Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 27
Текст из файла (страница 27)
55.в), половина течения определяется в результате подстановки х, =* Кз, ь хз О и хз Кз — !Кз Естественно, что ьь 1 ьз 1, ьз Коэффициент лобового сопротивления Со = 2Р/р!оз выражается формулой (5.24) 1 — и+ — (1+ и) згс 12 и 2и В. у-образные ареаегегеие Ширина щели равна 1+ Аз гг "г = 1 1а (юКз) — а ( — 1Кз)1 = — 2еггг — 2йз 1и —, .
1 — йз' ' Из формул (5.20) и (5.20') следует 'лг = — Азйг и Ле = — (1 — Аз) Ьь Таким образом, отношение г ширины набегающей струи и ширины щели, а также коэффициент сужения с вытекающей струи выражаются соотв -ственно формулами 2а, 1 /, 1 — А,' 1+в,' ' Гге + — 1п аз 2Ггг 1 с Ь 1 — Ф,' 1+а', 1+ —,з 1и — е еаз 1 Ггз г Для Аз, достаточно близкого к 1, г < 1. Следовательно, течение теоретически может быть в равновесии, даже если ширина набегаюшей струи меньше, чем ширина шели. Было бы интересно экспериментально проверить устойчивость такого течения.
1т Ги) ае1й) Г "[бг $е бг 1 бе~ ' Рис. 56. 8. 1)-образные препятствия. Рассмотрим течения, имеющие одну свободную границу, 13-образную неподвижную границу, составленную из двух вертикальных и одной горизонтальной пластин, причем эти течения не имеют критических точек, за исключением двух углов. Типичные течения такого типа изображены на рис. 56, а, 56,б; впервые они были рассмотрены Мичелом (63) гг). Другие варианты течений представлены на рис. 57, а — д и 59, а, б, в.
Отражая такое течение относительно горизонтальной с а. У. Обтекание нескааекик лиастин й' — ип и й'+йпи ' поскольку й' < дп и < 1 на нижней стороне, 0 <с(п и < й' иа вертикальных сторонах, а функция с(п и — чисто мнимая на верхней стороне. Следовательно, . / й — йпи йспи к'+ с1п и й'+ дп и ' (5.26) Кроме того, число струй муле (3,4), производная а1Гс 1 вт т — т, равно двум, и поэтому, согласно форкомплексного потенциала равна 1 т т, Т= зп и, Т1 — — зп и;, (5.27) если ширина струи принята ра~вной я, Соответственно комплексная координата г выражается разностью двух интегралов одинакового вида = а ~'~епи — епи + епи — е ~(~'+бг1п)бг1 пластины, получаем течение с двумя свободными границами (рис.
56, а). Было бы естественно отобразить двойное течение, полученное отражением, на прямоугольник К п. 1 (формула (5.2) и рис. 50, б) так, чтобы точки Зъ 5м 5з, 5а перешли соответ- Р ственно в точкиКь К1+(Кь — К1+(К1, — Кь Нули и полюсы функпии ь будут тогда находиться соответственно в точках (К1+ сКу~2)+ 2тК1+ 2псК1 и (К1 — (К1!2)+ 2тК1 + 2псК1, В результате сравнения с положением нулей и полюсов функции зп ( можно получить, что Г= сап(г — К1 — сК1/2), согласно теореме 3, и затем построить течение, согласно теореме !. Однако можно получить более простые формулы, если отобразить первоначальное течение на прямоугольник К вспомогательной плоскости и, показанной на рис.
56, в, так, чтобы вертикальные пластины перешли в вертикальные стороны, горизонтальная пластина — в нижнюю сторону, а свободная граница — в верхнюю сторону прямоугольника К "). В прямоугольнике К функция ь = ((и) действительна и положительна иа действительной оси, чисто мнима на его вертикальных сторонах, равна по модулю единице на верхней стороне и не имеет никаких нулей, кроме расположенных в точках 5, и 5и Согласно теореме 3, эти свойства определяют единственную функцию 7"(().
Однако все эти свойства имеет функция 8, Ы-образные препятствия Чтобы проинтегрировать зто выражение, подинтсгральную функцию (первого интеграла) представим в виде (я'+спи)дпи я' дои, дпти,зпи зпа — зпи, зпи — зпи, зп и — зп и, + 2 2 г 1 опт и, зп'и — й зпи зпи, зпи, зп'и — зп'и, ' Первые четыре члена легко проинтегрировать путем выбора в качестве независимых переменных соответственно зп и, а б в з 27 Рпс, 57.
(бп и/сп и), спи и и, а последний член после замены зп и, на [йзп(и, — И')[ приводится к канонической форме эллиптиче. ского интеграла третьего рода, Замечая, что окончательный результат можно записать в виде разности а= аю — зг, (5.28) где 1Ю1 аю —— — [ — — Г,) [!п (ся и — сд и,) — !п (сд и — сд и,)[+ -+ 4 ~С +(,)[!п(бси — оси)) — !п(цси.+бсию)[+ 1 1 + -+ — ~".
+--) П(и, и — юК', А). йзпию ' 2 [ ю Гю) Здесь сди = спи/(! + зпи), бси = бп и/спи, и П(и, а, /ю)— эллиптический интеграл третьего рода (см. конец п. 5). В частном случае, изображенном на рис. 56,а, сток ию и источник иг находятся в точках -~ К + юК', следовательно, — — В этом случае большинство членов выпадает и формула (5. 28) приводится к виду а= 2и+ю !п(/ю' — юй си и) — ю !п (А'+Испи), (5.28а) На рис. 57 изображены некоторые интересные частные случаи, получающиеся при различном расположении источников и стоков (особенностей) на границе "). 10 г, Бырктоф Гл.
