Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В то же время на прямой 1гп (х) = К'/2 имеем ~зп (/К' — х) ~ = ~зп х~. Следовательно, на этой прямой ()зпх( =1/)//ю)1гп [х) =К/2. Комплексная координата. Однако простейшее вычисление комплексной координаты г в замкнутой форме достигается путем другой параметрнзации, при которой область течения отображается на прямоугольник 11~') — Кю сне(и) (Кь — Кю (1гп(и).(Кю Однако хорошо известно, что нули и полюсы функции зп ю находятся соответственно в точках 2пюК + 2пюК' и 2пюК + + (2п + 1)юК', т.
е. имеют то же самое расположение'). Следовательно, по теореме 3 Ь=сзп(Ю вЂ” юК'/2) с некоторой постоянной с. Поскольку ~ = 1, когда Ю = юК', то сап (юК'/2) = 1 и, таким образом, с= — ю'~~/ю ). Поэтому в . К' ~= — ю 'рс/юзп~/ — ю' — )= — ю'1//юзпх, х=/ — ю —. (5.14а) Метод годографа. Годографом скорости такого течения (если оно однолистно) является, очевидно, круг Г* с двумя симметричными горизонтальными разрезами (рис. 53, в).
Путем сравне. ния с формулой (5.14а) мы видим, что функция зп х отображает прямоугольник йе — К~~Ке(х) (К' 2 ~~1ю" (х)~~ 2 КР !зв Гл. У, Обтекание нескольких пластин с критической точкой в центре и О. Тогда Ь(и) оказывается Р двоякопериодической функцией с периодами 4Кь 4еКь наименьшими общими периодами функций вп и, сп и, г(п и. Поэтому прямоугольник Р, и оказывается таким удобным. В силу симметрии, точки иь и„ив, и,, которые представляют струи и сопла, переходят в симметричные пары на ~ранние 1(ь Таким образом, ив = — иц ив = — ив Замечая, что сп и — четная функция, принимающая чисто мнимые значения на границе, находим, что комплексный потенциал (с точностью до действительного постоянного множителя) выражается формулой Ю'=1п — — '.
(5.!5) спи — спит ' Чтобы получить комплексную скорость, заметим, что — ! (ч+ Г )!!2 — однозначная функция, принимающая действительные значения на границе, имеющая простой полюс в начале координат и принимающая значения ч-1 в углах. Такой же функцией является функция (й зп и), и поэтому, разрешая уравнение ((+1 )!!2=(азии), получаем Ге во и ~= !+б (5. 146) Из (5.15) и (5.146) следует и г сп и — сп и, сп и — сп и,1 Х бп и(1+бп и) е(и.
(5.16) Этот результат можно проинтегрировать в замкнутой форме и получить г = бв(и) — 6,(и), где ! В(и!)+т(и) дои! й вп и! В (ид — В (и) + 2Ге вп и! Х1п — - ' вб(ий+ад(и) 1 сп и! вб (и;) — вб (и) а вб (и;) ' ! вп' и! ' — — П (и, и, — в'К') + и — —, (5.16') где о(и) = вп и/(1+ сп и), зй и = вп игпи и.
В написанной формуле функция П (и, и) = йв зп а си и г(п и ) о является эллиптическим интегралом третьего рода [87!. 6, Пластины, перпендикулярные к струе. Можно также просто выразить функцию Ь(!) в случае идеальных плоских тече- 139 д. Пластина, перпендикулярные к струе ний около пластины, перпендикулярной струе, истекающей из сопла (см, рис. 50, а). Предполагая, что единственная критическая точка расположена на пластине, мы можем установить, что областью годографа, очевидно, является полукруг с симметричным разрезом (рис. 54, а), а областью логарифмического годографа (!и Ь) является полубесконечный прямоугольник с таким же разрезом. Сравнивая рис.
54, а с 1 1гг/г ат Плескаете а е -Иуг Пяасн ти 1 1 Р ис. 54. рис. 53,б — в, видим, что если течение отображается (рис. 54,б) на новый параметрический прямоугольник йг — К < Ке (и) < О, — К'/2 < 1ш (и) < К'/2, то комплексная скорость /, определяется формулой (5.14а), ~= — 1'у'язпи. Эту формулу можно просто проверить, замечая, что если Ь(и) продолжить путем отражений (п.
4) на всю комплексную плоскость и, то ее нули окажутся в точках и = 2тК + 21пК', а полюсы — в точках и = 2пгК + (2п + 1)(К', как н должно быть') для зп х. Далее, очевидно, что функция У = зп(и+ 1К'/2) отображает течение на второй квадрант плоскости (/. Следовательно, Т = = — зпг(и + гК'/2) отображает течение на верхнюю полуплоскость Т.
Согласно теореме 1 (п. 1), течение полностью определяется этими формулами, а также производной комплексного потенциала з дт = з Х (т-т ) ' "г+ "г+ "з=О, (5.17) й -" 3 1 причем Тг находится на стороне 5з5ь Тг на 5з5г и Тз — на 5,5з. Константа С определяет масштаб течения, Тг — асимптотическую скорость в сопле, а Тз и Тз — направления отходящих струй, Гл.
