Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Устремляя а к единице, получаем для и = га, в области Р соотношение та(х, у) = (е — ~l) 0 в Р. (4.50) Поскольку ш также подчиняется принципу строгого максимума, то равенства быть не может; это означает, что ж > О в области Р. Выберем точки А и В на линии тока 5 так, чтобы точка Р лежала между ними, и чтобы ни га(А), ни ш(В) не были равны нулю; это не удается только тогда, когда 5 = Я с одной стороны от точки Р.
Соединим теперь точки А и В линией С, лежащей внутри области Р, Очевидно, что ш > О на линии С; для Ь > 1 на линии С имеем тав = 1' — Ыl = тн — (Ь вЂ” 1) к > О. Поскольку на линии АРВ шь > О, то из этого следует, что шв > 0 в (открытой) области, ограниченной дугами АРВ и С. Таким образом, производная по внутренней нормали от величины шв удовлетворяет в точке Р неравенству'4) дтшв|дп(Р) > О. Отсюда получим да( )>~ Р д 1 дев д — 1 де' Из этого следует Ч(Р) > 4(Р) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда д(Р) =О. Если 5 = 5 с одной стороны от точки Р, то выбираем регулярную точку В на этой стороне и по принципу строгого максимума получаем дш/дп(В) > 0").
Определяя С и иы как и раньше, имеем шв(В) = 0 и, кроме того, '"'в (В) > О при условии, что Ь вЂ” 1 = е — достаточно малая величина. Таким образом, юь > 0 на некоторой дуге ВВ, линии С. Поскольку ш > О на дуге В1А линии С, то для достаточно малого в > О имеем шь)~ 0 на линии С и затем, как и выше, приходим к искомому заключению, 118 Гя. Ю.
Общая теория Рис. 46. дуги ТМ и )ч7 и соответственно линии тока 5 и Ю вместе с дугой МХ ограничивают односвязную область МНТ = — 0', внутреннюю по отношению к областям 0 и 0. Возможность того, что точка Т является бесконечно удаленной точкой, не исключается. Тогда Е(М) а(М) е Ф) е ()ч) (4.52) при условии, что эти отношения определены. Равенство выполняется только тогда, когда течения геометрически подобны или у(М) =О.
Доказательство. Поскольку для геометрически подобных течений теорема очевидна, то в дальнейшем нет необходимости рассматривать этот случай. Кроме того, чтобы избежать повторных обсуждений частных случаев, мы дадим доказательство тольно в случае, ко~да обе скорости потока на бесконечности направлены по оси х, а У является бесконечно удаленной точкой (рис. 46). Предположим временно, что существует точка Р на дуге Мй1, в которой у (Р) = с) (Р) + О, (4.53) и что скорости на бесконечности о и у.
различны. Пусть У и Р— функции тока, определенные таким образом, чтобы соот- 13. Вторая теорема сравнения. Более тонкой теоремой срав'нения является следующая теорема. Т е о р е м а 17. Пусть два течения идеальной жидкости, имеющие известные скорости на бесконечности (не обязательно в одном и том же направлении), определены в областях 0 и 0, ограниченных соответственно линиями тока 5 и Ь', проходящими через бесконечно удаленную точку.
Предположим, что 5 и 5 имеют общую дугу М7т' и общую точку У вне дуги М)т' так, что 119 !3. Вторая теореяа сравнения ношения (4.47) выполнялись. Полагая ю = à — 'е', имеем то > О на дуге еМ линии тока 5 то=О на дуге МДГ, то < О на дуге Жl линии тока 5 (4.54) Согласно принципу строгого максимума, поскольку дш)дп(Р) = О, точка Р не может быть ни точкой локального максимума, ни точкой локального минимума, а линия уровня С (ш = О) проходит внутри области 0' в окрестности точки Р. Оба конца этой линии С находятся на границе области 0', и поскольку очевидно, что оба конца С не расположены на дуге Мй1, то по крайней мере один из них находится в бесконечности (согласно соотношениям (4,54), ш не обращается в нуль на дугах ХМ и еЛ).
Теперь мы установим, чго только один конец линии С находится в бесконечности. Рассмотрим дугу (. круга большого радиуса, соединяющую точку на дуге 7М линии 5 с точкой на дуге МУ линии Я и полностью лежащую в области 0'. Из условия 1 дев 1нп — „— эь О у" ду Для того чтобы отношения (4.52) были определены, необходимо, чтобы было д(7я') > О. Следовательно, ~7 (Дг) >,7 (Дг) > О. (4.55) Если д(М) = О, то приходим к выводу, что д(М) = О и соотношение (4.52) выполняется тривиально.
