Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Соудиряющиеся струи имеют бесконечную длину и являюгся непрерывными в беско. вечности, (Более общее доказательство см. в конце гл. 1'ч', и. 1.) При этом область годографа ограничена окружностью. Надлежащим выбором единицы измерения скорости его можно превратить в единичный круг так, чтобы величина 1кйь! была асим. птотической шириной струи Уь. Как будет показано ниже, годограф оказывается однолистным. Сначала отобразим область течения на единичный круг Г и заметим, что комплсксный потенциал имеет логарифмические Ряс 2!.
особенности в точках Уь Уь У,, Уг (рис. 21, б) и регулярен всюду, так как отражение по Шварцу этих особенностей относительно круга 1' не порождает новых особенностей, Поэтому мы можем написать') (см. следствие теоремы 1) %=У(!)= Ъ', йь!п(~ — Уь), Уь=е'"ь. ь=1 (3.7) Л ем м а 1, Годографом рассматриваемого течения является круг, и в выражении комплексного потенциала (3,7) можно положить ! = ь Дока з а тел ьств о. Согласно рис.
21, а, величина агй~ из. меняется на 2п при обходе границы течения. Поскольку функ. ция ~(г) ограничена и аналитична в потоке, это изменение равняется 2кпг, где и, — число внутренних критических точек (кратность учитывается), в которых !, = О. Отсюда и, = 1 (в п. 9 этот подсчет обобщается). Совмещая критическую точку с точкой ! = О, мы добьемся того, что функция 1п©!! будет гармонической и ограниченной в Г, причем она будет тождественно обращаться в нуль на границе.
Из этого следует, что она обращается тож. дественно в нуль во всей области, откуда ~=ест!; в результате поворота получим Ь = й Гл. П/. Простые теченол около клиньев Л ем м а 2. Справедливо 4 1 л» вЂ” =О, или ч» »=1 тождестео ~С„И,= ~з„й„=о, (3.6') »=т где С»=сова», 5»=»1па и ч»=С»+Ю». Доказательство. Формула (3.6') эквивалентна закону сохранения количества движения. С другой стороны, ее можно доказать аналитически. На основании (3.7) выражение комплексной величины г = ] Г'с/ит можно записать в виде г=У вЂ” "" !п(т — С») — У вЂ” "' !пС. »=1 »=т Из однозначности функции г(/) = г(ь) в окрестности ~ = О и следует формула (3,6'), Если го является критической точкой, то г=г,+ ~ — »!и(! — — ), » 1 (3.8) — ! ~~ -,', г и,— ! (1 — т)] . (391 /ть» где 1/(» = С» — /5». Обратно, если формулы (3.6) и (3.6') справедливы и если струи не пересекаются, то (3.8) определяет допустимое течение, соответствующее соударяющимся струям.
Очевидно, что го произвольно. Неопределенность течения. Ось или средняя линия струи Х» может быть определена как прямолинейная асимптота на бесконечности к кривой, заданной как функция действительного параметра г формулой г (г, 1») = — (п (1 — г)+ го+ у — 1п ~1 — — ~+ о (1 — г). (3 9) л» / ч»'1 ~» т 1 т / е -1 Средняя линия параллельна ч» (т. е. ч» /»»), так что ее уравнения в прямоугольных координатах есть Я»х + С»у + гп» = О, где т» — момент относительно точки г = О единичного вектора ".» — — С» — Б», действующего вдоль средней линии. Этот момент — Я»х — С»у = — !гп(ь» г), где г = х+ /у является любой точкой средней линии. Отсюда, используя формулу (3.9) и пе. реходя к пределу г- 1, получаем 65 5.
Раэдслсюсяаеся струи Физически естественно предположить, что если соударяющиеся струи У1 и Уэ заданы (т. е. заданы й„ й,, аь аэ и средние линии струй У~ и Уэ), то результирующее течение определяется однозначно. Однако можно показать, что, в противоположность ожидаемому, результирующее течение в действительности является неопределенным, за исключением случая аэ = аэ + и, т. е. параллельных соударяющихся струй! В действительности, за исключением этого случая, соотношения (3.6), (3.6') и (3.9') при й=1, 3 дают пять уравнений с костю й Рис. 22.
