Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Месй. Ааа)., 3 (1953], 563 — 575. Серрин помог нам написать п. 12 — 14. ") В осесимчетричном случае, когда точка Р расположена на оси, этэ неравенство заменяется условиями д (' ) О' ),а (Р) ~~0 деаь дзига ду ' ду Тогда последующее неравенство получается следующим образом: 1 дта дзш да! д (Р) — д (Р) = 1нп — — = —, (Р) > (Ь вЂ” 1) — (Р) > (Ь вЂ” 1) е)(Р).
, , у ду ду ду м) Прнведенное выше рассуждение нарушается а осесимметричиом случае, когда точка В лежит на оси. В этом случае выбираем точку В так, что дш дзш еи (В) = — (В) = О, — (В) > О. ду ' дуз Тогда последующее неравенство (4.5!) заменяется соотношениями — (в)=о, — >о, дтаа д'та ду ' ду' (4.5! а) а а остальном доказательство остается неизменным. у = сх Е' (1од х) для асимптогической формы свободной линии тока, ы) В осесимметричнзм случае этот же результат может быть получен другим путем с помощью формулы Левивсона (гл. Х, и. 5) Примечания 127 и) См. Сг !15 а г ьт О., 7. Кат.
Месй. Аяа!., 2 (!953), 233 — 251; 3 (1954), 201 — 230, см. также 5 е г г ! п 1., У. Матй. Рйуэ., 33 (1954), 27 — 45. и) См. Я е г г ! п,1„7. Яат. Месй. Апа!., 2 (1953), 572 — 573. По-видимому, эти препятствия обеспечивают ме гьшее кавитапнонное сопротивлевие по сравнению с асямчегричными препятствиями, удовлетворяющими тем же самым ограничениям. тт) Если точка Р имеет координаты (а, Ь), то С может и не быть касательной к 2', но в этом случае очевидно, что С+ 2 не остается ниже Е* + Еч, так что последующие выводы остаются в силе.
гллвл у Обтекание нескольких пластин 1. Параметрический прямоугольник. Данная глава в основном посвящена простым течениям, т. е. идеальным плоским течениям в односвязкой области, ограниченной гладкой кривой (см. гл. П1, п. 2); граница зтих течений состоит из двух прямолинейных линий тока (пластин), разделенных двумя свобод- ' ными линиями тока, причем пластины и линии тока чередуются '). -К+1л'~ ~1К Я Ы Рис. 50.
Типичным является случай пластины, расположенной в струе, вытекающей из сопла (рис. ОО, а). Поскольку область течения односвязна, то ее можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость Т (гл. П, п. 1). Согласно теореме 2 гл. !и, комплексный потенциал течения )г" должен удовлетворять соотношению ык и (т — А;) (т — А;) п(т — Вт) — =Я(Т) =С вЂ” — — ' — — — ' — --' —, (5.1) кт п(т — т ) где )с(Т) — действительная рациональная функция.
Случае сп пластин 129 Подходящим действительным дробно-линейным преобразованием и подходящим выбором параметра я < 1 можно сделать так, чтобы четыре точки отрыва потока 5„5ь 5м 54 перешли соответственно в точки Т = 1, я ', — А-', — 1. Если определим 1 как эллиптический интеграл г= ) дТ( )1(1 — Т')(1 — й'Т'), то течение отображается на параметрический прямоугольник 11 во вспомогательной плоскости à — К<йе(г) <К, 0<1гп(1) <К'.
(5.2) Пластины отображаются на вертикальные стороны, свободные границы — на горизонтальные стороны, а четыре точки отрыва 5ь 5м 5з, 5ч — на углы прямоугольника, как показано на рис. 50. Здесь К и К' означают, как обычно'), полные эллиптические интегралы с модулем я, определяемым отношением ч = 1К'!К. По определению, т Т = зп (Г, й), 0 < й < 1, (5.3) о откуда зп (.+-К) = +1, зп (0) = О, зп (1К') = со. Теор е ма 1. Если функция Ь=1(() известна, то течение полностью определяется формулами (5.1) и (5.3) и интегралом з= ~ Г.
дй'= ~ гс(зпг)спгппгдг. (54) 11оказательство теоремы получается в результате непосредственной подстановки д)е' = (дУР)дТ)дТ и использования выражения комплексного потенциала (5.1) и формулы д(зп г) = = сп Гдп 1дг, Наше исследование основывается па теореме 1. Обычно функция )(1) определяется путем отображения области течения на параметрический прямоугольник К с помощью соответствующего аналога теоремы 3 гл. П1. Этот метод будет подробно описан в п. 4, однако вначале мы отклонимся от темы, чтобы привести более общий (хотя менее конструктивный) метод, дающий формулы (5.2) и (5.3) как частные случаи.
2. Случай т пластин. Формально подобным же образом можно рассматривать течения, ограниченные т пластинами, разделенными т свободными линиями тока при последовательном чередовании. Хотя определение параметров течения при т > 2 становится крайне сложным, мы все-таки наметим этот расчет. Формула (5.1) по-прежнему справедлива. Верхнюю полу- плоскость Т (а следовательно и течение) можно отобразить на 9 Г.
вьркгьф 1ЗО Рл. т. Обтекание нескольких нластин прямоугольный многоугольник 11 с 2тп сторонами по формуле Шварца — Кристоффеля (см. (42, стр. 370) или (66, стр. 189!), имеющей вид й (' — ть) /=~~/д(Т) йт, О(Т) ="=.' дд (* — Те) ы1 (5.5) ь где точки Тн и Тт соответствуют 2тп точкам отрыва Ят, ..., 5тьь отделяющим свободные линии тока от неподвижных границ, одна из которых может быть в точке Т = оо. Это означает, что в общем случае ! выражается гиперзллиптическим интегралом, Случай т = 2 мы уже обсудили в п. 1.
