Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(4.15) «=! с «=1 Теперь необходимо вычислить интегралы б». Так как интеграл (б(М вЂ” ЫР) по контуру, состоящему из участков двух свободных линий тока и соединяющих их сечений, равен нулю, и так как е(М вЂ” НР=О вдоль свободных линий тока, то интегралы б» равны для всех сечений, соединяющих две данные свободные 5.
Лобовое еопротиелепие и подъемная сила линии тока. Таким образом, мы переходим к вычислению асимптозических значений интегралов бм 5. Лобовое сопротивление и подъемная сила. Вычисление интегралов бд поперек любой струи тривиально. Вследствие конечного поперечного сечения струи и стремления ее по экспоненциальному закону (4.11а) к равномерному течению со скоростью пг на свободной линии тока и давлением внешней среды рг значение любого интеграла би равно рГпоте(, т. е.
вектору с модулем реУот, действующему вдоль средней линии струи. Следовательно, если струя раздваивается какой-нибудь стенкой В, причем Г означает силу, действующую со стороны струи на стенку, то (4.15а) е' = В1+ Вг+ Ва где би — вектор потока количества движения струи и ее двух уходящих в бесконечность ветвей. Выражение интегралов би для полубезграничного потока или каверны получается из формул (4.14'), поскольку р~ — ро=р/2, если ог = 1, а именно, (4. 16) Вычислим теперь асимптотическое значение этого интеграла по контуру полукруга Си достаточно большого радиуса )с с центром в начале координат в нижней полуплоскости й При этом полезно заметить, что где )*(г) — степенной ряд, полученный из ряда функции )(Г) путем замены каждого его коэффициента сопряженной величиной, а Си — полуокружность, сопряженная с См на которой значение 1п 1 уменьшается на величину 1я. В полубезграничном потоке, согласно (4.8б) и (4.9), ~'»* у)у*= ~(! — — ',"+...)~!+ — „",)ю= с„ с„ = ~ г + ( — 1а+ - -) 1п 1+ сопз!+ о (1)~ ~ =2Я вЂ” па — И+о(1).
Гл. /'т'. Общая теория Аналогично по контуру Ся [ //г = [ ч ' // К = 2Д+ аа +- /е/+ о (1), Подставляя полученный результат в (4.16), находим Оя = 2 р/( — 2ка — 2///) = р(// — / а). (4.15б) 1 Следовательно, для любой жесткой дуги В, глиссируюшей по поверхности бесконечного океана, скорость, с которой океан передает количество движения струе и дуге вместе взятым, имеет горизонтальную компоненту, равную массе струи, отходящей за единицу времени, и вертикальную компоненту, пропорциональную логарифмическому понижению уровня на бесконечности. Поскольку в формуле (4.16) имеется два слагаемых, можно сказать, что лобовое сопротивление Р=ра определяется слагае/а мым ~ — )1п/ в формуле (4.8в), соответствующим струе, в то время как подъемная сила /.=тра определяется слагаемым (Р'=/, относящимся к полубезграничному потоку. Теперь мы можем вычислить силу, связанную с чисто кавитационным членом (Р'=/2 в формуле (4,8в), который в большинстве приложений является единственным.
В безграничном потоке вычисление дает ['Г//Ю*= ['(1+ — '," — " „,'Р + .. )" 2/*///Я= ся ся = [/" — 2/а/' — (аз + 2/р) 1п /+ о (1) [ [ 4/а/с + /агя 2рт + о (1); [ //г= [ Г //(Р'= [ [1 — — ' —, +...)2//// = с с с = [/з — 2(а/ — (аз + 2/р) 1п / + о (1)] [+н = = — 4/аЯ вЂ” /аз я + 2рк + о (1). Подставляя этот результат в формулу (4.!6), получаем Г= — 0 = — р/ [ — 2)азт+ 4ра[ = ря(аз+ 2/р).