шестью неизвестными йь йь ам аь хо, уо (го = хо+ (уо) Эти уравнения имеют однопараметрическое семейство решений, которое можно легко получить графически. Физический смысл этой неопределенности трудно понять; все возможные течения с механической точки зрения находятся в равновесии. Не ясно, какой вид имеет условие, если оно вообще существует, для устойчивого равновесия непараллельных соударяющихся струй. Возможно даже, что все стационарные конфигурации течения неустойчивы').
В случае параллельных струй можно использовать такое же точно построение, однако, поскольку ~, +~э=О, то, суммируя соотношения (3.9') при я = 1, 3, мы получим добавочное соотношение между пэ, й,, ~,, ~ь которое содержит момент тп, + птэ пары векторов ~1 и ",, направленных вдоль средних линий соответствующих струй. Следовательно, в этом случае конфигурация течения определяется с точностью до переноса.
б. Разделяющиеся струи. Случай струи, разделенной горизонтальной пластиной (рис. 22,а), можно очень изящно исследовать путем отражения ее особенностей') н использования топологических результатов п. 9. Отобразим течение на единичный Г Ьчртюа Гл. Пд Простые гечекия около клокоео полукруг Г (рис. 22, б) в плоскости Г так, чтобы полуокружность соответствовала свободным границам, диаметр полукруга— пластине, а точка Г = 0 — точке разветвления.
Сначала мы докажем почти очевидное равенство В обозначениях и. 9 п, = 3, в то время как п, = п, = О. Отсюда, согласно (3,30), пе =! и п„= О. Из этого следует, что функция г// ограничена в Г, принимает действительные значения на диаметре и по модулю равна единице на окружности ~Г! = 1. Продолжая аналитически эту функцию, согласно (2.19), через диаметры и окружность 1Г! = 1, видим, что функция ЦГ оказывается всюду ограниченной. Следовательно, по теореме Лиувилля ~/Г постоянна. Поскольку функция ~/Г принимает действительные значения на диаметре и имеет единичный модуль, то ~ = + й В случае струи, набегающей в верхней полуплоскости, как показано на рис.
22,а, ясно, что ь = б Рассмотрим теперь комплексный потенциал Ж'(Г) = 1е'(~). Отражение особенностей относительно действительной оси дает три сопряженные логарифмические особенности одинаковой интенсивности в точках е-'ач е-'"ч ег ыч Отражение относительно полуокрукности Г (или ее зеркального образа) не дает никаких новых особенностей (рис. 22, б). Суммируя, получаем Ю= ~„п/!п О".— е'"е)(~ — е '"!), !=1 ГЗ. 10 а) откуда Чтобы обеспечить конечную величину г при Ь = О, необходимо иметь ~ /етС/ — — 0; это соотношение соответствует также урав- нению сохранения количества движения в направлении оси х.
Следовательно, з ее/ в = ве — ~~а~ й/1 С/! и (Гз — 2С;ч+ 1) — !5/1п —,„1, (3.10б) /=1 ч — е т! ~~~~А С/ — — 0 и ~ Ь;=О, согласно должны получить с,— с, й = — — Ьи е С,— С, С другой стороны, поскольку закону сохранения массы, мы Сз — С1 2 С,— С и Итак, для данных й1 и а~ конфигурация разделенной струн зависит от двух независимых параметров, как и следовало бы ожидать физически.
67 Б, Раэйеяяющиеся струи Используя законы сохранения количества движения и момента количества движения, можно также вычислить силу у и момент М, действуюшие на пластину, з /=! з а!+и/! М=р 7 Л/Ь/) 55/~2 — и/)+гнп(и!+и/)!пз!п 2 ). (3.116) /, /=! На пластине величина ~ = о действительна, а также действительно выражение !« — е /) !'1п ! = — 2 агс !и (с е — '"/) " (и — С/) соответственно действительна и разность з — з,, Чтобы поместить на«ало координат в критическую то«ку, необходимо пол ож ить з ~! аз= хз= — 2 гз Уг/8/(и — и/) =1 В частности, кромки пластины х( — 1) = х, и х(!) = х, опреде- ляются уравнениями з '/ 1 хз= — т /з/~~5/(эс — и )+ 2С/!и з!п — ~, /=! з х,— '~~ /г [ — Я/з/+2С/!псов /1 2 1" /=! (3.!3') а ширина пластины — формулой з р = — Х Ь/ ~ 5/+ 2С/ 1п !К Ы /.! (3.
