Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Логарифмические (равноугольные) спирали повора= чиваются на бесконечный общий угол (см. гл. 1Ч, п. 1), Лем м а 1. Существует однолистная функция г(Т), отобраасающая верхнюю полуплоскость Т конформно и взаимно однозначно на любое простое течение; кроме того, функции г(Т) и 1)г('Т) являются аналитическими функциями комплексного пере.иенного.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из основной теоремы конформного отображения [6, т, 2, стр, 6); аналитичность функций ~(Т) ~[г(Т)[ и г1Г(Т) является следствием. Многие важные свойства простых течений можно доказать путем применения принципа отражения Шварца [6, т. 1, стр, 225~, который мы сформулируем здесь без доказательства. 59 3. Области изменения Вг пристыл течений Принцип отражения.
Пусть аналитическая функция комп- лексного переменного 1(1) регулярна и однозначна в области Р, ограниченной частично (как на рис, 20) отрезком АВ действи- тельной оси, н стремится непрерывно к действительным зна- чениям на АВ. Тогда соотношение 1(т*) =1" (г) продолжает функцию 1(1) аналитически через отрезок АВ в зеркальный образ Р" области Р, так что 1(1) является аналитической в области Р 11 .0н 0 АВ. Много полезных следствий нз этого принципа можно получить элементарными конформными пре- д образованиями.
Следствие 1, Пусть 1(!)— аналитическая и однозначная функ- Рис. 20. ция в области Р, частично ограниченная дугой АВ окружности радиуса г с центром в точке 1=0, за исключением конечного числа нулей и полюсов. Предполо- жим также, что 1('1) непрерывна в замкнутой области лл, за ис- ключением полюсов, и отображает дугу АВ на дугу круга ра- диуса )г и с центром 1=0. Тогда соотношение ((гЧ(н) =Й'И" (1) аналитически продолжает функцию 1"(1) в отраженный образ области Р при инверсии относительно окружности )11=г, при- чем нули и полюсы взаимно заменяются.
3. Области изменения ИГ простых течений. Используя идеи п. 2, нетрудно дать полную локальную классификацию особен- ностей функции Вт(Т) на основании леммы 1, Теорема 1. Вблизи любой особенности Т= Т, в конечной плоскости Т комплексный потенциал 37 можно написать в виде в Ю'=с(Т вЂ” Т) '+с((Т вЂ” Ть) '+31п(Т вЂ” Ть)+г(Т), (32) (3.
3) (3г= )г!п(Т вЂ” Т )+ (г + 13г, (Т), где Ть, lг, с и й — действительные; функция г(Т) регулярна 1т. е. разлагается в сходяи1ийся ряд по степеням (Т вЂ” Ть)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно замечанию 1, любая особенность Т = Ть должна быть на границе течения, т. е. Т, должно быть действительным. Поскольку граница состоит из линий тока, функция (г = 1шГ кусочно постоянна на ней. Слсдоватечьно, для соотвстствуюших постоянных ть и п1г (скачок функции тока У в точке Ть на границе) имеем Гл. ПД Простне течения около клиньев где Чт,(Т) действительна вблизи точки Т„при действительных значениях переменной Т. Согласно замечанию 1, функции У'(Т) и )ьв,(Т) ограничены и непрерывны, за исключением конечного числа точек; следовательно, в точке То располагается изолированная особенность. Принцип отражения показывает далее, что функция Чт,(Т) может быть представлена однозначной аналитической функцией, определенной во всей окрестности точки То.
Остается рассмотреть особенность функции )Р,(Т) в точке Т,. В гл. !Ч, п, 1 мы покажем, что существенная особенность в этой точке невозможна. Следовательно, Ю,(Т) в точке Т= Те имеет полюс. Остается только установить ограничение его порядка и. Если было бы и > 2, то, поскольку ~ + оо и йг= =ч 'ййт, образ сектора б < агс (Т вЂ” Т,) < и в плоскости г охватывал бы угол пк>2п. Поэтому плоскость г была бы многолистной, во всяком случае локально, в противоположность предположению. О п р е д е л е н и е. Если ~ Ф О, то окрестность бесконечно удаленной точки плоскости г, соответствующей точке Т = То, бу- дем называть безграничным потоком, полубезграничным потоком *) или струей в зависимости от того, будет ли в формуле (3.2) первым ненулевым коэффициентом соответственно с, й или /и (Если граница не является свободной линией тока, мы используем слово трубка вместо слова струя.) Замечание 3.
Эти случаи легко различимы в физической плоскости, поскольку течение на бесконечности соответственно охватывает угол 2к, угол и или заполняет полосу толщиной )Ьп)с!. Случай ' = 0 с критическими точками на бесконечности требует более тщательного рассмотрения (см. ниже п.
9). В некоторых приложениях удобно отобразить простые течения на различные области В в плоскость параметрического переменного б Для таких приложений полезно следующее следствие. Следствие. )Тусть Го — любая точка на границе области В, где граничная кривая является аналитической. Тогда справедлива теорема 1 с заменой Г на Т, Действительно, локально существует (б, т. 2, стр. 34) аналитическое отображение верхней полуплоскости на внутренность области В.
