Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Гл. 1е. Обтекание несколькик пластин Наиболее интересен частный случай предельного неограниченного течения Рябушинского при и, = 0 (рис, 60,в). Тогда половина этого течения представляет полубезграничный поток, комплексный потенциал которого (1т = Т-' и вп и + вп и +Е(п) — А' п~, (536а) где Е(и)=Е(и, к)= 1 бп'гс1г' — эллиптический интеграл вгое рого рода 187]. Соответственно, если Е = Е(1, к) и Е' = Е(1, й'), то в 2А' (5.36б) 2а=2й ' !Š— А~К + й ], 1=2й ' 1Š— й К1, (5.36в) С, 2е 2(1+Е)(е — л'к'1 (5.36г) ри~ Ь Е вЂ” Ге~К +к Интересно сравнить модель каверны Рябушинского с моделью возвратной струи (гт.
! Н, п. 8). На диаграмме 11 приложения обнаруживается поразительное совпадение этих моделей во многих отношениях при числах кавитации до Я = 0,4 "). Это совпадение относится к передним половинам профилей каверны, к коэффициентам сопротнвлення Св = 0,88 (1+ 1,!) и к другим геометрическим параметрам, показанным на диаграмме 1! и описанным в гл.
1!1, п. 8. Таким образом, эти две модели дают почти идентичные результаты для минимального числа кавитации пластины в трубе (гл. 1, п. 11). В литературе были рассмотрены различные обобщения течения Рябушинского, а именно: течения около наклоненных пластин (см. п. 12); течения около параллельных пластин, помещенных перпендикулярно к потоку в бесконечной струе"); течения Рябушинского около симметричных пар клиньев с углами 2р при вершине. Последние из упомянутых течений можно исследовать с помощью метода годографа.
Если т! = ьва'и и и = (1в! ' — (г1)!2, то (при нормированных переменных) )ьт=и/утив+ 1пва, где а определяется числом кавитации Я. В случае 8 = к/4 комплекс. ная координата г(и) выражается через эллиптические инте. гралы очень просто. 1О. Соударение струй, истекающих из сопел. П. Рассмотрим теперь общий случай двух соударяющихся струй, вытекающих из сопел, направления которых составляют между собой иеко- 10. Соударекае струй, истекающих ие салех. 11.
161 торый угол 6 (рис. 61, а). Предположим, что внешнее давление постоянно, так что ф = 1 иа всех свободных линиях тока, если выбраны подходящие единипы измерений. Течение можно отобразить на параметрический прямоугольник й, как в п. 1 (рис. 61, б), так что функция зп Г с соответствующим модулем а будет отображать течение на верхнюю полуплоскость Т. !т гс! т Ях ' е !~зт ,3! с "к ле гс/ Рис. 61. Если считать, что отходят две струи, то комплексный потен. циал течения должен удовлетворять уравнению ~Л7 с (Т вЂ” А) (Т вЂ” А') ~~ а! АТ 4 .ТА Т вЂ” Т,' Ц (Т вЂ” Т,) т=! (5.37) как и в гл.
1П, и. 4. Здесь масштабный коэффициент с является действительным, Т = А соответствует внутренней критической точке, А* — величина, комплексно сопряженная с А, а Т! соответствует приходящим и отходящим струям (бесконечно удаленным точкам течения). Поток жидкости из точки Т! равен кй; = 41! и ~~'.~й) — — 0; поэтому УУ(Т) содержит семь произвольных действительных параметров. Далее, из наших предположений следует, что функция ~ = е(1) обладает следующими свойствами: 1) е(г) регулярна в прямоугольнике й, 2) ~е(!)! = 1 на его горизонтальных сторонах, 3) е(() принимает действительные значения на правой стороне 5,5, прямоугольника 11, 4) агу е(Г) постоянен на его ЛЕВОЙ СТОРОНЕ 5З54, 5) Е(с) ОбращаЕтСя В НУЛЬ ТОЛЬКО Прн 1 = а (где зп а = А) в прямоугольнике К.
Кроме того, вполне правдоподобно, что годограф течения представляет собой единичный круг с двумя разрезами, наклоненными друг к другу под углом 6, как показано на рис. 61,в. Поскольку эта конфигурация зависит от трех параметров, 1а2 Гл е'. Обтекание нескольких пластин р= —,!по ' — —,[2 ~!ш(а„)+~!ш(Ь )1. (5.38) В случае годографа в виде кольцевого сектора (и. 3) выражение в скобках обращается в нуль, а формула (5.38) сводится к формуле (5.9а).
