Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Учитывая по. ведение комплексного потенциала )р* при / = /, видим, что отсюда просто следует с(от/Ж = О при г = /, Таким образом, постоянная С определяется единственным образом, поэтому (аы и, ( спадпа спасова 1 ав и (зпг — впа вп/ — впа~ а, спадпа(зп1 — зп/) (5. оо и (вп / — зп а) (зп т — зп а) ' 5.55) Учитывая, что Ь = вм в точке В, имеем и, спи два впг — вп/ к где / — значение / при г = оо. Обращаясь к комплексной скорости, замечаем, что агд~ = О на ЕА, агд~=а1 на АВ, агд~= — аз на С0, !Ц=! на ВС, !Ц = о на 0Е.
Следовательно, функция Ьы" удовлетворяет условиям теоремы 3 и должна быть квазипериодической функцией. Так, например, если со = ! )п ~, как в п. 3, то ( — (п/а1)с(со/с(/ — эллиптическая функция, принимающая на границе чисто мнимые значения и имеющая полюс с вычетом, равным единице в точке 1 = а. С точностью до аддитивной постоянной такая функция должна совпадать с функцией сп а дп а/(зп г — зп а) и, следовательно, 162 Гл.
Р. Обтекание нескольких пластин Выполняя интегрирование, получаем бст — пса) т —,' нш (5.56) "! где Е(1)=д(е — (К', а, ь) — П(К вЂ” ьК', а, й)' — (е й) спибпа Здесь е)с=оп!сп, а П(1, а, й), как обычно, эллиптический интеграл третьего рода. Теперь остается только проверить, что течение, определяемое соотношениями (5.54) и (5.56), действительно имеет вид течения, изображенного на рис. 66, а. Детали этой проверки предоставляем читателю. Если ВС считать не свободной линией тока, а неподвижной границей, то получается кавитационное течение около твердого тела, ограниченного двумя отрезками прямых и двумя выпуклыми дугами ВС и В'С'. Однако эта модель для каждого препятствия дает единственную каверну с заострением, так как любое изменение каверны немедленно приводит к изменению формы дуг ВС и В'С, а следовательно, и препятствия.
Нам неизвестны аналитические выражения ь(1, а), которые давали бы однопараметрическое семейство подобных каверн за неподвижным препятствием. 15. Полые вихри, Случай полого вихря в канале") (рис. 67, а) также может быть исследован на основании леммы ГлтЯ l йеЯ l е б Рис. бт. п. 4. Будем считать, что жидкость на бесконечности находится в покое, скорость на границе вихря равна единице и течение имеет центр симметрии, Отобразим половину течения (ниже пунктирной линии) на прямоугольник в плоскости параметрического переменного г, — 2К < тсе(ь) < 2К, О < (ш(1) < К' (рис.
67, б) так, чтобы свободная граница перешла в верхнюю сторону, нижняя стенка канала — в нижнюю сторону и две половины горизонтальной оси симметрии — в вертикальные стороны прямоугольника. При таком отображении бесконечно удаленные точки переходят в точки +К. Очевидно, что горизонтальная ось симметрии — эквипотенциальная линия и что ско- Примечания рость принимает на ней чисто мнимые значения. Таким образом, функция В'(1) регулярна, имеет постоянную действительную часть на вертикальных сторонах и постоянную мнимую часть на горизонтальных сторонах прямоугольника.
Следовательно, комплексный потенциал йу(г) должен иметь вид Ф'= — + сопз1, (5.57) где постоянная 1 равна циркуляции скорости вокруг вихря. Кроме того, ь(г) действительна на уг, Уя, мнима на Агуг и Аяум имеет модуль, равный единице, на А,Ая и равный нулю при г = -~-К. На основании теоремы 3 эти свойства единственным образом определяют функцию ь(г) с точностью до знака, как эллиптическую функцию с периодами 4К и 217('.
Такая функция может быть записана в форме ~ = ~ггХ зп (й — К) = — ~ггй — „= — )I й сб 1, (5.58) Далее получим ста= ь тай"= — т тт'т, — ! бае 4угй К сне (5.59) 1 — япт г= 1п — ' —. ВР'й К 1+ У' Тот же метод можно применить к полому вихрю в правильном многоугольнике а') с и сторонами; случай квадрата п = 4 изображен на рис. 36, б. Если сектор течения отобразить на указанный выше прямоугольник, то получим снова соотношение (5.57): (5.60) Ф'= 2 К+С, Г.
= !У7 зп (г — К)1'", (5.61) где л — число сторон многоугольника. Путем интегрирования нельзя получить выражение для г в конечном виде. ПРИМЕЧАНИЯ ~) Как н в гл. Ц н Ш, гранада любой ветви течения, простирающейся в бесконечность, рассматрнваетгя ча. 'г "оерывная В и. 14 н 1б мы будем бесконечно удаленные точки ор то с»нгчгь внутренними, поскольку Ь(со) имеет вполне определенное аначенне. 11" Гл. )г. Обтекание нескольких пластин ') Теорию эллиптических функций см. в работах [66, стр.
280 -296] или [87, гл. ХХ1!]; [2*, !6*, 23*, гл. тг!1, и. 4]. В настоящей главе требуется некоторое знакомство с этой теорией. (Рассматриваемая задача л~ожет быть решена без применения эллиптических функций, см. [9", 9 27]; [23", 6 36, пример 2].— Прим. перев.) г) Функция ю была впервые использована Планком (Р1 а и с Ь М, Ак ь рйуз. Сйегп., 21 (!884), 499 — 509). (Эта же функции использована в работах [12ь, 53, 63],— Прим.
