Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 15
Текст из файла (страница 15)
На диаграмме !1 приложения показаны также свободные линии тока для различных значений числа кавитации Я при фиксированном значении е(. Очевидно, что предельный случай Я = 0 соответствует течению Кирхгофа — Рэлея (гл П, п. 2). Предыдущее исследование может быть распространено, как и в п. 7, на клинья с углом при вершине 8 = тг/и.
В этом случае первый сомножитель 1 в формуле (3.2!) должен быть заменен сомножителем 1н", а г(1) не выражается уже в элементарных функциях. 9. Геометрическая классификация простых течений. Интересно произвести топологическую классификацию особенностей по соответствующим конфигурациям линий тока. Рассмотрим приращение многозначной функции 1 1 п(г)= — агд г(У'= — агре+-агре(г= 77 9. Геометрическая классификация простых течений С другой стороны, легко видеть, что асада возрастает на 2тт при обходе вокруг контура В (простых течений, которые являются односвязпыми), в то время как (с учетом кратности критичесних точек) ~ б(агдГ) =2яп„где п,— число внутренних критических точек (рис.
27, д), окончательно приходим к следующему результату: по+ 2Л, + Зп, = 2+ пл+ 2п, (3.30) где и,— число пересекаемых струй и трубок, Л1 — число полу- безграничных потоков, и,— число безграничных потоков и тте — число точек разветвления потока на грапине. а б в г д Рис. 27. Замечания. Критические точки на бесконечности («покоящиеся трубки») нужно учитывать в обеих частях уравнения (3.30), т. е.
как струи, полубезграничные или безграничные потоки в левой части и одновременно как критические точки (точки разветвления) в правой части. Так, например, струя, истекающая из щели (гл. 11, п. 5), соответствует вытеканию из покоящегося полубезграннчно~о потока и в уравнении (3.30) надо положить Л,=1, п,=!, п,=О, пи=1, Л,=О.
Общие правила для подсчета и в равенстве (3.30) в таких случаях усложняются. Внутренние особые точки на бесконечности (п. 3, замечание 6) дают в левую часть равенства (3.30) вклад, равный 4; так, например, для течения и. 8 с возвратной струей равенство (3.30) принимает вид 4+! + 0+ 0 =-2+! + 2. С учетом этих свойств можно доказать новую теорему, Теорема 4. Уравнение (3.30) справедливо в любом простом течении при условии, что пе и и, считаются соответственно их кратности.
Так, например, на рис. 18,в показана тройная внутренняя критическая точка (и, = 3). Мы также знаем, что если плоскость не является многолистной на бесконечности, то 2л! + Лт ~(2. Перечисление различных геометрических типов простых течений в соответствии с конфи~ураниями линий тока может быть проведено с использованием уравнения (3.30). Идея состоит Гл ттд Простые течения около клиньев в том, чтобы рассмотреть возрастающую последовательность суммарных значений пи + и, и для каждого пи + и, перечислить и объяснить соответствующие возможности расположения и,, и, и и, на неподвижной и свободной границах 1), 2) и 3). В случае простых течений около клиньев каждый такой тип течения полностью определяется этим расположением вплоть до конечного числа действительных параметров. Ниже эта идея будет проиллюстрирована путем перечисления всех устойчивых простых течений, имеющих годограф в виде кругового сектора. !О.
Течения с годографами в виде кругового сектора. В случае простого течения с (однолистным) годографом в виде кругового сектора формула (3.!8), очевидно, сводится к простому соотношению Г = т'н" = ~'и. (3.3! ) В течении нет никаких внутренних критических точек и скорость достигает максимума на свободной границе, которая поэтому оказывается выпуклой (гл. 1, п.
13). Следовательно "), единственно возможная точка разветвления находится в точке Ь = ! = О, Если выбрать Т = — (! + ! ')/2, то этой точке будет соответствовать Т = оо, а выражение производной комплексного потенциала (3.5) упрощается так: оТ и И (т — тт) т ! Обращаясь к равенству (3.30), получаем, что и, + 2п, + Зп, < <3. Однако те*лба, + 2п~ + Зпм причем, согласно замечанию 5 п. 3, неравенство обусловлено возможными полюсами комплексного потенциала ()т (соответствующими струям и т. д.) в точке Т = оо.
Это доказывает следующую теорему. Теорем а 5. Для любого простого течения с годографоль в виде кругового сектора соотношения (3.3!) и (3,32) справедливы при !ч' < 3 и Т = — (т' + 1-')(2. Заметим далее, что на основании уравнения (3.30) )ч' = по + + 2п, + Зпт )~2, если не имеется особенности в вершине. Следовательно, может быть Ж = 2 или Л! = 3. При М = 2 единственными возможностями оказываются пе = 2, и, = пе = 0 и и, = 1, по = тье = О. Исследуем эти возможности. Случай по = 2 включает течения Рети'л) с особенностями, размещенными так, как показано на рис.
28 (крестики представляют источник и сток): одна на неподвижной, другая па 70. Течения с годографами в воде кругового сектора 79 свободной границе, за исключением предельных случаев полонины течения около клина в струе (рис. 28,б) или в канале б в г д е Рис. 28. (рнс. 28, в). Рис. 28, г соотвстствует струе, истекающей из воронки, а рис. 28, д (кружок представляет диполь) — половине а б а в Рис. 30 Рис. 29 течения Бобылева около клина. Другой интересный случай со- ответствует рис. 29, а и представляет течение идеальной жидко- сти в колене трубы (рис. 29, б), в котором давление постоянно вдоль изгиба. Этот случай имеет некоторый практический инте- рес для определения формы колена, в котором течение не должно отры- ту ...
