Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Если стенка выпукла в непосредственной близости справа от критической точки, то там функция х/а отрицательна, а с удалением от стенки происходит изменение в знаке функции х/д, соответствующее линии перегиба, касающейся обтекаемой стенки. Аналогичное сказанному справедливо и с левой стороны от критической точки. Итак, имеются одна, две или три линии перегиба, идущие в критическую точку, в зависимости от того, находится ли критическая точка в вогнутой части, совпадает с точкой перегиба или находится в выпуклой части препятствия соответственно.

Поэтому на обтекаемой стенке число концов линий перегиба равно числу точек перегиба границы плюс число перегибов в точках отрыва плюс 3 или 1 в зависимости от того, находится ли критическая точка в выпуклой или вогнутой частях. Три линии перегиба должны уходить в бесконечность, поэтому число этих линий, указанное в теореме, можно присоединить в крайнем случае к числу точек перегиба на свободной границе, С л е д с т в и е !.

Каждая свободная линия гока, ограничивающая бесконечную каверну за выпуклым препятствием (каверна нулевого сопротивления исключается) имеет одну точку перегиба или не имеет ее в зависимости от того, является или не является соответствующая точка отрыва точкой перегиба. Рассмотренный способ может быть применен и к другим те. чениям, причем требуется только определить число линий перегиба, идущих к характерным особым точкам. Этим способом можно получить еще одно следствие.

д. Перегибы свободных границ С л ед с т в и е 2. Симметричные каверны с точкой возврити"), образованные позади выпуклого или двоякоизогнутого симметричного препятствия, являются вогнутыми. Число точек перегиба на свободной границе может быть также связано с числом точек на обтекаемой стенкс, в которых ускорение обращается в нуль, т. е.

с числом максимумов и минимумов скорости вдоль обтекаемой стенки. Т е о р е м а 9. В бесконечном кавитационном течении свободная граница имеет по крайней мере столько точек перегиба, сколько раз ускорение на ней обращается в нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о, Линии нулево~о касательного ускорения являются, согласно соотношению (4.27), линиями уровня гармонической функции йдч/йз; онп начинаются и оканчиваются на границе.

Единственными особенностями функции дд-'/йз являются критические точки и, возможно, точки отрыва. Свободные границы сами являются линиями пулевого ускорения и, следовательно, они соединяются с другими такими же линиями в точках, где нормальная производная до-'/йз равна нулю, т. е. где касательные производные функции и/с/ равны нулю. Далее, поскольку функция и/г/ обращается в нуль в точках перегиба и в бесконечности на свободных границах, то на них между любыми двумя такими точками обязательно должна быть точка, в которой й(и/г/)/дз обращалась бы в нуль. Таким образом, существует по крайней мере столько же линий нулевого ускорения, начинающихся на свободной границе, сколько имеется ее перегибов.

Очевидно, что такие линии не могут ни оканчиваться на свободной границе, ни уходить в бесконечность, т. е. они должны оканчиваться на препятствии. Локальное разложение в ряд, как и в доказательстве теоремы 8, показывает, что существуют точно две линии нулевого ускорения, идущие в точку разветвления. Из соотношения (4.35) следует, что в точках отрыва скорость стационарна тогда и только тогда, когда свободная и неподвижная границы имеют в этих точках одинаковую кривизну, и что только в этом случае имеется внутренняя линия нулевого ускорения, отходящая от точек отрыва. Кроме того, как и в случае линий перегиба, из асимптотических разложений видно, что существуют две внутренние линии нулевого ускорения, уходящие в бесконечность.

Следовательно, все линии нулевого ускорения, начинающиеся на свободной границе, и две,линии, приходящие из бесконечности, должны оканчиваться в точках нулевого ускорения на препятствии, за исключением двух линий, оканчивающихся в точке разветвления. Таким образом, теорема 9 доказана. 1ов Гл.

/К Обигая теория 9. Свободные поверхности тока. В и. 2 мы показали, что любая свободная линия должна быть аналитической кривой. Этот результат имеет частную обратную теорему, принадлежащую Вольтерра г4). Т е о р е м а 1О. Любая аналитическая поверхность 5 локально лгожет быть свободной поверхностью тока, и любая аналитическая кривая С лгожет быть свободной линией тока. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем на поверхности 5 а налитическую кривую А; тогда геодезические линии на этой поверхности, пересекающие ортогонально кривую А, будут аналитическим семейством кривых, локально покрывающих поверхность 5, а ортогонали к этим кривым будут делить их на отрезки равной длины.