Оби!ее поведение комплексного потенциала )й можно оценить просто на основании теоремы !. Конечно, его выражение можно составить еще более просто, ") В подлиннике еоееепь (океаи). — Прим. перев. 61 3. Области изменения ат ярость!х селений Те ар е м а 2. Комплексный потенциал любого простого течения имеет аддитивное представление и Ю= ~~~(т '"т ), + т — "~-+йя1п(Т вЂ” Тя))+сТ'+йТ. (3.4) я=! Его производная имеет разложение в виде произведения Д(Т вЂ” Л,.) (т — Л) П (Т вЂ” Вз) — = — тс (Т) — С аТ И (Т вЂ” Тд) (3.5) Все козффициенть! в выражении (3.4) действительны; также действительны и все В; в соотношении (3.5). Д о к аз а тел ь ство. Сначала рассмотрим случай, когда Т = оо отображается на точку, в которой Ж' конечно. Тогда на основании теоремы 1, если просуммировать все локальные особенности, можно установить, что разность Л(Т) между правой и левой частями соотношения (3.4) (при с = д = 0) должна быть аналитической и однозначной функцией, действительной на действительной оси и не имеюшей особенностей в (замкнутой) верхней полуплоскости.
Согласно принципу отражения Шварца, функция й(Т) может быть аналитически продолжена до функции, регулярной на всей конечной плоскости Т. Кроме того, поскольку (ст(оо) конечно, то функция п(Т) ограничена. Следовательно, по теореме Лиувилля (6, т. 1, стр. 153), Ь(Т) постоянна. Поскольку комплексный потенциал )ст определяется с точностью до аддитивной постоянной, утверждение (3.4) теоремы для случая с = д = 0 доказано. Если же )й' имеет особенность при Т = оо, мы можем отобразить верхнюю полуплоскость Т саму на себя путем инверсии, использовать только что полученный результат для конечного значения )йт(оо) и затем вернуться к первоначальной плоскости Т.
Это и дает дополнительные члены сТ' + дТ в результате инверсии конечной особенности (3.2). Наконец, дифференцируя (3.4), получим действительную рациональнуюфункцию с обшим знаменателемП(Т вЂ” Ти) (некоторые множители могут повторяться). Разлагая действительный многочлен в числителе на линейные множители, приходим к (3.5).
Замечание 4. Хотя выражение (3.4) выглядит сложным, все его слагаемые можно получить предельными переходами от простой общей формулы (тт = ~~~пи!п(Т вЂ” Т,). Полубезграничные потоки можно рассматривать как предельный случай двух сливающихся струй, а безграничные потоки — как предельный случай трех струй. Гя. УУ!. Лростые течения около клиньев Замечание б.
Подобно тому, как Ть можно отождествлять с безграничными потоками, полубезграничными потоками или струями в зависимости от того, является ли с, е( или й первым ненулевым коэффициентом в соответствующем соотношении (3.2), так и величины Ае и В! имеют простую физическую интерпретацию. Поскольку Ь = (ЯРУтУТ)У(е(зУеУТ) и е(згйТ ~ 0 во внутренней части области, то нули в комплексных точках Ае соответствуют внутренним критическим гочкаль где Ь=О. С другой стороны, в точке разветвления на границе, где течение изменяет направление, область К должна охватывать угол по крайней мере 2п, так чтобы было с(ЖУРИТ = 0 (и наоборот).
Следовательно, нули в действительных точках В; соответствуют точкам разветвления (критическим точкам или же точкам возврата). Замечание 6. Случаи, в которых течение занимает всю внешность некоторого достаточно большого круга, как,например, возвратные струи (п. 8), также можно рассматривать на основании незначительно измененной теоремы 2. В этих случаях точка з = оо должна рассматриваться как внутренняя изолированная особенность Т течения. Поскольку соответствие переменных Т вЂ” яз взаимно однозначно, можно написать, что з = сг(Т вЂ” Т )+ +..., и, следовательно, с(з)тУТ имеет при Т = Т полюс второго порядка. Отсюда, поскольку Ь ограничена, производная Й)УУ!тУТ = ~ е(згс(Т имеет полюс не выше второго порядка, Поэтому е()хеУс(Т в точке Т и в другой (отраженной) точке Т имеет полюсы второго порядка. Это означает, что в соотношение (3.4) вообще должно быть добавлено слагаемое вида т — т„т — т„ +, +Ь)п(Т вЂ” Тя)+й (п(Т вЂ” Тв~) (3.4') .В знаменателе соотношения (3.5) появляется соответствующий дополнительный множитель (Т вЂ” Тя) (Т вЂ” Тя) .
Замечание 7. Различные упрощения в (3.4) — (3.4') возможны в случае, когда критическая точка ь = 0 расположена в бесконечности; этот случай обсуждается в п. 9. 4. Соударяющиеся струи. Рассмотрим теперь течение, характеризуемое двумя соударяющимися струями Уь У, и двумя отходящими струями Уг, У4') (рис. 2!). Пусть аь обозначает угол, отсчитываемый по часовой стрелке, между осью х и Ую а пйь обозначает приток в единицу времени площади (массы) струи Ум Согласно закону сохранения массы, находим "г+ "г+ "г+ йч = О. Предположим, что все четыре скорости на свободных линиях тока одинаковы; это единственно возможное условие, если струи 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