(4.15в) 1 Если, как обычно, Р обозначает (кавитационное) лобовое сопротивление и Т. (кавитационную) подъемную силу, то приходим к следующей теореме. б. Момент Теорема 4. В безграничном потоке константы а и и из формул (4.11б) и (4.1!в) определяют величины Р, „г 7 2ярУ (4.17) если модуль скорости на свободной линии тока равен единице. Возвращаясь к формулам (4.1!в), (4.1!г), получаем з = зе -~ 17т — 2г ~/ — )' (фт — 2+ ' !п 14т+О(=), (4.17а) у — уе= ь2$~ — )тх+ ~ !их+О~ ). (4.17б) Итак, ширина каверны определяется лобовым сопротивлением, а ее асимметрия — подъемной силой.
В рассмотренном случае симметричной каверны с нулевым лобовым сопротивлением Р=0 (рис. 40, б) имеем, таким образом, типичное соотношение у — уо= О(1~)Гх). Другая интересная асимптотическая формула относится к возвратному струйному течению, как в плоском, так и осесимметричном случае. Она имеет вид') Са — — 211+'ч+~ 1+Я! 4 (4.18) с(АГ = р 1щ (Г.'а*) сЛт'. (4.19) Аналогично для элементарного момента йО силы избыточного давления имеем с(О =!щ 1(р, — р~) я*да — — рг~*з" сУ(р'*), откуда следует ДА7 — с(О =;Рт — Ро) Рсе (а" с(з) + —. Р йе (зГ й 17т)* (4 20) 7 Г. аиркеоф где А* — поперечное сечение струи и А — поперечное сечение препятствия. 6.
Момент. Коэффициент момента См также может быть вычислен путем соответствующего преобразования предыдущего асимптотического случая, причем, это, по-видимому, наиболее подходящий способ вычисления коэффициента См в конкретных задачах. Приведем теперь подробные формулы. Момент относительно начала координат комплексного вектора )=у+)й, приложенного в точке г, равен хй — уй=!гп()г*). Следовательно, с учетом соотношения (4.12) поток момента количества движения через элемент йг границы записывается в виде Гл. l'й.
Общая теория Интегрируя вдоль границы любой конечной области (не содержащей внутри себя источников, стоков или других особенностей) и учитывая соотношение ~ Ке(г' г(г', = ~ (х ггх+у с(у) = ~ г",д((т=О, получаем обычную теорему о моменте количества движения %=Я. Теперь мы найдем асимптотический аналог этого уравнения, выражающий момент, который нужно приложить, чтобы получить заданное асимптотическое течение на бесконечности. Поступая точно так же, как и в п. 5, получаем окончателы<о à — М(г) = )' ~ (с(М вЂ” с(О) = ~~ Ю(0я). (4.2!) я=1 с я=1 Иначе говоря [см. (4.!5)], момент гидродинамических сил, действующих со стороны движущейся жидкости на жесткую неподвижную дугу, помешенную в потоке, равен сумме некоторых интегралов, асимптотическое значение которых мы попы.
таемся теперь вычислить. Случай струи очевиден; как уже отмечалось в п. 5, величина М(0я) равна моменту вектора с модулем ро)а', действующего вдоль средней линии струи. Для препятствий многоугольной формы при кавитационном движении или при глиссировании по поверхности океана часто можно вычислить й!(0я) как предельный случай раздвоенных струй, Однако обычно более удобно использовать непосредственно соответствующую предельную формулу.
Поэтому вычислим й((0д) для случая полубезграничного потока и для случая каверны в безграничном потоке. Те оре ма 5, Момент сил давления относительно точки г=О для полубезграничного потока выражается формулой Ю(0и) =ря ~Р+ — — 2 ( —, + а'1~+ (ш(0яго), '4.22) а для безграничного потока (см. (4.9)1'о) — д5ормулой Ж(0я) = ря (2Г + Заар — — (а1 + 4рэ) я~ + !ш (0яг ).