Пусть 0 = з — направленное расстояние от кривой А. Распространим полученную координатную сетку на систему (и, о, щ) в пространстве. Тогда граничные условия У = з и дУ/диг = дУ/дгг = О на поверхности 5 будут аналитическими начальными данными для уравнения ЧЧI = О"); следователь. но, существует аналитическая функция У, удовлетворяющая этим начальным условиям и уравнению чзэс = О в открытой области, включающей поверхность 5. Для этой функции У градиентными кривыми (линиями тока) будут заданные геодезические, и, кроме того, ч(l 7У=!. Отсюда следует, что поверх.

ность 5 может быть свободной поверхностью тока. Аггалогичное доказательство для плоского случая более просто. Теперь можно охарактеризовать форму свободных линий тока на свободных поверхностях тока в пространстве. Поскольку давление на свободной поверхности тока 5 постоянно, то градиент давления и соответственно ускорения направлены по нормали к 5. Отсюда следует"), что свободные линии тока являются геодезическими. Тем самым мы доказали следующую теорему. Теорем а 11, На любой свободной поверхности тока свободньге линии тока являются ееодезическилги. Используя эту теорему, Гамель показал, что единственными пространственными безвихревыми течениями, в которых все линии тока могут быть свободными, оказываются винтовые тече.

ния (образованные вихревой линией в равномерном течении, параллельном этой линии) 'т). Знак кривизны определяется по принципу Бриллюэна (гл. 1, п. 13), который мы теперь уточним. Обратимся к следующему общему принципу. Принцип лгаксилгумаз'), Допустим, что в области й с (гладкой) границей 5 функция ф удовлетворяет условию Е[ф] (О, 1ОП 9. Свабаднв~е наверкнасти така где Š— линейный оператор, «~ ~сь (Х) д , д + ~~м~ ~~ (Х) д с положительно определенными коэффициентами ам(х).

Тогда ф либо постоянна, либо достигает своего максимума только на границе и удовлетворяет неравенству дф,'дп ) 0 во всех точках максимума, имеющего место в регулярных точках границы"). Как в гл. 1, п. 12 применим этот принцип к (субгармонической) функции давления, чтобы получить следующий результат. Т е о р е м а 12. Если стенка препятствия (или соила) нигде не является строго выпуклой со стороны плоского или осесимметричного течения, то образующаяся за ней каверна (или Свтруя Рис. 43.

струя, вытекающая из сопла) везде будет строго выпуклой со стороны течения. Д о к а з а т е л ь с т в о ва). Скорость жидкости, будучи ограниченной и непрерывной функцией, должна где-нибудь достигать максимума, согласно принципу строгого максимума; этот максимум не может быть на неподвижной границе, однако он должен быть где-нибудь на границе течения; следовательно, он достигается на свободной границе, которая поэтому должна быть строго выпуклой.

Три типичных частных случая применения теоремы 12 показаны на рис. 43. Докажем принцип уплощения эквипотенииалей вблизи свободных линий токам). Пусть в трехмерном пространстве ось х касается в начале координат свободной линии тока, скорость на которой о чь О. Тогда плоскость (у, г) будет касаться эквипотенциальной поверхности У = У(0, О, 0), причем У„ = о, У„ = У, = О, (индексами х, у, г обозначены частные производные). Кроме того, 0 = — „(7(/ И/) = У„У„+ У У„~ + У,Ь'к, = пУ „. Гл. 1$'.

Общая теория Следовательно, Н„,. = О, однако, поскольку 7э1/ = О, то нзэтого следует, что У,„+ У„= О. Таким образом, функция У = У(О) вблизи начала координат разлагается в ряд — 2-.- [1У» [у — ")+ 21У'уз[+ ! Средняя кривизна поверхности х = — [Еу'+ 2Муг+ Югэ[ рав- 1 2 на, однако, А + й! = О. Следовательно, доказана еще одна теорема. Т е о р е м а 13. На свободной линии тока каждая эквипотенциальная поверхность имеет среднюю кривизну, равную нулю. С л е д с т в и е 1. В плоском течении эквипотенциальные кривые на свободной линии тока имеют нулевую кривизну. С л е д с т в и е 2.

В осесимметричном течении эквипотенциальные поверхности на свободной линии тока изгибаются по направленшо к оси симметрии и имеют в осевой плоскости кри. визну г ' згп ф, где ф — угол между осью симметрии и направлением течения, а г — расстояние от оси симметрии. 1О. Вариационный принцип. Покажем теперь, что при некоторых условиях свободным линиям тока соответствуют стационарные значения кинетической энергии потока э'). Чтобы показать это, предположим, что задан поток жидкости через часть 5 границы 5 В Х конечной регулярной области )с, причем Х является поверхностью тока. Если У вЂ” соответствующий потенциал скорости, то производная дУ/дп задана па границе области 5 и обращается в нуль на поверхности тока Х.

Характеристики

Список файлов книги