Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Момент относительно критической точки оказывается равным +У(р) — 27'( — "+ )+ '', (7" (а) — 7' ~ + ))~, (3.17б) где 7'(ср) = еме 1п (1 — еест). Всасывающие щели. Другое применение относится к течению безграничного потока вдоль разрывной стенкие) или всасосвающей щели (см. рис. 24, б). Формулы (3.16а) и (3.16б) можно также применить к этому случаю, если считать ьс =- о отношением скорости свободного потока вдоль стенки к скорости на свободных линиях тока. Частный случай о = О уже был рассмотрен в гл.
П, п. 5. 7. Простые течения около клиньев. Опишем теперь подробно остальную часть общего метода, намеченного в общих чертах в п. 1. Только часть этого метода была использована в п. 4 — 6, выводы которых можно было также получить (хотя и менее строго) методами гл. 1!. Сначала повторим (см. п. 1) определение простого течения около клина. О п р е д е л е н и е.
Г1ростым течением около клина называется простое течение (в смысле п. 2), граница которого: 1) горизонтальна, 2) проходит под постоянным углом р = и/и с,горизонталью и 3) становится свободной. Любое такое течение можно конформно отобразить на единичный полукруг Г в плоскости 1 так, чтобы свободная граница (3) переходила в дугу окружности !1!=1, а прямолинейные отрезки (1) и (2) границы переходили соответственно в отрезки — 1 < ! < О и О < 1 < 1 действительной оси. Т ео р е м а 3. В любом простом течении около клина п«п ( 'г) (г 'с) (~ ~т) (асà — 1) (а;à — 1) (о с — 1) Гл. !П.
Простые течвния около клиньев Вт= ',' . (3А8а) ь,+ь Замечания. Случаю плоской пластины Ь = 0 соответствует и = оо, следовательно, сомножителем Рт" = 1 в этом случае можно пренебречь. Если точка разветвления на пластинеотображается в точку 1= О, то в соотношении (3.18) появляется еще множитель /„как показывается ниже. (В случае и = 1 критическую точку, если она существует на границе, удобно отобразить в точку / = О.) Доказательство. Ясно, что функция ч//Нь =г(Ь) действительна, когда 1 действительно, удовлетворяет условию !г(/)! = 1, когда !/! = 1, и ограничена внутри Г и на ее границе, за исключением, возможно, точки / = О.
Согласно теории конформных отображений, тп с(е/с(Ь не обращается в нуль при 1= О, в то время как с(Ю'/с(1 при этом регулярна в силу следствия теоремы 1. Отсюда следует, что (с11Р/сй)/(Г" йа/аьг) = ~"ч также ограничена в точке / = О, Теперь, после трехкратного применения принципа отражения, находим, что равенства г(Р) =г*(/), г(1/Ь) = 1/г(Ь), г(1/Ь") = 1/г(/') (3.19) определяют функцию, аналитическую во всей плоскости й за исключением тех точек при !/! ) 1,. которые являются образами критических точек, где с = О. Они соответствуют полюсам функции г(/), являюшейся поэтому рациональной функцией.
В частности, пусть а; и й, представляют нули Ь соответственно внутри Г и на ее границе, причем кратность нулей учитывается повторением множителей. Тогда функция г (т') г, (/)— * (т' — ат) (тт' — а;) (т — Ьт) и (ар — 1) (атт' — 1) (Ь|т — 1) не обращается ни в нуль, ни в бесконечность в области Г и удовлетворяет соотношениям (3.19).
Следовательно, она является регулярной и ограниченной на всей плоскости й Таким образом, по теореме Лиувилля (6, т. 1, стр. 153) она должна быть константой, в данном случае действительной постоянной с модулем, равным единице, т. е. -~-1. Критические точки в конечной плоскости г, исключая вершину клина при / О, являются нулями функции ~(/), крат- Кроме того, параметры а; и Ьь которые представляют некоторые точки в конечной плоскости г, связаны с параметрами А, и В! в формуле (3.5) с помои(ью соотношений аь+ аь А,=— 2 7З 7. Простые теченья около клиньев ность которых равна их кратности как точек разветвления. То же справедливо для вершины, если не учитывать множитель гын, Следовательно, параметры а; и Ь, в формуле (3.!8), если опп представляют точки в конечной плоскости г, соответствуют параметрам Ае и В; соотношения (3.8) прн выполнении условия (3.
18а) . Замечание. Течение, не имеющее критической точки на границе, изо- коверна бражено на рис. 28. Это одно из девяти возможных обтеканий пластины безграничным плоскопараллельным потоком '). с .л б б. стого течения около клинафункс1инт Рис. 25. г(с) можно выразить в явном виде через неполные бета-функции Если п=1, то г(1) является элементарной функцией До к аз а тельство. На основании соотношений (3.18) дг/Ж = Ь 'Ы(ьт/Ж равняется величине г но, умноженной на рациональную функцию от Е Разложив последнюю на простые дроби, достаточно повторить рассуждения теоремы 3 гл. 11 и получить требуемое. 8. Возвратные струи. Метод отражения п.
7 хорошо иллюстрируется на примере модели возвратной струи, которая была ,' !!1 ! ! 111 ! ! ! Рис. 26. предложена для каверны за плоской пластиной или за другим препятствием в безграничном потоке (рис. 28, а) "). В этой модели (см. гл. 1, п. 13) давление в каверне ниже, чем давление в свободном потоке, так что число кавитации Я > О, Предполагается, что обратная сторона каверны заканчивается 74 Гл.
