Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Допустим, что поверхность Х заменяется новой поверхностью Х*, причем ее часть Хч. передвигается за пределы области и занимает положение В„ а остальная часть Х передвигается внутрь области и занимает положение Е , как показано на рис. 44, а. Внутренность новой области 5 1) Х* обозначим к*. Л ем м а. Если 11 и У* обозначают потенциальл скоростей идеальных течений соответственно в областях )с и l~*„ имею- и)их заданный поток массы через поверхность 5, то разностьмежду их кинетическими энергиями Т* — Т удовлетворяет соот- ношению 1О. Вариацианный нринции Доказательство. Почти по определению Т" — т= Ц (' (' ('Р//У + /У/. Ч /и* — и/дн+ 1айи < ///пи ~ чн — ///ни ин~.
Применим далее последовательно к каждому члену первую формулу Грина 142, стр. 2121, учитывая, что д///дп = О на Х, ййааначение ;.Ш4 Л'-В рис. 44. д//*/дп = О на Х* и дгс/ — //*)/дп = О на 5. Применяя ее к первому члену предыдущего соотношения, получаем ~ ( ~/У*+и~(+)д5 — ~ ('~/, +и1(фд5, где положительные нормальные производные направлены во внешнюю сторону области /с /1 /с*. Применяя ту же формулу к другим членам, получаем два следующих равенства: Суммируя все три члена, приходим к простой формуле Т* — Т= г ( ( ( /У вЂ” *Ы5 — ( ( /./' — с/5~.
(4.371 2 ~ йи Ви 112 Гк Я. Общая теория Очевидно, что она эквивалентна формуле Т* — Т= Я ~ ~ и*—' ,"„' й5+~ ~(и — и )+й5— ~ г х — !"! и —,"„' ше-~((~и-ифее~. Е х Используя тождества (4.36'), а также условия дУ/дп = О на Х и дУ"/дп = О на Х*, получаем (4.36). Теорем а !4. Если граница Х варьируется, а поток через поверхность 5 остается постоянным, то бТ= — ~ р ~ ~ (ЧУ ° П/)Щ, (Цт'=бп ° а5) (4.38) при условии, что граница 5 + Х является кусочно аналитической кривой и ограничивает конечную область, Дока за тел ь ство.
В формуле (4.36) последние члены являются бесконечно малыми величинами второго порядка. Переходя к пределу при нормальном перемещении, стремящемся к нулю, получаем (4,38). (Строгое доказательство требуетдальнейших предположений, которые, конечно, полностью выполняются, если Х вЂ” кусочно аналитическая кривая; детали доказательства здесь опускаются.) С л е д с т в и е !.
Для заданного потока через поверхность 5 сумма Т+ — руэ объем (Гх) принимает экстремальное значе- 1 2 ние тогда и только тогда, когда Х является свободной поверкностью тока с постоянной на ней скоростью д. Следствие 2. Любая свободная поверхность тока Хобеспечивоет экстремум кинетической энергии при всек вариациях, которые оставляют инвариантным объем, окватываемый поверхностью Х. Со следствиями 1 и 2 связан следующий экстремальный принцип Гарабедяна и Спенсера (251. Для заданного потока через поверхность 5 свободная линия тока Х минимизирует максимальную скорость на Х и обеспечивает максимум мини. мальной скорости на Х.
Если Х является аналитической поверхностью, то справедливо также и обратное утверждение. За деталями отсылаем к работе (251. 11. Распространение на безграничный поток. Рассмотрим теперь конечное препятствие В с границей 5() Х, помещенное в безграничный поток, движущийся со скоростью с, параллельной оси х. Формула (4.38) в этом случае не имеет смысла, так т!. Распространение на безграничный поток как рассматриваемая полная кинетическая энергия бесконечна. Однако можно заменить формулу (4.38) другим вариационным принципом (4.41) следующим образом.
Обозначая через ф потенциал скорости относительного движения жидкости, можем написать (l = сх+ ф = с (х+ р., —, + 1кт — '.з + р., — з) + ф', (4.39) где ф — регулярная функция на бесконечности, рл — слагающие момента диполя, последнее слагаемое ф' убывает на бесконечности как 1/»", а его градиент — как 1/»'. Все слагаемые соотношения (4.39) являются гармоническими функциями.
Полная кинетическая энергия относительного движения жидкости — конечная величина Т = Х У У У фф ° фф дй, = — р/гса, (4. 40) где 8Я = 8п дг„как и в формуле (4.38). Д о к а з а т ел ь с т в о. Первое равенство следует из тождества 4аи! = /г+ объем (В), (4.42) доказательство которого мы опускаем 17, гл. ктЦ. Чтобы доказать второе равенство, поступим так же, как в лемме п. 1О, но заключим область В в большую сферу К радиуса а, заменяя 5 на ВВК (см. рис. 44,6), а (/ и (/* заменяя соответственно на ф и ф*. При этом разность кинетических энергий равна т — т= 611»п 11Уф(ф*+ф) ф(ф* — ф) Я+ 2 (а.+оо ч- //~тт тгч — //~тт~ гя).
яч — я я-я» 8 Г. вирктоф тде /г по определению 17, гл, з/Ц вЂ” коэффициент присоединенной массы при поступательном движении в направлении оси х; следовательно, ря есть мера инерции жидкости относительно ускорения препятствия В в направлении оси х. Теорема 15. Если варьируется часть Х границы области В, эа которой безграничный поток движется со скоростью (с, О, 0), то сз81/с+объем(В)1 =4ас'Ьр, = — ( ) (фУ ф(/) сЩ, (4г41) Г.т.
