Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 4
Текст из файла (страница 4)
— Прим, ред. Здесь й = и(х) — вектор ускорения силы тяжести, р — плотность, р — давление. Векторное поле (течение) п(х; 1) называется безвихревым, если оно обладает потенциалом скорости (/ (х; 1), градиент которого равен и(х; 1), так что 9. Свободные линии тока 21 В уравнении (!.13) 6 = 6(х) — гравитационный потенциал (силовая функция), так что д = — 7 6. Течение, удовлетворяющее уравнениям (1.11) — (1.13), будем называть течением идеальной жидкости, или эйлеровым течением. Обратно, можно показать (51, гл.
! — !!!), что течение любой невязкой несжимаемой жидкости будет эйлеровым, если жидкость ускоряется из состояния покоя или из любых других начальных условий с безвихревым движением. 9. Свободные линии тока. Из уравнения Бернулли (1.13) следует, что скорость на границе стационарных эйлеровых течений (подобных рассмотренным в п. 7) постоянна при выполнении одного из двух следующих условий (отметим, что д6)д! = 0 в любом установившемся эйлеровом течении). Во-первых, если плотность р' внутренней среды пренебрежимо мала, то давление вдоль поверхности разрыва почти постоянно, поскольку давление во внутренней среде постоянно.
Это положение будет справедливо независимо от того, находится ли среда с низкой плотностью в движении или в покое. Следовательно, граница жидкости с большей плотностью находится при постоянном давлении р,. Такая граница называется свободной границей; типичным примером является граница между жидкостью и газом. Таким образом, если и также пренебрежимо мало (т. е. если число Фруда оэ)дй существенно велико) и, кроме того, если течение жидкости с большей плотностью стационарно, то, согласно (1.13), величина — РРЮЧЗ=Р Я вЂ” Р6 — Р, 1 почти постоянна на ограничивающих свободных линиях тока при почти постоянном давлении р,. Во-вторых, если р' = р и наружная жидкость с плотностью р' неподвижна, то из условия непрерывности давления при пере.
ходе через свободную границу имеем на ией 1 —, р~иЧ(У= р, И) — р6 — Р = =Ро(г) — Р6 — !Р~(1) р 61 =Рэ(г) Р~(е) где р~(!) представляет собой константу уравнения (1.13) для неподвижной жидкости. Отсюда следует, что скорость потока вдоль граничной линии тока, являющейся линией разрыва (или скольжения), также постоянна, несмотря на то, что давление р может быть переменным.
Главы !1 — Х посвящены математическому построению стационарных эйлеровых течений, ограниченных свободными линиями Гя. /. Общие соображения тона в только что рассмотренном смысле. Это значит, что задача сводится к построению решений У(х) уравнения Лапласа 7Ч/ = О, удовлетворяющих двум граничным условиям: дУ (1.14 а) на твердой границе и !Ри) =с з1 (1. 146) на свободной границе. В этом смысле задача заключается в отыскании аналогов течений, изображенных на рис. 5 для истечения струй из отверстий произвольной формы и для каверн за препятствиями общего вида.
10. Законы сохранения и струи. Вообще говоря, решение краевой задачи (!.!2) — (1.14а), (1.!46) требует применения методов конформных отображений или теории потенциала. Однако некоторые важные результаты могут быть получены с помощью уравнения Бернулли и простых законов сохранения. Рассмотрим вкратце некоторые результаты, связанные с истечением струй. Теорема Торричелли. В качестве примера рассмотрим истечение струи из отверстия в сосуде, уровень воды в котором находится на высоте й над отверстием. Тогда, считая, что плотность воздуха вне сосуда р' пренебрежимо мала, ввиду чего давление вне сосуда равно атмосферному давлению р„ по уравнению Бернулли (!.13) получим, что скорость о = !7У! на свободной граничной линии тока удовлетворяет уравнению 1 сна+ 2 рВ Ра+ооойв (1.14) нли Последнее выражение и представляет собою теорему Торричелли.
Насадок Борда. Вообще говоря, площадь поперечного сечения струи меньше площади отверстия; отношение этих площадей Се называется коэффициентом сжатия. Для одного частного случая коэффициент С, можно вычислить, пользуясь теоремой о количестве движения, следующим образом, Рассмотрим сосуд с вертикальными стенками, который наполнен жидкостью плотности р и в который вставлена, как показано на рис. 6, горизонтальная трубка (насадок Борда) с площадью сечения А 'з).
Пусть избыточное давление на уровне насадка равно р. Предположим, что поток отрывается ") от трубки у ее внутренней 10 Закона со«рок«кол и струк 23 кромки и что скорость истечения струи из трубки асимптотически стремится к постоянной скорости и, которая должна быть равна постоянной скорости на свободной поверхности струи. Пусть А * — асимптотическая площадь сечения струи. Тогда А*/А, по определению, есть коэффициент сжатия.
