Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В доказательстве следующей теоремы единственности снова ограничимся рассмотрением плоского случая, хотя в дальнейшем будет видно, что доказательство нужно изменить только в одном месте, чтобы применить его к осесимметричному случаю. Т е о р е м а 19, Для заданного звездообразного препятствия может существовать самое большее одно симметричное кавита- ционное течение с даннымн д' точками отрыва. Доказательство, Рас° й смотрим два течения тре- буемого вида с соответствуРнс. 48. ющими свободными линия- ми тока Х и У:* (рис. 48).
Если начало координат выбрано в точке О, то эти кривые могут быть представлены в полярных координатах уравнениями г = г (0), г = г'(0). Согласно теореме 18, г(0) и г*(0) — однозначные функции, Из асимптотического выражения (4.11г) свободной линии тока у =ох'й найдем м) (4.57) Принимая во внимание (4.57), видим, что отношение г"/г ограничено сверху; кроме того, г*/г = 1 в точке отрыва.
Поэтому г*/г принимает максимальное значение р) 1 при некотором значении 0, скажем 0„, соответствующем конечной точке Р на линии тока Х. Пусть область лэ получена путем преобразования подобия (расширения вокруг Я) из О* в отношении р-', в области О возьмем течение, подобное первоначальному течению в 123 тд Минимум ковотоннонноео сопротивления 0в и с теми же скоростями в соответствующих точках, определяемое функцией тока 7(Р) = р»У(рР). Очевидно, что 0 <0 н линии 5 н о имеют общую точку Р, так что применима теорема 16. Однако, поскольку у(Р) = у(Р) = о, в соотношении (4.46) должно быть равенство, т.
е. оба течения тождественно совпадают. Итак, 0 = 0 = 0*, что и требовалось доказать. Гилбарг") показал, что некоторые из этих результатов переносятся н на случай сжимаемой жидкости, 15. Минимум кавитационного сопротивления. Используя методы сравнения, можно определить симметричные препятствия данной длины а и ширины 2/», имеющие наименьшее кавитационное сопротивление»'). Однако корректная формулировка этой задачи довольно трудна. Если не накладывается ограничений на отрыа а потока, то минимум, равный нулю, достигается в случае каверны нулевого сопротивления за любым таким препятствием, Теперь примем, однако, условие отрь»ва Бриллюэна (гл. 1, п.
14): скорость мак- Р"' 4ц симальна на свободной линии тока. Далее, определим профиль Кирхгофа К, состоящий из плоской пластины илн диска Е, за которым образуется симметричная каверна, имеющая на некотором расстоянии а за препятствием ширину 2/» (рис. 49), как в гл. П, п. 2. Те о р е м а 20. Любой профиль Кирхгофа К обеспечивает минимальное кавитационное сопротивление по сравнению с любой другой симметричной стенкой той же самой длины и ширины, которая удовлетворяет условию отрыва Бриллюэна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку течение предполагается симметричным, необходимо рассмотреть течение только в полу- плоскости, ограниченной осью симметрии. Рассмотрим соответствующее течение, удовлетворяющее условию Бриллюэна, для какого-нибудь другого препятствия С, имеющего длину а и ширину 2с. Существует' плоская пластина илн диск Бв, свободная линия тока которого Х* касается С, например в точке 0 и которая расположена полностью выше С"), Ясно, что пластина Бв имеет по крайней мере такую же ширину, как и Е,. Мы утверждаел», что свободная линия тока Х, связанная с препятствием С, на бесконечности расположена выше линии тока л*.
Если бы этого не было, то мы имели бы 1пп — „(' 1. т (В) 8-+О т (В) Из этого неравенства и из того факта, что отношение т/тн> 1 в точке»,), следует, что т/г* достигает максимальной величины 124 Гя, (У. Общая теория р)~1 при некотором значении 6, например 6ьч которое соответ. ствует конечной точке Р. Используя теорему Лаврентьева, как и в доказательстве теоремы 19, приходим к противоречию с вы. шеприведеииым условием Бриллюэиа. То из двух препятствий, которое создает большее сопротивление, имеет свободную линию тока, наиболее отдаленную от оси х иа бесконечности !см, (4.17а), (4.17б)]. Следовательно, Сопротивление С ) Сопротивление 7 * ) Сопротивление К Равенства справедливы в том и только в том случае, когда С+ Е = х".*+ Е* = К, т. е.
тогда и только тогда, когда профиль течения, создаваемый препятствием С, является таким же, как и профиль Кирхгофа К. ПРИМЕЧАНИЯ ') Ро!уа О., уааг, Леигзсйе та(Л. Уег., 40 (!931), 81; 51опе М. Н., Л (пд. Збай. Бос., 12 (1948), ! — 7. ') 7 а г а и ! о п е 11 о Е. Н., Е с(е та(Л., ЗЗ (1954), 29 — 80. ') Гарабедян, Леви и Шиффер [24] доказали, что этот результат верен и для осесимметричных течений. Неизвестно, справедлив ли он для любых про.
странственных течений. ') Отражение струи, истекающей из воронки, дает струю, истекающую из клина, с источником в его вершине, как было замечено в работе тЛГ е(п(8 Р., (пй. Ассам., 11 (1940), 264 — 268. См. также гл. т7, п. !5. а) Этот результат, а также формула (4.17) для сопротивления были получены Леви-Чивита.
