Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Поля скоростей двух течений, имеющих оби(ую дугу свободной линии тока, совпадают с точностью до постоянного действительного множителя. Действительно, в предположениях этого следствия, отношение Дг)/й(г) комплексных скоростей должно быть постоянной действительной величиной на непрерывной дуге; следовательно, оно должно равняться постоянной тождественно [6, т. 1,стр, 140].

Теорем а 3. Рассматриваемое аналитическое продолжение переводит линии тока в линии тока, изобары и изоклины в изобары и изоклины, свободнеяе линии тока в свободные линии тока, многоугольные стенки в параллельные многоугольные стенки, источники и вихри в бесконечно удаленные источники и вихри. Если модуль скорости на свободной линии тока равен о, то вектор силы г, действующей на обтекаемое препятствие, равен величине 1рпе)2, умноженной на вектор, соединяющий один конец препятствия г1 с его отраженным образол~ хи 99 8. Асимятотииеская форма свободин» ливия тока представляет собой вихрь со свободной линией тока внутри квадрата (рис. 36, б); используя метод отражения, получаем течение между двумя концентрическими квадратами 4).

Интересное приложение следствия 2 состоит в нахождении течения с заданной свободной линией тока С. Задача решается конформным отображением. Чтобы построить такое течение, определим конформное отображение а=1(Т) области течения, расположенной с одной стороны линии тока С, на полуплоскость и положим (4.6) Тогда, если, например, свободная линия тока С имеет форму эллипса, то получаем циркуляционное течение, которое можно представить себе как полый вихрь, образуемый двумя противоположными параллельными потоками, текущими с двух сторон разделяющей их стенки (рис.

36, в). 3. Асимптотическая форма свободных линий тока. Рассмотрим часть течения, ограниченную двумя свободными линиями тока, простирающимися до бесконечности, и дугой окружности, соединяющей их между собой. Изучим асимптотическое или, иначе говоря, локальное поведение течения на бесконечности. В п. 3 — 8 положим о=1, т. е. модуль скорости на свободной линии тока равен единице. Очевидно, что рассматриваемая область односвязна и может быть конформно отображена на нижнюю полуплоскость Т так, чтобы бесконечно удаленная точка перешла в точку Т=О. Согласно теореме 1, после интегрирования ЛГ/с(Т выражение для комплексного потенциала (й' в окрестности Т=О можно записать в виде Ю=й ~Т +А,Т +й 1п 7+до+ Ь,Т+ ..., (4.7) где коэффициенты й, й ь й т действительны и не все равны нулю. Как и ранее в гл.

П1, п. 3 течение будем называть струей, полубезграничным потоком («океаном») или безграничным потоком, если первый отличный от нуля коэффициент разложения в соотношении (4.7) соответственно й, а 1 или й в Соотношение (4.7) может быть упрощено при соответствующем выборе параметрической переменной. Поскольку течение на бесконечности ограничено свободными линиями тока, и там Г(0) ФО, то все линии тока асимптотически параллельны на бесконечности, а область определения В' содержит вне достаточно большого круга все точки между двумя полупрямыми, параллельными действительной оси (рис.

37,а — в). Одна из следующих функций соответственно будет отображать всю окрест- рл. т'К Общая теория ность бесконечно удаленной точки на внешнюю часть некоторого круга в нижней полуплоскости 1 (рис, 37,г). В случае струи (йт = — 1п 1, (4,8а) в случае полубезграничного потока Ж'=1+ — !п Г, я (4.8б) в случае безграничного потока )те= ге+ — 1п ~. (4,8в) В формулах (4.8) величина с( равна разности значений функции тока (т на двух свободных линиях тока; следовательно, и" ачичяый тоя ииый яееяои Рис. 37.