14) Сделав зто, мы получим следующее симметричное выражение для величины х'): з х= —,'5', Ь/Р(и/! о), (3.12) /=! где Р (ир о) = 2о/ (эс — и;) + С/1п (оз — 2С/т/+ 1) — 25/ а ге !!э 5/ / Б. Физические приложевич Уравнение свободных линий тока 1=ем имеет вил а=сопз1 — т Л,~Я,(я — а )+С;)п! сова — С (+ ст 6. Физические приложения.
Наиболее известное гидравлическое применение теории разделяющихся струй заключается в расчете течения при заданных угле аь ширине пластины р и 1 расстоянии у=5,(х' — — (х,+хг)~ вдоль пластины от сред- 2 ней линии набегающей струи до середины пластины. Здесь х' ~;/ а Рис. 24. без труда выражается из асимптотических уравнений свободных линий тока. Чтобы произвести такой расчет, нужно построить номограмму. Используя простое графическое построение, разработанное Мортоном и Харвеем'), мы изобразили на рис. 23 кривые аг = = сопз( и аз — — сопз( в плоскости (р, в) для случая а~ = 60'. Симметричные течения при аг =90' были рассмотрены в гл.
П, п. 8. Качественный характер функций а;(р, д; а~) соответствует ожидаемому в силу физических соображений. Глиссируюи1ие поверхности. Предельный случай а1 =ам при котором одна ветвь струи становится бесконечно широкой, оказывается в некотором смысле неожиданным. После поворота на угол а1 по часовой стрелке течение можно рассматривать как глиссированив пластины по поверхности океана бесконечной глубины т) (рнгь 24, а).
Используя прежние координаты и считая н ирину отходящей струи, равной и (й=п), находим, что комплексный' потенциал )р' имеет логарифмическую особенность прн 1г=а" Гл. (П. Простые течения около клиньев 70 С вЂ” С, С вЂ” С е 1 — С,С, С вЂ” С, 1п З, С вЂ” С, +!5,!п 2(С, — Ст) (С вЂ” С,) (С вЂ” С,) (С вЂ” С,)(С вЂ” С',) +С, !п (С вЂ” С,)(С вЂ” С',) (3.16б) Ширина пластины с'ч — "и — .Ь,—.н-;-тс,ь 'е"л . (з.и ) Яь ль сн тг2 На графике рис. 23 показана величина с(/! в зависимости от ат для нескольких значений аь Вычисляя мнимую часть 1гп (геы ) (повернутой) свободной поверхности (С = еео) на бесконечности, получим 1ш (сае") = -1  — иь 2 =Ят (Ст — Ст)!п ~2а!п ~ Результат показывает, что имеется бесконечное снижение свободной поверхности на бесконечности. Чтобы объяснить этот результат физически, нужно принять во внимание, что в предыдущем исследовании не было учтено влияние силы тяжести.
Предположим, что пластина шириной ! движется горизонтально со скоростью о, причем ее нижняя часть находится ниже поверхности жидкости на глубине Ь и составляет угол а1 с горизонталью. Предыдущий результат показывает, что по мере того как скорость о увеличивается, высота волны, возникающей перед пластиной, безгранично возрастает в океане бесконечной глубины, находясь в равновесии для до. статочно больших скоростей, даже если Ь отрипательно, Аналогичное замечание справедливо и при проникании в океан струи, что можно рассматривать как предельную форму соударяющихся струй модели п. 4, в которой две струи сливаются.
Случай океана конечной глубины будет рассмотрен в гл. Ч, п. 6, 7. Тем не менее интересно рассчитать силу г и момент М (для случая струи толщиной и). Эти формулы можно применять в и простой полюс с добавочным логарифмическим членом при С,=е' =е'*. Таким образом, а Т вЂ” Т Т вЂ” Т (3. 16а) ! где Т= — (С+С )/2. Выполняя интегрирование а= ~ С 'с(%' и замечая, что критическая точка находится в конечной плоскости тогда и только тогда, когда а, =соя а1 — соз аь полу- чаем 7. Простые течен«я около кя«ньен случае глиссирования с большими скоростями, а также считать, что ас/! удовлетворяет соотношению (3.16в) и что течение однозначно определяется величиной угла а, или отношения а71. Переходя к пределу, получаем гс= рпс 1 — соз («, — «,) ~ 5!П «~ Исходя из этой формулы, можно легко вычислить сопротивление и подъемную силу, Момент проще всего вычислить как предел момента разделенной струи, когда толщины двух струй стремятся к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
