Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, этот процесс можно повторять до бесконечности и продолжить фучкцию Ь = )(1) как мероморфную функцию на всю плоскость 1"), Поскольку функции (5,11а) и (5.11б) заменяют Мы не знаем ни одного течения с годографом в виде кольце. вого сектора, для которого величина я = ) Г'е(Ю могла бы быть выражена в замкнутой форме. 4. Метод отражения. Определение функции Г(1) в общем случае и = 2 лучше всего достигается распространением ме- тода отражения гл, П1, п. 2 на область параметрического прямоугольника 11, определяемого неравенствами (5.2).
Рассмогрим теперь это обобщение. Пусть Ф будет какое-нибудь ! простое течение (см, и. 1), ограниченное двумя пластинами и 1 двумя свободными линиями тока. Тогда применимы формулы (5.1) каверна и (5.4) и, следовательно, остается определить (см. теорему 1) Р ис. 52. функцию ь=)(г), Комплексная скорость Ь как функция г аналитична и регу- лярна в прямоугольнике 14. Она имеет конечное число нулей, соответствующих критическим точкам течения, постоянный мо- дуль на каждой горизонтальной стороне прямоугольника К и постоянный аргумент на каждой нз его вертикальных сторон.
Без потери общности можно считать, что на нижней, верхней, левой и правой сторонах прямоугольника Й соответственно имеем ~~М = 1, 4 = о <1, агд~ = О и агд~ = 3, Это равно- сильно такому выбору осей и единиц измерения, при кото- ром граница течения в свою очередь является соответственно: 1) горизонтальной, 2) свободной с постоянной скоростью и на ней, 3) составляет угол — 9 с горизонталью, 4) свободной со скоростью ~Я = 1 на ней, Производя отражение относительно этих границ, находим Г(г') =1' '(1) на нижней стороне, (5.11а) й(1*+2(К') = ЮГ* '(Г) (5.11б) г,( — 2К вЂ” г*) = ~'(г) (5,11в) ~(2К вЂ” т*) =еже~*(1) (5.11г) Гл. у.
Обтекание несколькик пластин нули на полюсы и обратно, в то время как функции (5.11в) и (5.11г) сохраняют как полюсы, так и нули, функция ь не имеет никаких особенностей, кроме полюсов; следовательно, она является мероморфной функцией даже в углах. Повторным применением соотношений (5.11а), (5.11б), (5.11в) и (5,11г) нахо. дим г.(/+2/К) =з2~(г), (5. 12а) ч(/+ 4К) = емг~ (/) (5.126) Эти равенства показывают, что функция Ь(Г) является двоякоквазипериодической мероморфной функцией с квазипериодами 4К, 2/К' в следующем смысле.
Оп редел ение. Число ы называется квазипериодом функции /(т), если существует такая постоянная а, что /(/+ гь) = = а/(Г). Функция с двумя такими линейно независимыми квазипериодами еи и ы, соответственно множителями а1 и аг называется двоякоквазипериодической функцией. Если а1 = аг = 1, то функция называется двоякопериодической с п"риодами ыь ыь Основным параллелограммом двоякоквазипериодической функции /(Г) называется любой параллелограмм со сторонами ы, и ыв равными квазипериодам. В рассматриваемом случае квазипериоды ы1 = 4К и ыэ = 2/К' ортогональны.
Следовательно, рассматриваемые основные параллелограммы — прямоугольники, подобные основному прямоугольнику К, однако со сторонами удвоенной длины. Л е м м а. Две двоякоквазипериодические мероморфные функции, имеющие одинаковьге квазипериоды, полюсы и нули, совпадают с точностью до экспоненциального множителя Аес'. д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция /(г) = ь1(г)/кг(г) будет отношением двух таких функций. Тогда /(/) будет квазипериодической функцией, не имеющей полюсов или нулей. Следовательно, логарифмическая производная /'(/)//(г) этой функции ограничена; кроме того, она двоякопериодическая.
Следовательно, по обобщенной теореме Лиувилля, /'(г)//(/) = С. Утверждение теоремы /(/) = Аес' непосредственно следует из этого результата. С л е д с т в и е. Две двоякоквазипериодические мероморфные функции с одинаковыми квазипериодами, множителями, полюсами и нулями совпадают с точностью до постоянного множителя.
В самом деле, экспоненциальный множитель Аес' в этом случае должен быть двоякопериодическим и, следовательно, постоянным, Применяя это следствие к течениям, удовлетворяю- 4. Метод отражения шим уравнениям (5.11а) — (5.11г), придем к следующему заклю- чению. Т е о р е м а 3. Комплексная скорость ~ = /(!) простого течения, удовлетворяющего условиям 1) — 4) (гл. I!!, п. 2), является двоякоквазипериодической мероморфной функцией с квазипериодами 4К и 2/К' и множителями е"а и о' соответственно. Она определяется с точностью до множителя ч-1 параметрами о, 3, й и положением критических точек в прямоугольнике В. В теореме 4 п.