т'. Обтекание нескольких аластин Особый интерес вызывает течение, показанное на рис. 57, б, которое представляет собой половину струи, ударяющей симметрично в 13-образное препятствие (пластину с козырьком ы) или чашу). В этом случае и, находится на верхней стороне прямоугольника, и, = — К + !К' и ссютветственно ~, = еее, ~, = ~'. Половина ширины поперечной пластины Ь = (К) — а ( — К) = а (1+ з|п 7) + 2К ' + + 2 сов 7Я (и, — /К'), и где л. (и) = ~ бп'и е/и — (Е/К) и — дзета-функция Якоби [87].
о Длина козырька равна а= га(К+/К') — а(К)! = =з!п7~!п~ + ' — + ) — !п( + ' + + )~+ + ~а(К+ и, — ГК') +К,~( /К,)1 1 к+ К'(1)-зепи,) 2К неп и1 Вертикальная сила, действующая на препятствие, согласно теореме 7 гл. 1Ч, равна Р = 2е(р(! + а!п а). Из написанных формул сразу вычисляются отношение а/Ь длины козырька к ширине пластины и коэффициент сопротивления Со = 2Р/рЬ. Если и,— — К+ !К', то получается предельный случай пластины с козырьком в неограниченном потоке (рис. 58, а).
Соответствующие предельные значения отношения а/Ь и коэффициента Св определяются формулами а 2 (к' — е') — 1П а ' — а' к' —— 2 Ь и+ 4Š— 2к" К С,= (5.295) и -)- 4Š— 2а" К которые показывают, что коэффициент Со возрастает от 2я/(к+ 4) до 1 с ростом отношения а/Ь, причем изменение Св особенно резко происходит вначале (с(Со/е((а/Ь) = оо), как видно из рис.
58, в. Аналогичные формулы получаются для модели, представленной на рис. 57, в, которую можно рассматривать либо как половину течения через короткий насадое Борда в конечном резервуаре, либо как половину течения около пластины с козырьком в канале "), В этом случае и, = — К+ 1'(К' — и), ит = — К+ !К', С, = и ~е = 1.
I I Ю 1 > а Ъ 1 Кооирел ! Корап лий носадол Бордо р — =просо аю йд "Ео -78 -ьр -щ Еуь о Ппасспина с лазар»лом ОКВ 10» П а~ аг РЮ ОК аК аУЬ 6 Рис, 58. Гл. У. Обтекание нескольких пластин Переход от аналитических параметров й и и, к геометрическим параметрам а и Ь (ширина канала взята за единицу) дан на графике рис. 58, б. Половина течения, изображенного на рис. 58, а, является частным случаем течения, когда источник и сток сливаются, образуя полубезграничный поток (гл. ПЕ п. 3), для которого при подходяшей нормировке с(ТУ~с(Т = )((Т вЂ” Т,)'. Получаемые таким путем предельные случаи показаны на рис. 59, а — в ").
н ! Рис. 59. 9. Течения Рябушинского. На рис. 60. а чзображен случай течения, получаюшегося при симметричном расположении источника и стока на нижней стороне бь51 прямоугольника )с (см. рис. 56,в). Если это течение отразить относительно нижней стенки, то получается поток в двумерной трубке Вентури, впервые рассмотренный Колонетти "). Если то же течение отразить — ~ Грусна †) каеерна ) — †) наеерна ~ Ленппури ~ Рис. 60. относительно верхней стенки, как показано на рис. 60, б, то получается одна модель обтекания пластины в канале с положительным коэффициентом разрежения в следе (каверне): Я вЂ” >О 2 2 ~ более соответствуюшая действительности, чем модель, показанная на рис.
55, б с Я = О. Эта модель была исследована Рябушинским ") в предельном случае рис, 60, в, когда стенки канала удаляются в бесконечность. Ввиду большого значения этого исследования название течения Рябушинского дается теперь всем течениям рассматриваемого вида. 149 У. Течения Рябушинского Количественные результаты можно получить как частные случаи формул п.
8. Из (5.27) и (5.28), полагая из = — иь ~з = ью, имеем гЛГ 2Т, 1 1 ат т' — т', т — т, т+т, ' — вси — вс и, 2и !п 2 вся+пои, + яппи, + Сю юлю + [П(и, ию — юК, А) — П(и, — ию — юКь /ю)1 (5,32) Кроме того, скорость на бесконечности равна испи, (я'+<$п и,) ' (5.33а) а число кавитации (Ю выражается (поскольку о = 1) формулой дп — л' ' (5.336) Ширина пластины при расходе ю( = к равна 2а = — ю' [а(К+ юК') — в(К вЂ” юК')[ = А' =4 ~ — егерей — '+К'Авпи + й спи, (5.34) а длина каверны равна / а( К+юКг) а(К+ юК ) 4К [ йзвп и + +- ' Е (ию)~ .
(5.35) Исходя из этих формул, можно легко вычислить коэффициент сопротивления Со как функцию безразмерного числа кавитации Ю;Ю и отношения а/Ь ширины пластины 2а к ширине канала 2Ь 2к/о . Сила, действующая на пластину, определяется на основании теории гл. ЪХ/ п. 4: ют= — рю' [в (К) — а (К+ 2ю'К')[ = =2Р[АК'зп ию — л„,„' К'Е(ию)+ 2К ию~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