где все ат действительны. По принципу отражения (гл. П1, п. 2), если повернуть течение так, чтобы было ~(со) =1, имеем ~= акр((аГ-'+()1 '+ 7г '+3~ "+ ...), (4.9) мы можем рассматривать 1 как существенный параметр. Отоб. ражения достаточно большого полукруга в нижней полуплоскости 1 (рис, 37,г) с помощью формул (4.8а) — (4.8в) показаны на рис. 37,а — в. Формулы (4.8а) — (4.8в) могут быть также получены путем подстановки в (4.7) следующего ряда: т= а(1)=та,1 '+ос+о,1+о,Га+ ..., 91 3.

Асиматотическая форма ссободимя яиниа тока где все и, Р, т, ... действительны, Полученные соотношения (4.8) — (4.9) и определяют асимптотическое поведение течения. Тогда, поскольку величина — агп ь= — аЮ-' — р(-т —... при действительном значении параметра Ю дает направление касательной на свободных линиях тока, асимптотическая кривизна свободных линий тока определяется первым отличным от нуля коэффициентом ряда (4.9).

Если а>0, то обе свободные линии тока отклоняются от направления течения; это озяачает, по принципу Бриллюэна (гл. 1, п. 13), что скорость течения асимптотически стремится к локальному максимуму на свободных линиях тока. Если а=О, а () Ф О, то одна свободная линия тока отклоняется в сторону течения, а другая — в Рис.

38. противоположную сторону. Более наглядное представление о течении в физической плоскости достигается с помощью разложения комплексной координаты 3 ' юю)ю' Г [1 юаю +(2+ю8) ю +...) юю)ют, (4,10) В случае струи, 1=е'~ (а =й ю), получаем, а=на+ (р'+ — е-аюр+ + е-тате+ ...; (4.11а) а 4а следовательно, струя стремится по экспоненте к параллельнолюу течению в канале шириной ю(=ля (рис. 38 и диаграмма ? приложения). В типичном случае истечения струи из сужающегося насадка хорошее приближение можно получить, принимая юь1 а=а,+ уют+~ — ) Ю, что приводит к симметричному сужению струи вдоль нижней и верхней свободной линии тока соответственно при Ю>0 и Ю<0. Случай полубсзграничного потока («океана») менее прост. Согласно формуле (4.!0), имеем а= )Г(1 — Юат ' — [ 2 +ЮР1) Ю '+ ...)(1+ЮЮЮ ')Юй= ат =за+11' — юа!пЮ+[ — +ю'(аа+Р)1Ю + ...

= =во+ К вЂ” юсс1п Ю+0(Ф '). (4.11б) Таким образом, если а=О, то граница потока в бесконечности неограниченно понижается (или повышается) относительно 92 Гл. 7)г. Общая теория плоской горизонтальной поверхности (рис. 39); частный случай этого парадокса уже обсуждался в гл. !11, п. 6. Ниже в п. 5 мы покажем, что с этой конфигурацией связана некоторая подьемная сила Е=рка. Если коэффициент а=О, то понижение уровня оказывается асимптотически конечным, но при этом (см.п.5) Рис.

39 подъемная сила Е=О; этот случай обычно несовместим с условием отрыва Бриллюэна (гл. 1, п. 13). Во всяком случае, разность в уровнях границы потока по обе стороны от любой фиксированной вертикальной оси на равных расстояниях от нее стремится к толщине отклоненной струи. Случай безграничного потока наиболее сложен.

Для каверны за обтекаемым препятствием имеем г1=0 и поэтому получим '=3 ~' '" * (2 +!Р) =го+ Ю' — 2)а 'г' )тг — ~ — +1Р)1п (Р'+ .... (4.1!в) Более того, выражение (4.11в) справедливо даже если с(+О, поскольку тогда -ь ~.-у,~!+ дмн + Так как обе границы каверны соответствуют двум сторонам разреза вдоль положительной оси в плоскости %', а Ж'=)г г' имеет различные знаки вдоль берегов этого разреза, то ясно,что форма каверног существенно параболическая, если а>0 (рис. 40,а) '), причем ее симметрия искажается только членом й 1и (е', если р Ф О. Элементарные вычисления показывают, что в плоскости у — ус = + 2о )/х — ~ 1п х + О (1).

