С ! и > ! а Т., АП! )7. !яд Уепе!о 5с>'. Ьет., 64 (1905), 1465 — 1472; см, так>не С)з о1!1 ()., там же, 74 (19!4), 1499 — 1509; кроме того, см. гл, 1, п. 10. Течение, приведенное на рнс. !4, можно представить о замкнутой форме, используя метод гл. П), п. 7, и) См. 5 с Л а с Л '>з>., !пу, Агсйи, 5. (!934), 245 — 265; 6 (1935), 51 — 68. где это те >ение и численные результаты обсуждаются с гидравлической точки зрения.
См. также [33, стр. 1! — 12] и [62, стр 279 — 287]. и) См. В ! г й Л о[1 О„М с Л а п е 5., А япгтсу о1 >побег>> а12еЬга, ЬЛ У., Масгп01ап, 1953, р. 84. ") См. В>г й Л о(1 Ол., С а у ъ оп б Т. Е., А Арр!. РЬуя., 20 (1949), 650; [7, гл. П, $13]. Очень краткое описание без физической интерпретации дано в работе [33, стр. 49]. См. также гл. 1, и. 10. (Задача о соударении струй была впервые исследована в работе Ч о! 8 ! ТУ., МаП>. Ааа, 28 (1886) и для случая рис, 1б — Н.
Е. Жуковским в 1890 г. [12Я, т. П1, $9]. — Прим. ргд.) ') (См. также ]12', т. П!, $13 — 18[. — Прим. Ргд.) Изложение, приведенное здесь, было впервые предложено Рети [69] в 1881 г. По поводу важных сообщений Мизеса [62[ см. п. 9. Кроме того, см. [57] и работу Ъ'а 1 с о и > с > У., !пандита! б!ззег!а!]оп, Нп!и. Оо!!., 1913; С я о и Х а б б а р д [59, 33 — 44] дают графики влияния толщины струи на ее отклонение при нескольких углах кл»на.
См, также А пи ель и Л а у р се н ]59, 21 — 32] Предельный случай беснонечного клина был рассмотрен Амброзом в работе [59, 73 — 80]. и) См [61]; [9>; К ге1хз с Лп> е г Р., УПI Рогяслипуяуе[А 38! (1936); Гуре в и ч М И., Изе. АН СССР, Отд. техн. наук, 4 (1946), 487 — 498. Формулы (2.25а), (2.26а) приближенно применамы такхсе к струям из клапана [100] при условии, что зазор достаточно мал, чтобы стенки канала могли стабилизи.
ровать течение; О с и!11!и > В., Ьа ЬотИе Ыансйг, 2 (1947) 145 — !49, 'л') )х о я Л й о А., НАСА ТН № 3168, 1954; [99]; Р 1 е з я е ! М. 5., Р е гг у В„)с!аЬоцсЛ)пяйу ЗиЫ1ее Чо1пгпе, 1954, рр. 25! — 262. (Эта схема была изу. чена еще в 1890 г. Н. Е. Жуковским [!2*, т. П1. стр. 303].
— Прил>. ряд.) и) Теоретнчесное исследование этого вопроса приведено в [43*, ч. 2, ги. Х!, $2]. ГЛАВА П1 Простые течения около клиньев г — ! ~)р ~'~ -1~« ~ Й1(г)1 (3.1) 1. Введение. В гл. 11 мы получали различные обтекания пластин и клиньев, интуитивно определяя форму годографа и об.
ласти изменения комплексного потенциала %' и находя затем элементарное конформное отображение одной области на другую. Заменим теперь этот интуитивный способ более строгими рассуждениями, основанными на принципе отражения Шварца и связанными с ним результатами теории функций комплекс. ного переменного. Эти строгие результаты освободят нас от специальных предположений (напрнмер, однолистности, см.
гл. 11, п. !) относительно годографа и области изменения ЯГ. Вместо этого мы еде. лаем предположения о поведении течения в физической плоскости. В частности, сначала мы будем предполагать только, что рассматриваются идеальные (эйлеровы) простые течения (п. 2), которые односвязны в физической плоскости. Из этого предположения будет следовать, что производная йЮ!ЙТ = К(Т) — действительная рациональная функция (теоремы 1 и 2). Предыдущие результаты и вышеупомянутые рассуждения оказываются, однако, важными для дальнейших рассмотрений в гл. !Ч вЂ” И1.
В настоящей главе мы применим их в первую очередь к простым течениям около «обобщенных клиньев», т. е, к течениям, границы которых являются: 1) горизонтальными, 2) составляют постоянный угол 5 = и/и с горизонталью и 3) свободными. В этом случае, используя снова принцип отра. жения, можно будет доказать (теорема 3), что течение отображается на единичный полукруг Г во вспомогательной плоскости ! так, чтобы ЬГ '/" = г(1) была рациональной функцией С, Точно так же, как и в гл. 11, можно затем связать переменные Т и ! соотношением Т= — (г'+1 ')/2. Это дает выражение комплексной координаты ВВ Гл. Г>л ГГ»ость>е течения около клиньев где Р>(ь) =-(1 — 1>)1г.
(Т)!21> — рациональная функция. Следовательно, задача сводится к одной численной квадратуре. Частному случаю годографа в виде кругового сектора соответствует г(г) = 1. В качестве побочного результата более глубокого исследования в п. 10 мы перечислим все геометрические типы течений, имеюших годограф в виде кругового сектора и устойчивые свободные границы. Часть результатов этой класси фикации течений применима к простым течениям вообще [см. формулу (З.ЗО)] и будет широко использована в гл.
У. 2. Простые течения; принцип отражения. Дадим сначала строгое определение ') понятия «простого течения». О п р е д е л е н и е. Комплексное поле скоростей ~(г), определенное в открытой области Р с границей Л, называется простым течением тогда и только тогда, когда: 1) область )1 локально однолистна; 2) область Я односвязна; 3) функция ~(г) ограничена и непрерывна на тт и аналитична в Я; 4) граница тг области )1 состоит из конечного числа спрямляемых линий тока, поворачивающихся на конечный общий угол.
Замечание !. Очевидно, что комплексный потенциал 'ты= ~ Г Ызлюбого течения, удовлетворяющего условию 3), является определенным и непрерывным на Н, аналигическим в !т и ограниченным, за исключением бесконечно удаленной точки г. Линией тока мы называем кривую, вдоль которой )>=1т [(Р') постоянна. Спрямляемой кривой мы называем такую кривую, дуга которой, соединяющая любые две ее точки, имеет конечную длину. Замечание 2. Угол, на который кривая поворачивается, является точной верхней гранью сумм величин изменений направлений сторон вписанных многоугольников; поскольку эти суммы возрастают при дроблении, этот угол является также их пределом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