В других случаях получим (4.56) «7(М) < (7(М), а из неравенств (4.55) и (4.56) следует, что Ч (оа) 4 (Ф) — < 1<=- —. 4 (М) Д (М) и неравенств (4.54) следует, что существует только одна точка )7 на дуге (., в которой га = О. Таким образом, можно определять две (открытые) подобласти 0', например 01 и 0е (см. рис. 46). Из принципа строгого максимума следует, что ш > О в 0, и гр < О в 0ь и, следовательно, как и в теореме 16, «7(М) — д(М) > а~у(М), ~7 (Ж) — е) (дг) > й (Ж). 12О Гя, !'1т. Общая теория Поэтому д(м) о(м) 4(лт) 4(Ж) что доказывает теорему в частном случае, когда выполнены условия (4.53).
Если же не имеется никакой точки на Мтт', в которой д = ~у, то мы выберем точку Р* па дуге М)У таким образом, чтобы было д(Р') Ф О и д(Р*)(т((Р*) Ф й(и. Это возможно, поскольку течения не являются подобными. Определим новое течение функцией тока (т* й( ) 1т 4 (Р') Тогда ~у'(Р") =г((Р*) и ~у' чье) .
Согласно частному случаю тео- ремы, доказанному выше, получаем д(м) д (м) д(м) 4 (хг) 4* (лг) ч (лг) Равенство имеет место тогда и только тогда, когда д(М) = О, что и требовалось доказать. 14. Теорема единственности. Две теоремы предыдущего пункта имеют важное применение к задачам струйных течений, Они помогают свести вначале сложную проблему (см. гл. Л1, и. 1) единственности решения к сравнительно простым геометрическим исследованиям и дают мощное средство изучения геометрических свойств свободных линий тока. В предлагаемом доказательстве единственности бесконечной каверны, создаваемой неподвижным препятствием в безграничном потоке (с данными точками отрыва), мы предполагаем, что течение является плоским симметричным или осесимметричным и имеет равномерную скорость набегающего потока и в положительном направлении оси к. Можно ограничиться исследованием верхней половины течения, которая будет представлять основную область течения Р.
Буквой Т обозначим ту линию тока, которая состоит из отрицательной части оси к и верхней половины обтекаемой стенки; свободную линию тока, отделяющуюся от Т, обозначим через к и положим, что 5=Т+ Х. Локазательство теоремы 18 для простоты будет ограничено плоским случаем: несколько усовершенствованный ход рассуждений будет справедлив и в осесимметричном случае 1291.
Сделаем, наконец, предположение о том, что течение однолистно, избегая тем самым некоторых трудностей, затеняющих основные идеи, 121 И. Теорема единственности Т ео р е м а 18. Никакая бесконечная прямая линия, не пересекаюи(ая Т, не может пересекать свободную линию тока Е более, чем в одной точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что линия 1 пересекает свободную линию тока Х больше, чем в одной точке.
Можно считать, что линия 1 не горизонтальна, ибо линия, образующая малый угол с линией 1, также могла бы пересекать линию тока Х больше, чем в одной точке. Поскольку Х горизонтальна в бесконечности, то можно найти такую линию пт в области Р, Рис. 47, параллельную 1 и касающуюся линии тока Х, что все другие линии, параллельные пл и лежащие справа от пл, пересекают Е только в одной точке. Пусть М обозначает точку касания; рассмотрим два луча линии пт, определяемые точкой М.
Возможны два случая в зависимости от того, находится ли один из лучей внутри области Р или вне ее. В первом случае (рис. 47, а) рассмотрим точки дуги (М, оо) линии тока Х, которые находятся слева от т, и допустим, что Н вЂ” точка, находящаяся на максимальном расстоянии от М. Наконец, пусть Р будет область, ограниченная линией М7ч' и прямыми, параллельными 1, которые показаны на рис, 47 жирными линиями. Образование этой области очевидно. Несомненно, что в области Р существует течение с равномерной скоростью на бесконечностй. Сдвигая изображение области Р вдоль вектора Мл(, получаем конфигурацию, которая рассматривалась в теореме 16, и следовательно, д (М) ( е) ()'лг); но по теореме 17 д(М) о(44) Ч(™) ч" (1Ч) Гл. 1'т'. Общая теория Из этих неравенств следует о(М) ( д(й/), что, однако, противоречит предположению о постоянстве скорости на свободной линии тока с.. В оставшемся случае (рис.
47,6) получается аналогичное противоречие, чем и завершается доказательство. Кривая называется звездообразной, если существует точка О, обладающая тем свойством, что каждая прямая линия, проходящая через точку О, пересекает кривую самое большее в одной точке или вдоль отрезка. Назовем препятствие звездообразным, если соответствующая кривая Т звездообразна. Пусть в осесимметричном случае точка О лежит на оси симметрии. В таком случае из теоремы 18 получаем простое следствие: если препятствие звездообразно по отношению к точке О, то и вся линия тока 5 звездообразна по отношению к точке О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
