Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 8
Текст из файла (страница 8)
П. Годогрофы в ваде кругового сектора Таким образом, рассматриваемое отображение является частным случаем преобразований Шварца — Кристоффеля [42, стр. 3701. Т е о р е м а 2 Если область комплексного переменного %' полного течения односвязна, то существует однолистное отображение, которое переводит область б на область в плоскости Ж' и имеет вид ам=~(Т)дт С С~'-'~дТ, (2,4) И !т — в„) где Аи В„действительны, так что !(Т) — рациональная функция с действительными коэффициентами.
Так, например, в случае кавитационного течения за клином область изменения В' оказывается неограниченной плоскостью с разрезом; следовательно, (1т = Т' и !"(Т) = 2Т при соответствующем определении постоянных а, Ь, с, г( в (2.3). В случае истечения струи из воронки область Ф' имеет вид бесконечной полосы, здесь В' = й!п Т, откуда 1(Т) = я(Т. Другой случай рассматривается в лемме 1 п.
6. Отметим, что во всех случаях комплексный потенциал В' определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не имеющей физического значения. Следствие.В предыдущих предположениях комплексная координата является интегралом рациональной функции от ьп и ьо поскольку Т, согласно (2.3),— рациональная функция от Уп и = ~.- Г (Т) д Т. (2.5) Общий метод получения г(ь) в замкнутой форме прн рациональных числах и дан в п.
9. Частные случаи рассмотрены в п. 2 — 8. Прежде всего кратко излагается физический смысл каждого случая; это изложение сопровождается подробными вычислениями. Мы надеемся, что, приводя эти подробности (которые, как ни странно, трудоемки на практике), мы сэкономим много времени у заинтересованных читателей. 2. Каверна за пластиной. Рассмотрим сначала теоретическую каверну за горизонтальной пластиной, составляющей угол а с направлением безграничного потока. Случаи а = 90', а = 45' и а = !5' показаны на диаграммах ! — 3 приложения. Отметим, что при а = 15' точка разветвления находится ближе к передней кромке пластины и что соседняя с ней свободная линия тока делает очень крутой поворот навстречу течению, чтобы принять потом направление основного потока.
В этой модели, первоначально предназначенной для объяснения сопротивления, связанного с образованием следа '), недооценивается действительное давление жидкости, для получения которого необходимо ввести коэффициент (1 + Я), равный при- г. Каверна ва нласткнаб зй близительно двум при а > 15' («угла срыва», при котором поток /! отрывается). Здесь //=(ру — рн)/ — Р~' — коэффициент разрежения в следе, как в гл.
1 (р — давление свободно- Д500 бвбб го потока, рв — давление / ' 0,5 ' 0«бб в следе, 0/ — скорость свободного потока). При о«бг углах сс «. 15' в модели недооценивается «подь- брнпсппеенал п~пчна емная сила» действительного профиля со значительно большими коэфоггг фициентами Однако, помимо важ- ф 55 ности этой модели для 0УУ кавитационной теории И си 0./ 0Л7 при Я = 0 и помимо ее исторической значимости, 0057 она дает удовлетворительное представление о 0 /0 гб 50 50 70 00 форме следа (диаграмма ст, град 11 приложения). ТеоретиРис.
1О. ческая критическая точка и центр давления, показанные на рис. 10, также согласуются с наблюдениями. Наконец, эта модель при се) 15' дает хорошее представление о распределении давлений вдоль 5 плоской пластины, если коэффициент давления Ср и=00' ы-бб.'бб а -лу,'бб исправлять по прибли-. женной формуле (!.20') (С,)„,п. = (1 + а) (С,)„„,. (2,6) 04 бг 0 ~ ~-б,г -00 -05 бд б,г с~ 0 -б,г -0« Сравнение теоретических и экспериментальных дан. ных показано на рис, !1.
сс "М, 05 Годограф рассматриваемого течения есть по. лукруг Г (2.2) при и - 1, поскольку на горизон« тальной пластине скоро-. сти имеют горизонтальные направления (ь — действительное). Очевидно, что к задаче применимы теоремы 1 н 2; кроме того, как вксперимеитальиые ленине/ — --- теоретиче скис кривые, исправленные с учетом вксперимен талыпак значений й 40 Гл. Л. Годогрофи в виде кругового сектора и в и. 1, %' = Т' при соответствующем выборе постоянных в формуле (2.3). Чтобы определить эти постоянные, отметим, что (; = О, когда в критической точке Т = О. Исходя из этого, в формуле (2.3) а = 0 и Ьс > О. Разделив числитель и знаменатель (2.3) на с, получим 2кч чг — 2сч+ 1 ' (2.7) где А ) О, С вЂ” действительное.
