Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ма1. Рига АРР1. Мг)апо, 26 (1916), 38 — 75; )7епс(. )7. 1пзт. Еотй., 52 (1919), 149; [62, 6 11.42, 11.43) Для симметричпого случая а~ = О, ат = л, аг = — аь см. гл. 11, и. б. ') 1!оскольку функция йг — [(Г) = у(Г) принимает действительные значения на окружности М = 1, то д(1/1ь) = у*(1) определяет функцию, которая ограничена на всей плоскости и, следовательно, постоянна. ') В работе Р а !а 1!и 1 А., АП( )в(.
реле(о Яс)., 75 (1916), 451 †4 предложено условие минимума общей энергии части жидкости, имеющей скорость (г! ( г при г -ь1. Там же показано, что при этом отходящие струи должны стыть симметричными или параллельными. Об устойчивости струи см. также гл. Х!, и. 15. ') См. методы, изложенные в гл. 11, а также [57), [33, стр. 6 — 10). Обобщение иа случай клиньев приводит к усложнениям, отмеченным в гл.
11, и. 4. ') См. М о г1 о п %. В., РЫ1. Мау., 48 (1924), 464 — 476, а также М о г1о и %. В., Н а г те у Е. 2., РЬ11. Май., 31 (1916), 130 — 138. ') Этот случай был рассмотрен в работе О ге ел Л., Ргос, СатЬг РЫ1 Яоа, 32 (1936), 67 — 85 [43, э 12.3). (Рещение задачи глиссирования было полу. чена в 1931 г. С. А. Чаплыгиным при участии М. И. Гуревича и Л. Р.
Яьь польского [9', 29ь). С помощью другого метода задачи глиссирования рассматривались в 1936 г. Л. И. Седовым [36*) — Прим, ред.) ') См. Я а ! х щ а л п Р., Езгйег )Тгувз Лгегоз. 8, № 4!ог (1935), 95 — 102; Тчг а 1 во и Е. А, А)7С 17М 2177 (РеЬгиагу 1946), где даны некоторые таблицы. Всасывающие щели в конечных каналах рассматривались Мизесом [61, стр.
473[, а также в работе М с Х о тел 1. Я., Н з и Е.-У., Ргос. !э( МнИчесй Соп1. Р!и!б Оуп. ОЯЛ (1951), р. 143 — 153. (См. также [12.', т. 1!1, 6 6) — Прим, ред.) э) См, 2 а г а п1 о и е11о Е. Н., А та№., 33 (1954), 29 — 80. Случай чиста циркуляционного течения был рассмотрен в работе С)з о111 !)., АГН Ассаа, Е(осей 13 (1931), 85 — 92. (Еще одна схема струйного течения с двумя полыми вихрями за пластинкой предложена М, А. Лаврентьевым в 1958 г.
[22"].— Поим ред.) 'в) См, Эф р о с Д. А., 1(АН СССР, 51, № 4 (1946), 267 — 270; 60 (1948), 29 — 31; Х ге(зе) О., Аат. )7ев 1аЬ. )7ер, К 1)Н)36 (1946); О(! Ьа г8 О., 11 о с й Н. Н„ХОЕ Мещо. 8718, 1946; Г у р е в и ч М. И., Изв. АН СССР, № 2 (1947), 143 — 150 [9ь); О 1(Ь а г д О., Я е г г( и 2., А МагИ. Рйуз., 29 (1950), 1 — 12; А г и о 11 Е. 1., ХОТЯ )(ер. 368, 1951 (Хачогб 1928). н) Асимметричные течения с циркуляцией и без циркуляции были рассмотрены Д, А, Эфросом, пластины в наналах — М.
И. Гуревичем, симметрнч. ные клинья — Арновым в вышецитированных работах. ") Это соответствует диполю в смысле теории потенциала или простому полюсу в смысле теории функций номплексного переменного; эти понятия нс- Примечания 83 много смешиваются! На рис. 28, а — г окрестность конечной точки охватывает угол 180'. Схемы для других точек можно получить посредством конформного отображения.