Вычислим его следующим образом. Объемный расход жидкости равен пА *; поток количества движения равен с'р '"' Рп'А *; поток кинетической 1 3 энергии равен 2 рв'А С другой стороны, изменение количества дви- х$ жения равно рА (избыточное давление), изменение -4 потенциальной энергии равно р(пА "). Следовательно, рА = рптА* и рвА* = 1 = — ро'А ". Умножив первое уравнение на о и разделив на второе, получим А' ! А —— 2 .
(!.15) Р и с. б. Глубина проникновения 1 / ау Длина струи У р (!.16) Справедливость полученного результата не ограничивается плоскими течениями, он в равной мере пригоден и для цилиндрических насадков. (В гл. П, и. 5 дается полное исследование плоского течения через насадок Борда.) Проникновение струй. Пусть однородная струя жидкости плотности р; с конечной длиной Х набегает со скоростью и! на неподвижную мишень плотности р (рис. 7, а), Относительно наблюдателя, движущегося со скоростью проникновения струи и, процесс является стационарным.
Струя и мишень движутся к общей критической точке со скоростями соответственно в! — и и и (рис. 7, б). Следовательно, теорему Бернулли можно применйть к обеим средам; приравнивая между собой давления 1 1 в критической точке, найдем, что — ру(ву — и)'= — ри'. Приме- 2 2 няя это уравнение для вычисления отношения скорости проникновения и к скорости в! — и, с которой струя «съедается», получаем 'л) отношение 24 Гл. Д Общие соображения Полученный результат вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для кумулятивных зарядов, однако возможность применения его для инъекций или для сверления отверстий в зубах (п.
!) сомнительна. Кумулятивные заряды. В качестве последнего примера рассмотрим кумулятивный заряд (см. п, 1) с конической или клиновидной выемкой "), поназанный на рис. 7, в. На теневых рентгеновских фотографиях, снятых с выдержкой в доли микросекунды, было обнаружено, что при разрушении наклонных стенок ш-й~ .ьилйььижлюм мишень :-ь".—.и ',.мишень Лемонтпор Ммиеллинесмие нпиноеионал г Г Заульс4 оболонна — -4- -е -1-— л 11 Носпламенишель Лешолаиионнан волна Р ис. 7. детонационной волной (рис. 7,г) впереди движущейся точки встречи стенок образуется тонкая струя, а позади — более толстая, так называемый стержень.
Приближенно наблюдаемые факты могут быть объяснены с помощью следующих упрощающих допущений. 1) давление проходящей детонационной волны импульсивно сообщает стенкам скорость ио, после чего изменением давления можно пренебречь; 2) с точки зрения наблюдателя, перемещающегося вместе с точкой встречи стенок, процесс является почти установившимся. Отметим, что направление движения почти совпадмает с биссектрисой угла й — а между нормалью к первоначальной поверхности оболочки и нормалью к поверхности разрушающейся оболочки, где 2й — угол между разрушающимися стенками оболочки. Если пг обозначает всю массу разрушенной за единицу времени оболочки и и; — соответственно массу образовавшейся струи, то по закону сохранения вещества масса стержня будет равна т, = пс — тр Далее, из принятых допущений 1) и 2) 11.
Применение законов сохранения к кавернам 25 следует применимость уравнения Бернулли (и, 9), так что все поверхности имеют одинаковую скорость свободной границы о,. Таким образом, при разрушении стенки струя и стержень удлиняются одинаково, Поэтому уравнение количества движения имеет простую форму тпз сов 1+т,пз — — тр,. Учитывая, что т, + т, = и, получаем lнт 1 — соз р мх 1+ с05 В 2 ' и 2 (1 17) Скорость, с которой движется точка встречи, вычисляется из геометрических соображений: о~ =о,соз'/з(р — а) з!п-' р. Отсюда легко найти абсолютные скорости струи и стержня, равные соответственно о, + о, и о, — о,.
Некоторые ограничения применимости этой приближенной теории, обусловленные сжимаемостью, будут обсуждены в гл. Ч!1!, п. 9. Полное описание поля скоростей в плоском случае (клиновидные выемки) дано в гл. !11, п. 4. Если обратить течение, то получается теория рассеяния по коническим поверхностям двух сталкивающихся соосных струй. 11. Применение законов сохранения к кавернам. Подобные элементарные методы могут быть использованы для получения полезных сведений о кавернах, удовлетворяющих приближенным усло- — Кв ~ — 8 ВИЯМ П. 3. Минимальное число кавитас)аи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