!П. Простыв течения около клиньев возвратной струей У, которая в физической плоскости уходит на другой лист римановой поверхности. Возвратные струи наблюдались экспериментально [30), хотя, по-видимому, они перемежаются н бывают неустойчивыми. Во всяком случае, эта модель из всех известных типов идеальных течений дает наибольшее сходство с наблюдаемыми конечными кавернами при Я > О. В этой модели предполагается наличие двух критических точек: одна точка 5 на препятствии и другая укь внутри течения в основании струи, как показано на рис.
26, а. Рассмотрим сначала случай симметричных кавитационных течений около пластины, перпендикулярной к потоку"). Как и в п. 3, отобразим течение симметрично на единичный полукруг Г вспомогательной плоскости / (см, рис. 26, б) так, чтобы пластина перешла в действительную ось, а свободная граница — в окружность. Это конформное отображение сушествует, является единственным и отображает точки Я, /, /с, У течения в четыре точки мнимой оси; соответственно /а =О, /т = са, /а =!Ь и /л = с(0 < а < Ь < 1). Поскольку бесконечно удаленная точка / = /т по отношению к течению является внутренней, то применимы замечания 5 и 6 теоремы 2, так что иц' с( т — тя) (т — тн) т — тл а т т ( т — т,)'(т — т,*'Г т(т' — т,')' где Т = — (/ + У-')/2, следовательно, 2Тл — — )(Ь ' — Ь), — 4Тл= -! ке =(Ь вЂ” Ь) и т.
д. На основании этого простые вычисления дают слр С (~'+эт)(г'+э-')(р — 1) 1 ( в+ в)в( е+ -г)в(,в+1)' где С1 — — — 4С вЂ” новая действительная постоянная. Комплексная скорость, согласно теореме 3, равна с (Р + Эв) ч= — —. (этР+ 1) ' Половина годографа скорости течения представлена на рис. 26, в. Нас интересуют только те случаи, для которых г(/) однозначна (без точек ветвления в Г). Из выражения производной суг/су/ = ~-Ч()т/су/ видно, что точка / = /а является единственной возможной точкой ветвления в Г. Чтобы эта точка не была точкой ветвления, необходимо и достаточно, чтобы было ф'(са) = О (так как с/г/с// = ф(/)/(/ — са)т).
После несложных В. Возвратвие стРуи алгебраических преобразований это условие сводится к соотношению г "а+! сей а'(аг + 3) ' (3. ) содержащему только один произвольный параметр а. По определению, число кавитацни равно р„— р ! — !С!г 2 ~ Его легко можно выразить из (3.21) н (3.22), поскольку ~,=С(са) = 4 ~аз+ 4а — — ). 1 1 ~ (3. 24) а)' = ! т'Б — г = 0,486868 Этот случай соответствует проникающей струе (гл.
11, п. 6). Подставляя Ьг из формулы (3.22) в формулы (3.20') и (3.21), разлагая ЫЮ/с(! на простые дроби и интегрируя, получаем с точностью до постоянного множителя 211~ 21 , ! — 1а1 а= ггг+ —,+, + 2Щ 1п, — 4~таге!п1, (3.25) где 1 Ст=Г. (1а) =- — (а ' — аг). В (3.25') Начало координат а = О располагается в критической точке 5. Ширина пластины (' !+гг, 1 р = а( — 1) — а (1) = 4 ~ —, + 2рг!~таге!да+ — т,".", (3.26) +а' 2 и толщина струи и с(= — (а ' — а'). 4 (3.27) Простой расчет показывает, что две точки на свободной границе, где скорость действительна, соответствуют точке График зависимости числа кавитации (! от параметра а приведен на диаграмме ! 1 приложения; очевидно, что для каждого значения Я, О < Я ( ао, существует единственное течение рассматриваемого вида.
Это согласуется с физической интуицией, которая подсказывает, что разрежение в каверне, скорость на бесконечности и форма препятствия должны полностью опре- дЕЛятЬ ТЕЧЕНИЕ. ВОЗМОЖЕН ПрЕдЕЛЬНЫй СЛуЧай (;! = со, Прн КО- тором 76 Гл. ЛД Лроетые течения около клиньев 1= е", причем сов 6 = л-(! — Ь'), а точки, где скорость чисто мнимая,— точке 1= е"е, ебп ~р = (! + Ьт)/2. Подставляя указанные значения ! в формулу (3.25), легко получаем длину 1 и ширину 2ш каверны. Кроме того, положение критической точки Т получается аналогично путем подстановки ! = 1Ь в (3.25).
На диаграмме !! приложения приведены величины )а Е и В'/~/ Е (1= 1/р, 'йрт=тв/р) как функции Я вместе с коэффициентом сопротивления Со. Он легко подсчитывается, поскольку сила сопротивления 0 удовлетворяет условию (гл. !У, п.5) О= — гр ) е(г= 2крСт(! +!чт !). (3.28) = — )ага а'%'1е11 + ага е11) (3.29) при обходе контура В, состоящего из границы течения с малыми обводами критических точек и точек разветвления для любого несингулярного отображения плоскости течения на вспомогательную плоскость 1 = 1(г) (например, на круг или на полуплоскость). Это приращение — четное или нечетное число в зависимости от того, обходится ли течение против часовой стрелки или по часовой стрелке, Далее, оно возрастает в бесконечности на единицу при пересечении струи (источника или стока, рис.
27, а), на два — при пересечении полубезграничного потока ") (рис. 27, б) и на трн — при обходе безграничного потока (рис. 27, в). Эти факты легко проверить аналитически. В простой точке разветвления потока (рис. 27,г) п(1) умень- чается на единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