Случай пт = 1 соответствует простым течениям около прямолинейных клиньев, рас. сматривавшимся в гл. !! и 1П, при и = 1 в обозначениях гл. 111, п. 1. В этом случае пт = 1, прямоугольник Гх, сводится к квадранту, причем О(Т) = Т, 2Т= /т, если положить Т,=О и Т1=оз. Однако при т = 1 переменная и =(1+ !!)/(! — И) оказывается более удобной, чем й Она отображает !(~ на единичный полукруг Г, и часто оказывается Ь = и. Рассмотрим теперь переменную то =11п Ь как аналитическую функцию комплексного переменного /'). Производная йьт/й/ = /йЬ/Щ очевидно, действительна на всей границе К (за исключением изолированных особенностей), поскольку функция то = 1!па — еь имеет кусочно постоянную действительную часть на полигональных границах.
Отсюда следует, что, исключая существенно особые точки, функция йто/йТ должна быть действительной рациональной функцией от Т, т. е. — ",", =И,(Т). (5.6) Подставляя в равенство йг = Ь-'йЖ' формулы (5.1) и (5.3), получаем следующий весьма общий результат [36, стр. 56 — 64). Т е о р е м а 2, Для односвязных течений, границами которых являются поочередно свободные линии тока или отрезки прямых, справедливо соотношение й =~ р~Д!/~,(Т))/ ч(Т)йТЯ/~(Т)йТ, (57) где Я(Т), й(Т) и /71(Т) — действительные рациональные функции. Изломанные пластины. Теорема 2 применима также к изло.
манным пластинам (например, клиньям). Вблизи вершины, где )З) 8. Годограф в виде кольцевого сектора направление потока изменяется на «/п радиан, имеем Га А(~ — ~о)ц" + ..., откуда простое вычисление дает дГ ' ".И а(Г-Гг) Следовательно, равенство (5.6) справедливо и вблизи этих точек, которые являются полюсами функции й,(Т). 3.
Годограф в виде кольцевого сектора. В частном случае течений, область годографа скорости которых является кольцевогм сектором с центром в начале координат, вид функции ь(1) Рис. 51. можно указать непосредственно. Путем изменения единиц измерений и поворотом системы координат можно привести область годографа к виду (рис.
51, а) 0<агд~<~, о<!Ц<1. (5.8) Поскольку ег = г 1п!Ц вЂ” ф, область изменения переменной ог оказывается прямоугольником, ограниченным прямой Гсе (ог) = — й на 515е, 1гп (ео) = 1п о на Яг5г, Гсе (со) = 0 на 5г5, и !гп(со) 0 на 5г5т (см. рис. 50, б и 51,а). Следовательно, если й выбрано так, чтобы в неравенствах (5.2) было К' ( — 2'и о) (. а) 5.9 К 132 Гл.
(т. Обтекание нескольких нластин то область ео может быть отображена на параметрический пря- моугольник Р (5.2) путем только горизонтального переноса и изменения масштаба. Тогда м+ — = — — /, 2 2К (5.9б) м— тьк Г = Š— ти = е (5.9в) Итак, функция /1~ (Т) (5.6) сводится в рассматриваемом случае к действительной постоянной — й/2К. Представляет интерес течение, изображенное на рис.
51„ б, потому что оно показывает математическую неопределенность симметричных течений Бобылева, уже обсуждавшихся в гл. 11, п. 2 — 4'). Аналогичную неопределенность имеет и течение Ретн около угла канала (рис. 51, в) ь). Заштрихованная застойная зона физически неустойчива.
Наконец, на рис. 51, г изображено колено трубы с постоянной (теоретиаески) скоростью на обеих границах перегиба; это течение обобщает течение Реги, исследованное в гл. Ш, п. 10 (см. рис. 29, б). Во всех случаях производная комплексного потенциала с/))/т/дТ = й(Т) в формуле (5.1) имеет простое выражение,' которое можно получить по теореме 2 гл. П1, В случае течения, изображенного на рис. 51, б, находим с1)тт С бт (т — т,)е ' (5.10а) 1 где Т, = †, поскольку комплексный потенциал %(Т) имеет й' полюс в точке 5о Для данного )1 существует только один существенный параметр и < 1; он соответствует избыточному давлению в гипотетической застойной зоне. В случаях течений, показанных на рис. 51,в и 51, г, можно установить, что (5.10б) с)Т (Т Т~) (т та) Комплексный потенциал течения, изображенного на рис.
51,в, имеет особенность в точке 54, где Т, = 1/й; на рис. 51, г имеется по особенности на каждой из двух пластин, так что — 1/й < Т, < — 1, 1 < Т, < 1//г Во всех этих случаях имеется в точности две струи и в формуле (3.30) гл. П1 п~ = 2 и по = пе = пл = и, = О. Чтобы иметь точку возврата на свободной границе, должно быть 2+ пл ) 3, т. е. необходимо большее число струй. В частности, на рис. 52 представлен такой случай, который иллюстрирует неопределенность асимметричных течений Кирхгофа — Рэлея'), 1ЗЗ Е, Метод отражения на верхней стороне на левой стороне, на правой стороне. На границах отраженных прямоугольников функция ь ведет себя так же, как и в основном прямоугольнике Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