«) Исподьзуя понятие «мертвой воды> за обтекаемым телом (гл. 1, п. 7), Мизес рассмотрел этот случай как возможную модель течения при сверхкритическом числе Рейнольдса, см. М и вес, Теория полета, ИЛ„М., !949. ') Внутренняя сторона течения находится слева от границы, что соответствует ориентировке обхода границы против часовой стрелки. з) Здесь и в дзльн йшем рс означает полное давление, рг — давление окружающей среды (на свободной линии тока), а звездочкой обозначается комплексно-сопряженная величина, ') В 1 г 1« Ь о 11 О,, Яео. Ссепыаз Е(та, 50 (1948), 105 — 116. ") См. [13, стр.
197] и В г о б е 1з )с у 5., Ргос. Яоу. Еос., 102 (!922), 36!в 372. и) См. [2!], [14], а также А г ш з1 гоп и А. Н., Агт. лез. Езс. Мета, 22/53 (Огеа! Вгиа(и), 1953. 'з) См, [54], [2!], [48]. Примечания 125 м) 1. ! п б е 1 о 1 Е., С. К. 41Ь Зсапб. Ма(Ь. Сопйг., 19!6; кроме того, см. Ъ ага сЬ а те з 1г ! 5., МаПь У., 35 (1932), 406; [23', 27*].
") См. Л а в реп тьев М. А., Математические записки, М., 36 (1929), 112 — 115; а также Са!!ейпо С., Оз1гочязй! А., Мет. Зсй Май., 1!О (1949), 35; [23', 33"]. ") См., например, 3 и г и у яд А., Тригонометрические ряды, Ы.-Л., !939. (Готовится к печати второе издание.— Прим, ред.) Г(риведенггое там доказа тельство может быть проведено локально [7', стр. 456]. ") То есть в той части окрестности, которая содержится внутри круга ]1!<1. 'г) Строго говоря, тот факт, что производные нечетного порядка вообще не обращаются в нуль при а = О, препятствует применению этого довода без необходимых изменений к производным более высокого порядка. 'ч) Можно легко проверить, что в этом случае контур годографа имеет непрерывную касательную.
") Как и в течении, описанном в гл. 11, п. 2 — 4, со стенкой общего вида вместо пластины. См. также гл. Ч1, п. 5. Локазательство можно распространить и на стенки в виде неаналитических кривых с угловыми точками. ") Мы считаем, что стенка имеет перегиб на конце, если неподвижная и свободная границы имеют там кривизны противоположного знака. и) Из асимптотических построений и. 3 следует, что эти доводы применимы также и к линиям перегиба, начинающимся на свободной границе и зя. канчивающнмся на бесконечности. 'з) В таких точках функция и?а может иметь особенность; в этом случае из формулы (4.35) следует, что не имеется более одной линии перегиба, идуцей в эту точку.
") Сьь гл. Н, п, 14 и гл, Ч!, п, 10; кроме того, см. С]з о 11 ! ()., Апп. зс. погт. зир. Рьта, 1 (!932), !01 — 112. г) Тг о11е г г а Н., А Ие та(5„11 (!932), 1 — 35. На плоскости любая свободная линия тока является аналитической кривой (см, выше теорему 2, следствие 1). з') Н а б а щ а г б 3,, 1ес1цгез оп Свпсйу'з ргоЫещ, Нети Начеп, 1923, СЬ. 1, з') В! аз сЬ Ье Ъ'., Чог!езцпйеп ОЬег Р1ИегепВа!Оеоще1Не, Вегйп, Зрг(п. Оег, 3 Ап!1,, 1930, Вб, 1, 5.
150. г') Н а те! Р., Ргеизз. Айад. ]Р(зз. БЫхипйзбег. (1937], 5 — 20; см. также Са з1о! 41 ].„)!епг(. Ассад. ?лпсей 3 (1947), ЗЗЗ вЂ” 337; Н е иге ну( р., Р г г гп К., А МаРЬ Риуз., 27 (1948), 130 — 135; ЪГ е ! п О а г1е и 3., Ром. АГасйг. (1890), 313 — 335; С г а и з1е(п Ъ'. С,, Тгапз.
Ат МаПь Бос., 47 (1940), 1?3— 206. 126 Гя. ЕК Оби(ая теория м) Точную формулировку и доказательство этого приниипа см. в работе Н ар[ В., Ргос. Агп. МаЕЬ. 5ос., 3 (!952), 79! — 793; см. также 1.!сЬ1е и. з1е1п 1, Елауйй Ма)М ЮЧзз., 2 (!!С 12), 5.1290, !3!0) [27*, гл. т'1, 5 3]. "] Точка на границе называется регулярной, если существует малый полу. круг с центром в этой точке, целиком содержащийся в открытой области.
м) Лля плоскич струй этот результат впервые получен в работе В о 6- 6 е о Т., АЕЕг Ассад. Бей Тоггло, 46 (19!!), 1043. и) Этот принцип впервые получен в работе М о 1е п Ь г о с й Р., )гегй. Коп Айна. )РеЕ. (АтзЕегаат) (1893), 31; Апп. д. Рлуа. и. Слет., 52 (1894), Ю7— 208; Ъ'егя. Вез. аеиЕЕЕ)ь Ера). и. Атже, 65 (1894), 9 — 12. ") Этот результат получен Рябушинским [76]. Волее полный обзор лите. ратуры дан в гл. !Е11, п. 1, !0 — 12. ") Этот метод был предложен М, А. Лаврентьевым [50, 23*); его идеи были развиты и упрощены в ряде работ Гилбарга [29] и Серрина [80, 8!], Л ЕЕеа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
