Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Теорема 6. Если ы'(1) Ф 0 существует как непрерывный предел производной ы'(7) ггри ~-+-1 на контуре Г, то кривизна отрезка свободной линии тока АА' в точке А равна бесконечности в направлении к жидкости или от нее соответственно при ьг'>О или го'<О. Соответственно, скорость вдоль АВ увеличивается или уменьшается с бесконечным ускорением ггри приближении к точке А "). Замечание.
Случай ы'(1) ~ 0 иногда называется случаем «резкого» отрыва потока. Случай «плавного» отрыва ы'(1) =0 будет рассматриваться в теореме 7. Д о к а з а т ел ь ст во. Вдоль свободной линии тока (т дейв« ствительно) соотношение (4.27) преобразуется к виду к= — „ гг'Пт , "'(Π—. Так как ~ '1 1, то ясно, что производная комплексного потенциала — = (аг+2«г(Т+1)+ ...) 2 (г — 1) стремится к — О, если а<0, как показано на рис. 42, а, что и доказывает первую часть теоремы. Вдоль препятствия (г=е') о о'(Ф) ) из соотношения (4.27) получим, что —, =!т д -- ', вторая ~й часть теоремы следует из того, что при а-+-0 производная гг((7/ггг стремится к нулю по отрицательным мнимым значениям. Дальнейшее исследование кривизны в точке отрыва потока имеет более специальный характер ").
Различные результаты получаются при различных предположениях о гладкости обтекаемой стенки. Здесь достаточно предположить, что дуга АВ пРинадлежит к классу кривых С'", т. е. что угол наклона касательной 5(з) имеет непрерывную вторую производную по длине дуги. 102 Гм ГГг. Общая теория Сначала покажем, что если неподвижная граница гладкая, то направление течения (угол В) в окрестности точки отрыва— непрерывная функция. Л ем м а 2.
Если направление касательной гр к препятствию непрерывно излгеняется по длине дуги з, то 3(Г) является непре- рывной функцией в окрестности точки 1=1. Д о к а з а т е л ь с т в о, Из предположения леммы и известных свойств конформного отображения следует, что с приближением г лг ~ к неподвижной границе агу ( — ) стремится к углу касатель- ной гр. Таким образом, 9(о)= агре г (е~ )= агд( — ) — агд( — ) =.у [в(о)! — —., Поскольку гр(з) и з(о) непрерывны, то С(о) является непрерывной функцией от о в интервале 0<а<о,. Путем отражения (0(о) =6( — о)) свойство непрерывности распространяется также на интервал — во<о<0; кроме того, существует !!гп6(о), Но .+о любая гармоническая функция, принимающая граничные значения 5(о), представляется интегралом Пуассона и поэтому непрерывна вблизи точки г'=!.
Такой функцией является 5(г), что и доказывает лемму. Из формулы, связывающей 3(о) с направлением касательной к линии тока, и из того, что производная й()г/с(Т, согласно формуле (4.25), меняет знак или нет соответственно при а~=О или а, Ф О, можно установить локальное свойство границы потока в точке отрыва. Следствие, Кривая, состоящая из контура препятствия и свободной границы, в точке отрыва потока имеет точку возврата или непрерывную касательную, в зависилгости от того, совпадает или не совпадает точка отрыва с критической точкой потока.
Последующее подробное обсуждение относится только к слу. чаю а~ = О, когда точка отрыва не является одновременно критической точкой. При этом используется следующее определениее. О п р е д е л е и и е. Функция Г (х) удовлетворяет, по определению, условию Липшица порядка т(0<т .-. 1) в области В, если существует такая положительная константа С„что для любых двух значений х, и х, в области В ) Г(х~) — Г(хз)(,. С„!х, — хг( . (4.28) Л е м м а 3. Если в(з) или ясе ее первая или вторая ггроизводные удовлетворячот условию Липигица, то функция го(г) (следовательно и К(Г)) или оке ее соответствующие производные так- 1ОЗ 7. Кривггвка в точке отрыва патака же удовлетворягот условию Липшица в за,чкнутой подобласти Г, в которои (агдП е, 1 — в = ]г] ' 1. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как точка отрыва не является критической точкой, то функция, устанавливающая соответствие между областями изменения Т и г, границы которых обладают в каждой точке непрерывно изменяющейся касательной (см. лемму 2), удовлетворяет (локально) условию Лнпшица с по- рядком ч, сколь угодно близким к единице гч), т. е. )эг — эг] < С,]?'г — Tг]', 0 < ч -:. 1. Отсюда, полагая 1 = е'(Т = — созе), получаем ]э(о) — э(ог)] -: С,]созе, — созот]' . С, ~о, — ог]". (429) Если функция 0(э) удовлетворяет условию Липшица, то из этого следует, что и функция 5(о) = Яэ(о)] удовлетворяет тому же условию для достаточно малых неотрицательных значений а. Путем отражения 10(о) = 0( — о)] условие Липшица для 0(а) распространяется на всю окрестность точки о = О.
Обратимся далее к следующему результату, известному из анализа "), который приведен в локальной форме. Т е о р е м а Ф а т у — П р и в а л о в а. Если действительная гасть аналитической функции, регулярной внутри круга ~41 < 1, в окрестности граничной точки Р удовлетворяет условию Лшг- шица порядка ч (О < ч < 1), то сама функция также удовлетво- ряет этолгу условию в определенной части окрестности точ- ки Р"). Теперь, поскольку функция 0(а) удовлетворяет условию Липшица вблизи точки о=О, то из этого следует, что как ы(~), так и т(о) также удовлетворяют условию Липшица в окрест- ности той же самой точки.