(4.23) 99 т, Кривизна в точке отри~во потока До к аз а тел ьст в о. Согласно соотношению (4.20), при от=1, в обоих случаях имеем а~во= — ',~ъ(( сев — (ее*) —-- т,с» с = — ',1» ( ((а — к'-Зев~. ~с„ Теперь вычислим асимптотическое значение этого интеграла в плоскости т' подобно тому, как это делалось в п. 5. При этом для упрогцения вычисления мы воспользуемся следствием из соотношения (4.21), согласно которому интеграл М(Ст») (4.24) не зависит от пути интегрирования.
Полагая т = йе'о и обозначая через С» контур интегрирования ~Г~=Р, видим. что интеграл (4.24) не должен зависеть от тс. Однако этот интеграл можно представить в виде ряда по )с, состоящего из членов тга, тс, 1, 1п Р, Й ' ..., умноженных на определенные интегралы от ~, которые не зависят от )г, так как тр изменяется от — я до О. Следовательно, поскольку сумма не должна зависеть от А', все интегралы, за исключением интеграла от постоянной величины, обрашаются в нуль. Используя (4.8б) и (4.9) и учитывая, что комплексная координата равна а = ) Г. в()й', для полубезграйичного потока по- лучаем ( — + Р) Ж+ 5+ -с) гт гт (к +2+ ~ — ( — + гз) '-1 + р-(-тт~ Подставляя полученные результаты в (4.24) и сохраняя только интегралы, не содержагцие множителей тт или 1птт, получаем соотношенив (4.22).
Аналогичным путем доказывается и равенство (4.23). 7. Кривизна в точке отрыва потока. Легко проверить в частных случаях, что кривизна свободной линии тока в точке отрыва потока обычно обращается в бесконечность. Дадим теперь изложение этого вопроса в более общей форме. Без потери общности можно считать, как и выше, что модуль скорости на свободной линии тока равен единице. Гя. »»'. Общая теория Рис. 42. (1т, согласно теореме 1 гл. 1Н, является регулярной функцией 1 переменной Т = — ~(1+~ ) в точке отрыва Т= — 1 и, следо. вательно, разлагается в ряд Ю'= Ю'+ «, а„(Т+ 1)~, 1 где коэффициенты ая действительны. Отсюда ясно, что если точка А не является критической точкой, как и показано на рис.
42,а, то а» Ф О. Рассмотрим теперь функцию»ь(1), определяемую формулой и = » 1п Г = Е + Ри (4.25') На отрезке АА' имеем т = 1п Д = 0; следовательно, можно применить принцип отражения (гл. Ш, п. 2) и представить ь»(1) степенным рядом, сходящимся при 1»1<1, ь»2 (все коэффициенты Ь» действительны). Ле м м а 1. Если д=)ь» — модуль скорости, а= д — — кале ея сательное ускорение жидкости, х = — — кривизна свободной ит в'я линии тока (»(в измеряется вдоль линии тока), то »»в .»»С» я .а »»В' »»я е ' е» (4.27) Рассмотрим какое-нибудь течение, удовлетворяющее условиям 1) — 3) п. 1 и отрываю»цееся от неподвижной стенки 5 в точке А, как показано на рис.
42, а"). Возьмем вокруг точки А подобласть Р и отобразим ее конформно на единичный полукруг Г в плоскости 1, 1»»<1, 1»п»>0, так, чтобы точка отрыва потока А перешла в точку 1=1, свободная граница течения АА' — в действительную ось, а стенка 5 — в часть окружности (рис. 42,б). Комплексный потенциал рассматриваемого течения 7. Кривизна и точка отрыва потоке Доказательство. Вдоль линии тока Г =г7 егт и аг~ г=егоггд-г+гг7-'егоаггр; разделив обе части написанного равенства на гга=е"Чв, находим — = — + г'гу иС-г иу-г аз аз Как следствие находим, что точки с нулевой кривизной на свободной линии тока должны быть изолированными точками. С помощью этой леммы мы можем доказать следующую теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