1О мы продолжим теорему 3 утверждением, что положение критических точек в прямоугольнике й не является произвольным. Однако сначала в п. 5 — 9 мы применим теорему 3 к некоторым частным случаям течений с о = 1 и ема = +. 1, критические точки которых располагаются в прямоугольнике Р симметрично. В таких случаях ~ = /(!) является эллиптической функцией, т. е. двоякопериодической мероморфной функцией. Лействительно, этими периодами являются, очевидно, 4К (или 8К) и 2!К'.
В более общем случае очевиден следующий результат. С л е д с т в и е 1. Функция ~(!) является эллиптической тогда и только тогда, когда о = 1 (т. е. давление на обеих свободных линиях тока одинаково), а 5 = гя/з — рациональное число, кратное я. В самом деле, в этом случае функция ь(!) является двояко- периодической с периодами 4зК и 2!К'. Поскольку любая эллиптическая функция с периодами 4К* и 2!К* может быть представлена как рациональная функция Р* от зп ! = Т и сп!бп!=7~1 — Т'1 1,1 — й*Т'), то для некоторого нового модуля /гь находим ь = Р*(зп !, сп ! дп !).
Используя это представление в теореме 1 (й заменяется на /гч), получаем, что а= ~ /~,(зп!, сп!с(п!)сй, где /с,(и,о) — некотораярациональная функция. Однако известно, что любой такой интеграл может быть выражен через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода 'ь). Этим мы доказали новое следствие. С л е д с т в и е 2. В условиях следствия ! функция г(!) может быть выражена в замкнутой форме через эллиптические интегралы от Т = зп (!, й"). Этот результат аналогичен основному результату гл. П, п. 9 [см. также формулу (3.1)].
К сожалению, его прямое применение в частных случаях приводит к очень сложным формулам, если оба целых числа г и з не очень малы. Ниже мы рассмотрим интегралы, выражающие комплексную переменную г в нескольких простейших случаях, для которых г/з = О, '/э или 1. Гл. 1т. Обтекание нескольких пластин Для упрощения формул епи зси= —, спи' мы используем обозначения Глэйшера сс)и = —, Йпи ' еп и пи йпи ' с)зи= — —, бпи епи ' бси= —, бпи спи ' спи сзи= —, еп и Несмотря на это„окончательные формулы все же остаются сложными. 5.
Соудареиие струй, истекающих из сопел. 1. Сначала рассмотрим две соударяющиеся струи, истекающие из параллельных сопел, симметричных относительно неподвижного центра т б г г Илсскссмь т бг бг Плссксснь б рпс. ЬЗ. симметрии 0 при повороте на 180', как показано на рис. 58,а (общий случай будет рассмотрен в п. 10). В обозначениях п. 4 5 = я, о = 1; следовательно, ~ =1(г) — эллиптическая функция с модулем й, если течение отображается на прямоугольник )х, определяемый неравенством (5,2).
Затем, отражая функцию ~(1) относительно неподвижных стенок, видим, что максимум ее модуля достигается на свободных границах. Отсюда следует, что ~Ц < 1, а свободные линии тока являются выпуклыми, согласно принципу Бриллюэна (гл. 1, п. 13). Кроме того, из физических соображений е') ясно, что существует только одна критическая точка, которая в силу симметрии должна совпадать с точкой О. Следовательно, функция 5.
Соударепие струй, истепаюююЮик ие сопел. й 127 /(/) имеет только один нуль в области й в точке Ю = юК/2. По- вторяя отражения относительно неподвижных и свободных гра- ниц (рис. 53„б), получаем все нули и полюсы функции /(Ю), как вп.4: 'КР нули в точках Ю= — +2аюК+2гюКю; полюсы в точках ю= — — +2юпК+2пК'ю'. 1К' 2 (5. 13а) (5.13б) на круг Г* и каждую четверть прямоугольника )юе на квадрант Г"'. С другой стороны, если считать известным, что конформное преобразование Х = зпх отображает прямоугольник й* на круг с разрезами, подобный Г", то можно сразу написать (5.14а) в результате рассмотрения годографа. Это свойство функции Х = зп х выводится аналитически, например, следующим образом. Подставив — 1/йХ вместо Х в интеграл х йХ 1т (1 — Х') (1 — А'Х ) получим зп (юК' — х) = — 1/й зп х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