") Налагаюшиеся точки возврата и сливающиеся прямые стенки (клинья с внешннми углами 360') отбрасываются, см. гл. 1Ч, п. 7. По зтому вопросу см. также работу М ! у а б к и М., ТасЬ. Кер. Тойбаи !гпр. Оп!о., 1О (1932), 545 †5. и) Крестик на годогрвфе представляет в физической плоскости струю, кружок — полубезгрзничный поток, нвадрат илн ромб — безграничный поток. Рис. 28, е соответствует случаю обтекаемых стоек, рассмотренному Гербером и Макнауном [59, 14 — 20). ") Течение, изображенное на рис.
33, б, было исследовано В а и з1 П., Апп. Ма!. Рига А рр!. Мг!апо, 28 (19!9), 95 — И8. и) Несколько более сложный случай отклоняющего вихря в струе, вытекающей из сопла, был рассмотрен в работе 3)шщо из Х., Оиаг! Х, Май„ 1О (1939), 283 — 311. См. танже РИ1, Май., (7), 31 (194!), 81 — 102; [11*). ") См., например, К е1с Ь и ш Р. %., С!иаг!. Арр!.
Ма!Ь., 1 (1943), 149— 167; М а з о111 А., Ас!а Роп!. Асан., (1933 — 1934), 248 — 255; 8 !Н Ь а о 1с а У., У. !лвй Ро!у!. Оеааа, БЗ (!952), 53 — 57. ГЛАВА !Ч Общая теория 1. Особенности функции %(Т). В гл. и и П! мы определили много плоских течений идеальной жидкости, ограниченных клиновидными стенками и свободными линиями тока. Теперь мы обратимся к общим свойствам струйных течений идеальной жидкости при обтекании препятствий произвольной формы как в плоском (п.
1 — 8), так и в пространственном (п. 9 — 13) случаях. Изложение будет независимым от содержания гл. П и П1, за исключением понятий простого течения и отражения, рассмотренных в гл. П!, п. 2 и 3. Сначала мы завершим доказательство теоремы 1 гл. П1, по. казав, что функция (Р'(Т) не может иметь существенно особой точки, В этом доказательстве предполагается только: 1) область течения )с локально однолистна, 2) )7 локально односвязна и 3) комплексная скорость ~(г) ограничена и аналитична в )7. Таким образом, здесь не требуется, чтобы течение было простым в целом (см. гл. П!, п. 2 и примечание в конце п. 3 гл. 1Ч).
Простой точкой течения, удовлетворяющего условиям 1) — 3), мы будем называть регулярную точку илн изолированную особенность. Напомним (см, гл, П!, п. 3), что любая точка простого течения является одновременно простой точкой. Теор е ма !. В простой точке на границе течения С производная комплексного потенциала АСТР)йТ регулярна или имеет полюс порядка не выше третьего. Дока з а тел ьст во. Согласно основной теореме конформного отображения, течение в окрестности простой точки можно отобразить на полукруг в верхней полуплоскости Т с центром в точке Т = О однолистным (взаимно однозначным) конформным преобразованием так, чтобы гранина течения перешла в действительный диаметр.
Поскольку функция г(Т) однолистна, то по теореме искажения Кебе [б, т. 2, стр. 77) локально справед. Л Особенности функции Ж(Т), 85 ливо неравенство: А,!ц! < !г (ТИ < А,!~1-', где »1=1тТ и постоянная Ао)0. Отсюда, если через А обозначить верхнюю грань модуля скорости вблизи рассматриваемой простой точки, вытекает, что ит ) /~г (Т)/ (АА /ц! ' (4'! ) Так как производная комплексного потенциала с(ру~йТ принимает действительные значения на границе течения, то она, кроме того, может быть продолжена по принципу симметрии в нижнюю полуплоскость, и оценка (4.!') будет справедлива по всей (круговой) окрестности точки Т=О. Далее используется следующее небольшое обобщение теоремы Пойа и Стоуна '). Л е м м а.
Пусть п(Т) — аналитическая и регулярная функция в окрестности точки Т=О, за исключениам самой точки, причем )й(ТЯ ь. В ~н!( ,где М вЂ” неотрицательное целое число. Тогда функция п(Т) или регулярна, или имеет в точке Т=О полюс порядка не вьиие М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку )т' — Т'! -.. 2г ) и! ~ на окружности Г, (Т = тг") и поскольку !Й(Т)) .: В )и!) по условию леммы, то т(т, й)= ~ .