(4.1)г) Очевидно, что при а<0 получается самопересекающееся течение, которое физически невозможно *). ") Случай а (0 и возможности его физической реализанни нри наличии каверны были указаны Д. А. Эфросом. — Прим. ред, вз 4. Уравнения количества двиткения Случай а=0 сводится к каверне конечной ширины, которая может быть асимптотически прямой в симметричном случае Р=О, но которая обычно отклоняется от прямой линии по логарифмическому закону.

Как будет показано в п. 5, именно это и будет случаем каверны с нулевым сопротивлением ') (рис. 40, 6). l с ! 1 Каверна г '; Каверна Ри с. 40. Для более общего случая там же будет доказано, что вели- чины а и б определяют сопротивление с) и подъемную силу Е в соответствии с формулами Рг ара' и Ек арр. 4. Уравнение количества движения.

Поток количества движе- ния через какой-нибудь ориентированный') элемент границы течения с(г равен, по определению (гл. 1, п. 12), с(М = РГ: су Ь' = р (! с(Ь' — стс иЧ/). (4.12) Кроме того, из уравнения Бернулли' ) 1 "т 2 В, Р Ро Р(с +т2) = Ро — Рч" ° 1 с' с' 2 сз е т Так как Ыа совпадает с внутренней норРис, 41. малью (рис. 41), а комплексная скорость течения равна сс)ранг=~=~+спи то элементарный вектор силы давления, действующей на элемент с(г границы жидкости, равен 1 .„сСЖ' с(Р = )р сса = ср, с(а — — рс".* — с(з = 2 Не 1 = ср,ссз — — рс(с — сп)(Нс'+ с сс(с'). Сопоставляя формулы (4.!2) и (4.!3), получаем сссМ вЂ” исР = — сро с(а+ —, Рс (~ с(Ю)*. 1 (4.13) (4. 14) Г.!. !1/. Общая теория Аналогично, если НР= !(р — р!)да означает элементарный вектор избыточного давления, то имеем е(М вЂ” Л' = ! (р — р,) гзз+ — р! (. «1 "«Р) .

1 (4.14') Но, согласно теореме Коши, имеем ~ е(а = 0 и ~ ("-.е(%')'= — 0; следовательно, интеграл по контуру от правой части равенства (4.14') обрашается в нуль, если он берется вдоль границы какой-нибудь конечной области течения. Это означает, что (е(М вЂ” е«Р) = 0 (соответствуюшая формула ![! «(М = ~ е«Р, получаемая таким же путем из равенства (4.14), выражает уравнение обычной теоремы о количестве движения; см. гл, !, п. 10). Получим теперь асимптотический аналог этого уравнения, справедливый для бесконечных областей, ограниченных свободными линиями тока С; [!'= 1, ..., г'[ прн заданном давлении рь и конечными неподвижны.ии стенками В,(!' = 1, ..., г'1 1 = =1, ..., з). Предположим далее, что масштабы выбраны так, что модуль скорости на свободной линии тока равен единице. Для указанной цели применим основное уравнение М вЂ” Р=О к конечной области, ограниченной неподвижными стенками Вл частями свободных линий тока С» простирающимися достаточно далеко, и сечениями С» [й=1, ..., г), соединяюшими соседние свободные линии тока, как показано на рис.

4!. Очевидно, что е(М=О вдоль любой линии тока, в то время как дР==О вдоль свободной линии тока. Пусть теперь Р;= ~ йР означает сума« марную силу давления (избыточную по отношению к давлению внешней среды), действуюшую со стороны неподвижной стенки В! на движущуюся жидкость. Поскольку ~(ИМ вЂ” т«Р)=0, то ясно, что т т — Г= — ~„Г;= ~» [ (е(М вЂ” е«Р)= ~ О«.

Характеристики

Список файлов книги