Лт Общая теория 1!4 Применяя формулу Грина к каждому члену н замечая, что д()(дп = О на Е, д(1*)дп = О на Е* и д(У* — У)/дп = О на 5„ получаем '-'-- О('+) — о ~-П(+)-.."- 1 т, д)'.т* дГт Е дп ,~ .~ т дп + ~ .~ (т дп +,1,1 т дп + Е Е -)-е~ 1 1 ()е-т)д(Š— т)ея). (4)3) тг Подинтегральная функция в последнем слагаемом имеет порядок 0(а-'), так что при а я) оо этот интеграл стремится к нулю.
Кроме того, в (4.43) интегралы по границам Ее и Е, складываются и дают ~~(у'~ л+~~~и*ф —. +) ив Š— ("1(о — ",„' —. '")еея- Ц("* —",„ее — ~'(*,"ее~. Е Е Е Второй и третий члены обращаются в нуль, поскольку У" и сх — гармонические функции в области тт* — Я; член в квадратных скобках равен объему те* — й).
Поступая аналогичным образом с интегралами по границам Е и Е и складывая все результаты, получаем т* — т=Д~~(У вЂ” д„Л вЂ” ~~(У* — ', Ю+ Е* +с' объем()е)" — Й) — с' объем(ег — т(;)") Далее, поскольку разность между объемами (В') и (В) равна разности между объемами (ес — тс') и (Я* — Я), то получим 2 )е(т( — т)=т(11 о — „ея — 1 1 о'~ее~. (( Ге) Е Правые части равенств (4.43') и (4,37) одинаковы, Теперь можно повторить рассуждения п. !О, показывающие равенство пра- !2.
Теареча Лаврентьеве вых частей формул (4.37) и (4.36). Таким образом, выражение 2ярс'(р*,— р,) равно правой части равенства (4.36). Затем, как и в доказательстве теоремы 14, полагаем, что последние члены правой части (4.36) являются бесконечно малыми второго порядка. Переходя к пределу при бп — О, получаем второе равенство (4.41).
С л ед с т в и е 1. Если объем фиксирован, то кинетическая энергия, присоединенная масса и момент диполя экстремиэируются свободной поверхностью тока, Обратное верно для экстремизирующих поверхностей, к которым применимо соотношение (4.41). В частности, аналитические экстремизирующие поверхности являются свободными поверхностями тока (см.
гл. ЧП, п. 11), уч се Используя понятие числа кавитации Я = , , определяемого как в гл. 1 (1.За), мы приходим к следствию. С л е д с т в и е 2. Кавитаиионное течение, равномерное на бесконечности, экстремиэирует величину [А(В) — Я ° объем(В)] в том смысле, что 3[/г(В) — Я объем(В)! =О (4.44) при любых вариациях свободной поверхности тока 2. Д о к а з а т ел ь ст в о. В соотношении (4.41) поверхностный интеграл равен — [ [ (Пl П7)сЯ=уэйобъем(В).
Подставляя его в (4.41) и деля обе части полученного равенства на с', получаем (4.44). К сожалению, наше доказательство равенства (4.44) нарушается в случае бесконечного объема каверны, когда Я = О. 12. Теорема Лаврентьева. Метод сравнения в гидродинамике"), недавно разработанный для плоских и осесимметричных течений, существенно упростил доказательство теоремы единственности и качественное исследование поведения свободных линий тока. Этот метод состоит в сравнении функций тока двух течений с различными границами при использовании в качестве основного свойства того факта, что функции тока удовлетворяют уравнению Р'„„+ 1;,— ру-'1,=0 (4,45) (в р + 2 измерениях, см.
гл. Х, и. !) и, следовательно, удовлетворяют принципу строгого максимума. В этом пункте мы пред- Пб Гл. 1Р. Общая теория лагаем две теоремы сравнения, имеющие важное значение для задач со свободными границами. Теор ем а !6 (Л а в рент ьев а). Пусть два плоских или осесимметричных течения идеальной жидкости, имеющие одинаковую скорость невозмущенного потока, определены в областях Р и В, ограниченных соответственно линиями тока 5 и 5, проходящими через бесконечно удаленную точку (рис.
45). Если 0 ~~ б и если граничные линии тока имеют общую точку Р, Рис. 45. то при этих условиях соответствующие скорости д и у удовлетворяют в точке Р неравенству у(Р) <у(Р), (4.46) причем равенство достигается только тогда, когда эти течения совпадают или у(Р) = О, Доказательство.
Пусть )т и т' — функции тока соответствующих течений. Без потери общности можно считать, что скорости невозмущенного потока направлены в положительном направлении оси х и что Ь'=О на 5, т'=О на 5, (4 47) Ъ'>Ов сэ, Ь'>Овсэ, причем области 0 и В открытые. Кроме того, можно считать гл + К так как в противном случае теорема тривиальна. Если положим щ, = и' — а)т, где а — любая постоянная, меньшая единицы, то ш, удовлетворяет уравнению (4.45) и, следовательно, подчиняется принципу строгого максимума (п.
9). Поскольку в любой точке области 0 — ' = у' (и — аи), ду где и, й — горизонтальные компоненты скорости, то из этого следует неравенство Ит ьа >О. (4 481 ду !2. теорема Лаврентьева Кроме того, на линии тока 5 мы имеем ш„)~0 и поэтому ю„» 0 (4 49) вне любого достаточно большого круга. Эти два неравенства вместе с принципом строгого максимума означают, что га, > 0 в области Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