~ Т '(! — — ») й(Т)с(Т=О(т™). (4.2) г е Если Й) М, то!(т, й)- 0 при г- О. С другой стороны, по теореме Коши, l(т, й) равен вычету подинтегральной функции, который, если функция п(Т) представлена рядом Лорана ~„а»Т», определяется суммой ) ( )( — !)" а а„,»,г '-: =!(т, я). с=о Из соотношения (4.2') при /(т, и) — 0 следует, что а ан+«>=О, ..., а «=0; согласно же соотношению (4.2), а „=О, если я>Ж, что и доказывает лемму.
Объединяя зту лемму с оценкой (4.1'), мы получаем доказательство теоремы 1. Очевидно, что вместо точки Т=О может быть использована любая конечная точка Т= Т, на действительной оси. 86 Гя, т'У. Общая теория Если простое течение отображается на полукруг в плоскости Г, то преобразование Т= — (Г+! ')/2 не может привести к появлению существенных особенностей, хотя полюсы порядка не выше пятого могут оказаться в углах, так как преобразование в них является локально квадратичным. Теорема 1 была доказана без предположения о непрерывно. сти функции ~(г). Однако классификация изолированных особенностей, данная в гл.
1!!, п. 3, будет неполной, если условия 1) — 3), принятые в теореме 1, не дополнить предположением о непрерывности функции ~(г) или же ограниченности ее агп ~(г) (см. гл. 71, п. 3). ) То же самое следует сказать и об асимптотических формулах п. 3 — 6 данной главы. ~-т В качестве примера рассмо. грим течение, определяемое функцией 1 = 7' ц, т = Жl, 1 ) О.
(4.3) С Течение находится между двумя логарифмическими спиралями Рис. 38. (рис. 35); первая из них оказы- вается свободной линией тока, скорость на которой равна по модулю 1, вторая — такой же линией, скорость на которой равна еаи. Можно показать обратно, что особенность типа (4.3) представляет собой единственную возможность локального соединения двух свободныхлиний тока с различными скоростями т). 2. Принцип отражения (аналитического продолжения).
Следуя Шиффману [971, применим метод отражения (см. гл. П1, п. 2) непосредственно в физической плоскости. Рассмотрим окрестность фиксированной точки го на свободной линии тока С, на которой модуль скорости равен о, причем функция ~(г) предполагается непрерывной. Поскольку функция ~(з) отображает линию тока С на дугу окружности, то формулы гл. 1П, п. 2 показывают, что при аналитическом продолжении з-е-з через С в соответствующих точках мы должны иметь Г = — „, ЛГ= с(й'". (4.4а) Следовательно, с(а = ', ' с()Р'= в ~ь с! Ю = и (ч ст'а) . вт л. Принцип отражения (аналитичееного продолжения) Покажем теперь, что такое продолжение всегда возможно; из этого, конечно, будет следовать, что ,ч.
'[1Ре ~. н н — 2и„(чАб) где (та — постоянная величина 1т ( Ф'] на свободной линии тока С. Т е о р е м а 2. Любое плоское течение может быть локально продолжено через свободную линию тока по формулам (4.4а), (4.4б) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко показать, что в области изменения (р' функция г((р') однозначна, а функция Ь ' — непрерывна и удовлетворяет условию теоремы Морера (6, т.
1, стр. 1ЗЗ], так что ~ Г. а'Ф'=0 по любому замкнутому контуру. Отсюда слег дует, что ь ', Ь и г = ] Г й)рг — аналитические функции (р'. Так как производная йг/й(ет=г. Ф0, то !й'(г) также аналитическая функция 16, т. 1, стр. !90]; итак, рассматриваемоетечение аналитична в физической плоскости. С л е д с т в и е 1, В любом идеальном плоском течении г) свободные линии тока являются аналитическими кривыми. В самом деле, поскольку (Тт(г) — аналитическая функция, то очевидно, что любая внутренняя кривая $'=сонэ( также аналитична. Следс т ви е 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