На дуге АВ соотношение дг = ь-гаг)ут определяет производную — = е-"- г') — „1, (4.30) гг ггг которая, поскольку ~ — ~ — аналитическая функция и т(о)— а' ° липшициан, удовлетворяет условию Липшица вблизи точки о = 0 (о > 0), Повторяя это рассуждение и замечая, что 0'(о)— нечетная функция "), обращающаяся в нуль при о = О, приходим к выводу, что для функций 8' (о) = — = — —, ЛМ гдб Лв г Л0 Лев Г.т.
Г[т. Общая теория Т= — + 2 Кроме того, Г,"(Г)=Г '(1) ~1+/ '(1)(/ — 1)+ —,[ — '(1)'+' а(1))(/ — П+ +(г — 1)гО()à — 1)") ~, (4.33) е (г) = г (1) + Г (1) ~ — 2 (à — 1) + ) б а, — З , '(1))(à — 1) + + (г 1)з О ()Г !) )~ . (4 34) лс-1 ' —,', = ("— ,",)+ а(1)+О()/ — 1)')~Х вЂ” 2Р ~ (1 + т) [а| + 2аа (Т + 1) + ...] С помощью этих разложений теперь можно изучить случай то'(1) = О. Из формул (4.35) получаем, что, независимо от способа стремления à — а 1, !пп — ' = —, . Таким образом, ',,1 иг а' учитывая формулу (4.27), приходим к следующей теореме. Теорем а 7.
Если кривая АВ принадлежит к классу Са' то то'(!) в теореме б существует. Если же, кроме того, то'(!) = =О, то свободная граница струи и неподвижная стенка имеют последовательно выполняются условия Липшица, если ай/аз н т/тй/с[зг удовлетворяют этим же условиям. В заключение, обращаясь к теореме Фату — Привалова, поиа Лта лучаем, что аналитические функции à — и —, при- Л (1п т) Л [!и т]т ' нимающие на границе значения В'(о) + И'(а) и Оа(о) + Ио(о) соответственно, удовлетворяют условиям Липшица с порядком «в окрестности точки г = 1 и, следовательно, то же самое справедливо для производной а à — «Г [Л (~ и Г)т Л «и т) 1 ' Следствие, В окрестности точки Г= 1 справедливы следующие разложения с действительными коэффициентами (а~ Ф 0) и (О < « < 1): (à — !)Я е (т) = ат(1)+(т — !) ат'(1)+ ~аа (1)+ +(/ — 1)гО[(à — 1)'), 0< «< 1, ]йт(Г)= У а, (Т+1), (4.32) «=о а, но д.
Перегибы свободныг границ !05 одинаковую кривизну в точке отрыва и ускорение обращается в нуль с обеих ее сторон 'в. Аналогичное исследование может быть проведено для точек отрыва, которые в то же время являются критическими точкамн. Можно установить, что в этом случае точка отрыва потока должна быть точкой возврата н что разложения (4.31) — (4.35) остаются в силе с а1 = О. Таким образом, если функции гь'(1) и ыи(!) не равны нулю, то кривизна свободной линии тока бесконечна.
Этот результат тем более справедлив для точек возврата на свободных линиях тока. В таких случаях имеем ы'(1) = О (так как ы — регулярная функция Т), а также ыо(1) ) О во избежание локального самопересечення линии тока в окрестности точки возврата. 8. Перегибы свободных границ. Много качественных сведений о форме свободных линий тока можно получить из следующей теоремы. Т е о р е м а 8. При бесконечном кавитационном обтекании неограниченным потоком неподвижной стенки в форме аналитической кривой ") число перегибов свободной границы равно самое большее числу перегибов обтекаемой стенки, включая ее концыы). Указанная верхняя грань может быть уменьшена на два, если стенка в точке разветвления вьтукла от жидкости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция к/г/ гармонична как действительная часть аналитической функции (4.27). Геометриче. ское место и = О перегибов линий тока состоит из кривых уров. ня к/г/, которые должны начинаться и оканчиваться на границе, поскольку функция к/д гармонична. Кроме того, линии перегиба (геометрические места точек перегиба), начинающиеся на свобочной границе, не могут ни оканчиваться на свободной границе (исключая точки отрыва), ни уходить в бесконечность. В противном случае образовалась бы область, ограниченная свободными линиями тока и линиями перегиба, а на ее границе либо функция к/д, либо ее нормальная производная а(ад-г)/с/з обращались бы в нуль; при этом из тождества Грина следовало бы, что функция х/г/ должна быть постоянной, что невозможно").
Такие же рассуждения показывают, что никакие две линии перегиба не могут оканчиваться в одной и той же точке перегиба на обтекаемой стенке или в ее концах. Далее, из асимптотических формул (4.8) и (4.9) п. 3 при аг = О получим разложение лс! л!ПС1,(о й г!е л!тг 1 2ев 106 Гл т"т'. Общая теория из которого видно, что имеются три нли более !если а = 0) линии перегиба, идущие из внутренней части жидкости в бесконечность. В точке разветвления, поскольку обтекаемая стенка является аналитической кривой, имеем г.
' = —,' + Ь + сг+ с/за+ и — ! — = — -у+с+2й'а+ Если в качестве положительной мнимой оси возьмем внутреннюю нормаль и примем, что ось х направлена в сторону движения жидкости, то получим а ) 0; полагая г = ге'ч и используя соотношение (4.27), получаем х/у=г '(аз)п2о+ ...). Таким образом, функция х/а локально положительна впервом квадранте и отрицательна во втором; линия перегиба отходит от обтекаемой стенки под прямым углом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