Ред.) ') Впервые зто обстоятельство было отмечено Вилла, т/~1! а1 Н., «19, 20]; см. также Т Ь ! г у Й., Апп. зсг. ес. погт. зир., 38 (192!), 229 — 239, Для клина другие возможности были отмечены в работе т'11!а 1 Н., Апп. /ас. зсй Тои1оизе, (1913), 357 — 404. ь) См. О б й ч( з 1 Р, К. О., АгЫи Ма1., Аз1г., Руз., 19, № 13 (1926). Течение, представленное на рис. 51, г, было рассмотрено в работе С а 1 б о и а х. а о О., Апп. Маг.
Рига А рр1. Макапа, 25 (1916), 40. '] См. Р о о(е Е. О. С., Ргас. Ьпг(. Марш Зос., 26 (1927), 148 — 150. Тщательное исследование, проведенное одним из авторов в /. де таЬЕ (1954), 29 — 80, показывает, что не существует никаких других течений такого типа около пластины. (Впервые струйные схемы, показанные на рис. 51, б, 52, были указаны в 1899 г. С. А. Чаплыгиным [45", т, ! стр. 254].— Прим. Ред.) г') Мероморфной функцией называется функция, единственными особенностями которой в конечной плоскости 1 являются полюсы.
'е) Оз н о об %. Р., ЬейгЬцсЬ бег Рцпй((опеп(йеог(е, 5, 487, теорема 7, Относительно интеграла //Тг (зп1, сп( ба 1) с((см. [87, стр. 515] или Е г г( е!у(А. е1 а1„Н!иЬег Тгапзсепбеп1а! Рипс1юпз, чо!. 2, 9 13.3; [2*, 23*]. е'] Более строго см. гл. Н! (3.30). Точки разаетвления потока не могут быть ни на стыке свободных линий гока, если они выпуклы, ни ка стенке сопла, по определению; следовательно, пе = О, г) См. «87, гл. 12]; [66, стр. 284].
Этот факт следует из метода отражения, если заметить, что функция Т = зп ! имеет в прямоугольнике )1 еднпственный нуль при 1 = 0 и полюс при 1 = (К' и является действительной на границе прямоугольника й [2', 23" ]. г) Формулу зп (1К'/2) = 1/]г й см. в работе Тг(сот ! Р., Рипа(оп! е!11- 11сЬе, 20 еб., р. 147 или в приведенном ниже изложении метода годографа скорости; [2", стр. 268]. гь) Модуль йь относящийся к ((ь связан с модуаем /г, относящимся к Е, преобразованием Ландена «87, гл. 12]; «2", стр.
271]. э) Симметричный случай был рассмотрен в гл. !1, п. 7, 8. Случай 1) был изучен Грином, С геен А. Е., Ргос. Сатйг. РЬ(1. Зос., 32 (1936), 67 — 85; 34 (1938), ! 67 — 183. Случай 2) был рассмотрен Бондером, В о п б е г Л., Апп. Асаг(, Зсй Тесла. йгагзаш, 3 (1936), 155 — 193.
См,, кроме того, ссылки в п.!2. !7римечаиия м) Этот факт был замечен Бондером. Си. примечание 9. н) См. также Ттг!1охупз1с! С. %., Тгог1гайе 0Ьег Нудго- нпб Аегобупапи!н Вег!1п, ЗРПпйег, 1924, 5. 250 — 251; [12', т. 111, 9 1о]. 'т) Модуль й этого отображения связан с модулем !г~ только что рассмотренного отображения преобразованием Лаплена.
и) Некоторые нз этих течений были рассмотрены Гринхиллом [ЗЗ, стр. 39 — 46] и Мичелом [63). Чизотти рассмотрел струю, вытекаюпгую из прямоугольного сосуда (рис. 57), и ее предельную форму — струю нз бесконечно малого отверстия; см. Сгзо11! О., )7епг(. С!гс. Ма!. Ра!егто, 25 (1908), 145 — 179; )7епА. Ассах(. 5!лсей 23 (!914), 73 — 79. Другие У-образные препятствия были рассмотрены в работах С)з о111 О., )тепп'. Ассаг(. (.!пней 22 (19!3), 417 — 422, 580 — 584; см. также [61, ч.
1Ъ']. и) См. Ляв [57] и цитированную выше книгу Гринхилла. Кроме того, сч. работу [59, стр. 45 — 53], в которой приведены экспериментальные данные для осесимметричного аналога течения, изображенного на рис. 57, б. 'з) См. С1зо 111 О., )7елг(. Сггс. Ма!. Ра!егто, 25 (1908), 145 — 179; другой предельный случай истечения струв из щели см. в работе Мичела [63]. 'з) На рис. 59 представлены частные случаи из класса течений, рассмотренных в работе В о 66!о Т., Айб )7елс(. Ассад. 5сй Тоггло, 46 (1911), 1024 — 105!.
Библиографию исследований течений такого типа см. в п. 9. '") Со1опе111 О., Йенс(, Ассад. Е!псе(, 20 (!911), 649 — 655; 789 — 796; другая интерпретация дана в работе [9, ч. Н]. О работах Рябушинского см. К ! а Ь о и с Ь! п з й у О., Ргос. Епс!. Ма!Л. Кос., 18 (! 920), 206-215; 25 (1926), !85 — 194, где даны другие ссылни; кроме того, см. [36, гл. Тг]. Связь этого течения с кавернами (в противоположность следам), по-видимому, впервые была отмечена Вейнигом, Тзге)п 18 Р. [43, стр. 294 — 300). 'з) Это совпадение было замечено Гилбаргом и Роком [см, О1(Ь а г 8 О., )т о с(г Н. Н., !уао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