ваться *). с Следует, однако, отметить, что течение на одной свободной границе приближается к течению а вдоль прямой стенки. Рис. 31. Если криволинейная свободная граница не будет удерживаться твердыми стенками, то, очевидно, такое течение в действительности будет неустойчивым. Не трудно показать, что рис. 28,а — д дают все виды течений, которые удовлетворяют условию устойчивости, а именно; В каждой точке отрыва течение идет (8) от неподвижной границы к свободной границе.
При )т' = 3 имеется только три существенно различных слу- чая, удовлетворяющих условию устойчивости (8) (рис. 30). ') Только на выпуклой стороне колена. более совершенная форма колена соответствует течению, рассмотренному ниже в гл. Ч, рис. 51, г.— Прим. ред, 80 Гл У!. Простыв течение около клиньев Рис. 30,а и 30,6 представляют течения, изображенные соответственно на рис.
31, а и 31, б. Рис. 30, в представляет струю, разделенную конечным клином. Предельные формы течения получаются либо путем предположения, что две или три особенности сливаются в одну, либо путем размещения одной или более особенностей в угловых точках годографа. Рис. 32 Рнс. 33 Так, например, годографы на рис. 32, а и 32, б соответствуют течениям на рис.
ЗЗ,а и ЗЗ,б соответственно "), в то время как рис. 32,в соответствует предельному течению Бобылева (гл. 11, п. 4). 11. Другие примеры. Возможна аналогичная классификация других простых течений около клиньев, основанная на теоремах 2 и 3 и уравнении (3.30). Прн такой классификации критические точки должны располагаться в полукруге Г. Лналогично можно рассматривать н вихри. Таким обра- ~'1 зом, с математической точки зрения 'е' перечисление подобных течений оказывается весьма простой задачей.
Многие такие течения, однако, представляют достаточный физический Рис. 34. интерес, и поэтому мы приведем некоторые детали вычислении, В качестве примера рассмотрим отклонение свободной струи вихрем (рис. 34), что в первом приближении описывает воздействие на такую струю несущей поверхности"). Отобразим течение на единичный круг в плоскости параметрического переменного ! так, чтобы вихрь (! перешел в начало координат, а бесконечно удаленные точки струй У, и У,— в точки окружности есо и е-" соответственно. Гели т — интенсивность вихря, то комплексный потенциал К имеет в точке ! = 0 логарифмическую особенность с коэффициентом !т/2п, а в точках сто и е-" — логарифмические особенности противоположного знака (источник и сток) с коэффициентами -+с(/и (с! — асимптотическая толщина струй). В результате инверсии относительно единичной окружности вихрь в точке ! = 0 переходит в равный а1 Примечания и противоположный по знаку вихрь в точке 1 = оо, однако струями никаких новых особенностей не порождается а).
Таким образом, и )р = д 1п ' ', + П 1п !. т. à — е '" 2я Из выражения для производной комплексного потенциала Ф)тг а 3!и а (Е ~о) (~ го ~) — = 2! + а1 к Ге+1 — 28созч 2я 1 2к !(С вЂ” еы)(1 — е ") следует, что должна быть новая критическая точка в точке ( = (о, причем параметр (о удовлетворяет такому уравнению: 6э — 2 (сов а — (2гх(Т) в(п а1 !о+ 1 = О. Следовательно, комплексная скорость ~ имеет нуль в точке 1=1е, полюс в точке 1=0 и ее модуль равен единице на окружности 1= е". После инверсии относительно единичной окружности полюс порождает нуль, а нуль — полюс в соответствуюцгих точках. Вследствие этого можно написать 1 ! — !ч ! — Н,' После интегрирования получим схЖ'= — фу (г+(еы — уо ') !п(1 — е "г)+ +(е '" — уо )1п(1 — ег"г)!.
Угол отклонения струи 6 = агд ~; определяется формулой 3 = — агс!й' 4 (1 — уо соз а). Можно дать и много других приложений метода отражения '"). ПРИМЕЧАНИЯ ') Это определение и строгое обсуждение его следствий являются новыми, хотя все используемые методы можно найти в различной литературе.
Предположения могут быть сутдественно ослаблены (см. гл, 1У, п, 1 и гл. Ч1, и. 3). Так, например, для применения принципа отражения необходим ~ предположить только непрерывное стоемлсние к нулю !гп)(Г) или Йе)(Г) [49, т. П!.
*) Строго говоря, при рассматриваемом аналитическом продолжения (р(Г) иа всю плоскость 1 коэффициенты чисто логарифмических особенностей на границе удваиваются, что уже учтено: ж огн вместо ж а/2н, — Прим. ред. б г. ввркгое 82 Гя, П1. Простьге течения около клиньев ') Рассмотрено Войтом, )Г о ! 81 чгг., боН, Насйг., (1885), 285 — 305 См. также С ! з о(11 Е1., Апп. Маг., 23 (!914), 285 — 340; В о 8 8 ! о Т., АЕП Ассад. ЯсЕ Тогто, 50 (1915), 1103 — 1119; С а)б оп а х х о М., Апп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