Согласно теории подобия (гл. 1, п. 13), при вычислении безразмерных величин можно принять 2й = 1; при таком выборе значения й положим (гт = Т' в формуле (2.1) и используем формулу (2.7), тогда после интегрирования по частям находим: а'йг Вт Ф' а" Т' ач г +~ (г — +) (Р 2сг+1)г . (2.7') На бесконечности (=е '" и Ю'=со; следовательно, С = сова. Разлагая подинтегральное выражение (2.7') на простые дроби и интегрируя в комплексной области, получим е— 1 ) ч — С ч — ег" (Р 2СС-)-1)г 2У '( (Сг — 2С:-!-1) 28 С-Ег М ~' где Я = з(п а. В результате приходим к выводу, что наиболее оби)ее идеальное кавитат)ионное обтекание пластингл подобно течению, удовлетворяющему соотношениям (2.7) и (2.8) при 2й = 1.
3. Подробные формулы. Существует широко развитая методика преобразований <элементарных» комплексных выражений, подобных формулам (2.7) и (2.8); необходимая для получения простых явных выражений для действительных величин, представляющих физический интерес. Дадим некоторые применения этой методики. На пластине й принимает действительные значения; полагая т = ь — С, так, чтобы выполнялось равенство ь' — 2Сь + 1 = те+ Я', можно проинтегрировать выражение (2.7) в действи. тельной форме [35, формула (120.2)) и получить 1 < ! и ( г-(- чг)г + 2<г 1 г ! у + о ЯГС1»о о ~+ 4ог . (2.9) Постоянная интегрирования я/45» выбрана так, чтобы согласовать формулы (2.9) и (2.8).
Из формулы (2.9) находим, что ширина пластины для нашего выбора размерностей 2й = 1 в формуле (2.7) равна Ь=у(!) — в( — !)=5 '+ —,',. (2.10) д. Подробные Формула 41 Коэффициент давления Ср —— (1 — 1ь1с)/2 также легко находится как функция от величины г/Ь, что позволяет рассчитать теоретические кривые, приведенные на рис. 11. Положение критической точки определяется по формуле я(1) — з(0)= 2чс (! и+оС+ Кроме того, поскольку ь — действительная величина, то на пластине 1'„'! = ьт; следовательно, общая сила Р, действующая на пластину, в согласии с уравнением Бернулли равна интегралу Р= — ср ~ (1 — Г.У) с/а= — ср ~ (» — "„) с(Ю; (2.11) который берется вдоль пластины в направлении возрастающих значений а.
(Давление за пластиной соответствует принятой ранее скорости на свободной линии тока ь = 1.) Интегрирование в формуле (2.11) можно легко выполнить по табличным форму! лам (35, стр. 26), подставляя — с/Ж'=Те/Т в (2.11) и исполь зуя (2.7). Таким образом, получим (2.11а) откуда на основании (2.10) получаем С 20 2нЗ' 2 ЬС с,— — —,б — — 4+„б Сс = 4+ 8 Формулы (2.11б), будучи безразмерными, применимы к любому идеальному кавитационному течению около пластины (см.
гл. 1, п. 13). Так, например, предсказанное сопротивление имеет максимальное значение Ср = 0,88 при а = 90', а подъемная сила максимальна при а = 37'30'. Чтобы вычислить момент «элементарными методами», нужно (следуя Рэлею) ввести биполярные координаты, например посредством комплексной подстановки с — е" бС<„, М 1 — е (2.12) с — е Интегрируя тригонометрические функции от со, можно найти момент относительно центра пластины в виде (51, $ 77] (2.13) так что центр давления отстоит от центра пластины на расстоянии — ЗС ЗСб !63' 4(4+нЗ) (2. 13') 42 Гл.
П. Годографы в ниде кригового сектора Отметим, однако, что как формула (2.1! а), так и формула (2.13) выводятся более эффективно из менее элементарных асимптотических формул гл. И, п. 5, 6. Биполярные координаты могут быть также использованы для получения простых параметрических уравнений свободных линий тока.
Обозначим о = 1ш(оз), так что э+а 1. т — а а=!п!ейп —, з!и 2 ! 2 где — зр = агд Ь" — направление скорости, и пусть величина К = (2а5 + ЗС) /854. Тогда на соответствующих линиях тока С сн 2а — 4 сь а х=-К+ —— 85' Сок 24+ 4ска — 4л5 х=К+ 85' 854 за 2а — 2а (2 4 У вЂ” 85з вк 2а + 2а Мы не знаем никакого простого действительного выражения для других линий тока, нет даже выражения для разделяющейся линии тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