1т. Обтекание нескольких пластин Особый интерес') представляют различные предельные случаи течения, изображенного на рис. 50,а. Среди них можно упомянуть: 1) течение, порождаемое вертикальной пластиной, глиссирующей в потоке конечной глубины (рис. 55, а), и 2) кавитапионное течение при 1,"т = 0 около пластины, поставленной перпендикулярно, но не обязательно на оси бесконечного канала (рис. 55, б). В случае 1) Тз — — — 1 и Т, = 1; в случае 2) Т, = — 1 Р па. зз. и Т, = 1. Отражая течения, показанные на рис.
55,а, б относи. тельно одной стенки, получаем соответственно случай 3); удар симметричной струи, вытекающей из сопла, на перпендикулярную стенку с симметрично расположенной щелью (рис. 55,в) и 4) две перпендикулярные пластины, поставленные симметрично в канале. 7. Комплексная координата. Теперь рассмотрим формальное интегрирование выражения а = ~ Г ст'Ж и различные связанные с ним интегральные формулы. Чтобы получить их в простейшей форме, повернем принягое выше параметрическое изображение на 90' и отобразим течение на прямоугольник Вз О <йе(х) <Кз, — Кз <1гп(х) <О, где Кз1Кз=К/К'.
Тогда к ) ч-т ~ 2 1 (1+Гтз)(йпх+(1 — Гтз) зпхспх1 )т а~ Ы 7. Комплексная координата 14! Формула (5.18) может быть выведена либо из формулы Г.= — ю )трепи путем вращения и переноса, либо (что более просто) путем сравнения расположения нулей и полюсов функции ь ' и функции ю)п Гт). Что касается комплексного потенциала, то можно просто заметить, что поскольку функция зпзх отображает йз на полу- плоскость, то можно использовать формулу (5.17), в которой следует взять Т = зп'х и Тю = зп'хь где хю — три точки на границе ю(з. Поскольку критическая точка переходит в точку х=Кз/2 — ю'Кз, находим') А = зпт ( — 2- — ю'Кз йз) = — ° К, 1 (5.19) ютэ В результате подстановок из формулы (5.17) получим з Ж'= ~чР й)1п(зп'х — зп'х), (5.20) ю=! где з Х йю=О Х йю~Ъ (йз — зп'хю)=0.
(5.20') ю=! т=! Физически величина кйю = ююю равна ширине струй; первое тождество (5.20') соответствует закону сохранения массы, а второе в условию (5.!9), т. е. ю))юи/ю(х = 0 в точке разветвления (зто означает, что критическая точка находится на конечном расстоянии). Теперь, учитывая формулы (5.18) и (5.20), можно вычислить комплексную координату точки 2~~зй (1+й)~ ~" зп«сп«дп ««+ (дп «+ Юю ) (зп « — зп" «1) +(1 йт) Г ЗП «СП «С1П«СЮ«1 (ю1п х+ яз) (зп х зп «7) Эти два интеграла можно выразить в замкнутой форме соответственно с помощью подстановок и=с(п х и и = бп(х — юКз)= =ю(спх)ю(с)п х), а также с помощью, где возможно, тождества (2.20). Обозначая сз х = (сп х)/(зп х), получаем окончательно з (5.21) где Гю ° У йз бп(хю+Кз/2) — скорости на бесконечности. 142 Гл.
У, Обтекание нескилькил пластин Приложения. Длину пластины можно определить непосредственно из формулы (5.2!): 1= — ~~~~~с(1 ~(Ст+Ст ) — ю'(Гт' — С1)1п, . (5.22) 1 Г з ., 2+1(с~ ' — ст) 1 2 — 1(С1 ~ — 11) / Согласно гл. 1Ч, п. 4, комплексная сила Р, действующая на пластину, равна Р= 2 (х(2Кз — сКз) — х((Кз)1= 2 ~ 2 суд (5.25) гс О ' (с, + с ) / 1 В предельном случае пластины в бесконечном канале (рис. 55,б) имеем О=ха(х, к хз — — Кз н и,— — о(1, Гз —— Гз — — 1. из которой следует интересный факт: Со не зависит от положения пластины.
Для пластины, глиссирующей в потоке конечной глубины (рис. 55,а), имеем х, = О, хз = Кз, а точка хз расположена слева от точек х, и хз. Соответственно этому ~, - ьз = 1, ееи. Коэффициент лобового сопротивления в этом случае равен 2 Сов 1+ — сзк — 1и с1к — ~ — — и) 2 212 (5.25) Если устремить ширину набегающей струи к бесконечности, то можно получить в качестве предельного случая половину течения от неограниченного потока, набегающего перпендикулярно на две равные и симметрично расположенные пластины. Вышеприведенная формула показывает, что при этом Св становится равным 2к/(к+ 4), т. е. коэффициенту сопротивления одиночной пластины 'з). В интересном случае струи, набегающей перпендикулярно и симметрично на перфорированную стенку (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