В случаях течений, рассматривавшихся в и. 5 — 9, формула (5.38) предполагалась выполненной в силу соображений симметрии; так, в и. 5 е(Г, 1К'/2, А) = = сап (/ — /К'/2). В данном общем случае соударяющихся струй, вытекающих из сопел, формула (5.38) сводится к фор- муле 2а !га (а) К' (5.38а) или !ш(а) = — р —, К' 2а ' (5.38б) которая показывает связь параметров а и р.
В общем случае формула (5.38) получается из следующей леммы. Л ем ма. В любом основном прямоугольнике двоякоквизипериодической функции число нулей равно числу полюсов. Кроме того, если га1 и еае — квазипериоды, а1 и ае — соответствуювгс множители, зд — нули, а рь — полюсы, то (5.39) Д о к а з а т е л ь с т в о. Разность между числом нулей и полюсов равна суммарному вычету логарифмической производной, который, поскольку логарифмическая производная является эллиптической функцией, обращается в нуль [871 Чтобы доказать второе утверждение, используем следующее соотношение [87, т.
1, стр. 1681: с где С вЂ” граница основного прямоугольника квазипериодов. Разбивая контур интегрирования С на участки вдоль сторон прямо- возможно также, что функция е(1) = е(/, и, А) определяется модулем й прямоугольника В и комплексным числом а. Будем считать это предположение частным случаем следующего обобщения теоремы 3. Теорем а 4.
Если выполняются условия теоремея 3 и если критические точки функции Ь=/(/) расположены в точках ае внутри прямоугольники и в точках Ьь на его границе, то П. Общие формулы угольника и учитывая квазипернодичность функции 1(г), полу- чаем ьь а'мыть и~щ им ы"ч1 а ел а имщ агш, и но, 1 а = а, (! и аз+ й12к!) — ыз (!п и1+ йз2к1), что и дает формулу (5.39).
Чтобы применить эти результаты к функции 5, положим ы,=4К, ы,=2)К', )ии,=21р и а,=о'. Пусть основной прямоугольник квазипериодов определяется неравенствами — К~(йе(г) < 3К, — К' < !ш(г) < К'! заметим, что нуль а внутри прямоугольника й дает в результате отражения еще один нуль в точке а' = 2К вЂ” а* и два полюса в точках а" и а'*, в то время как нуль Ь, расположенный на границе, не дает никаких новых нулей, хотя дает еше полюс в точке Ь*. Используя далее формулу (5.39), получаем формулу (5.38).
Т е о р е м а 5. Перечисленные выше свойства 1) — 5) определяют функишо е(Г) = е(Г, а, й) с точностью до знака. Дик аз а тел ь ство. Согласно теореме 3, функция е(Г) является двоякоквазипериодической функцией с квазипериодами 4К и 2!К' н соответствующими множителями ежа и о2. По свойству 2) и = 1, и, следовательно, 4К есть период.
Из формулы (5.38) следует, что, поскольку о = 1, параметр р=2к)т(а)/К' определяет множитель ежа. Отсюда, согласно лемме и. 4, свойства 1) — 5) определяют функцию е(г) с точностью до постоянного коэффициента с. Но, согласно свойству 2), !с! = 1, а, согласно свойству 3), коэффициент с — действительная величина; чем и завершается доказательство. Из проведенного обсуждения формул (5.37) и (5.38) видно, что общий случай соударяющнхся струй с единичной скоростью на всех свободных линиях тока зависит от 7+ 1 = 8 параметров (параметр А определяет а, но не й). Однако геометрическая конфигурация сопел зависит от семи параметров (величины р и относительного положения краев сопел).
Следовательно, как и в случае свободно соударяюшихся струй (гл. П1, п. 4), течение естественными физическими условиями не определяется. 11. Общие формулы. Покажем теперь, что функции е(г'; а, в), определенные в п. 10, могут быть использованы для вывода выражения комплексной скорости ь(Г) в общем случае, описанном в и. 4 (н в теореме 4 п. 1О). Гл. У.
Обтекание нескольких пластин Теорем а 6. Комплексная скорость любого течения, удов- летворяющего условиям 1) — 4) п. 4, имеет вид К-~ ч=+ о "" Пе(/; ар А)Ие(/; Ь„, й), (5. 40) регулярна в прямоугольнике периодов, имеет простой нуль в точке го ('и не имеет никаких других нулей), равна по моду гю единице на вертикальных сторонах, а ее аргумент остается постоянным (модуля к) на горизонтальных сторонах. Д о к а за т ел ь ство.
Доказательство сводится к простой проверке. Проведем ее для случая 1гп го + н-кт/4, так как в другом случае оно еще проще. В соответствии с известным расположением нулей тета-функций, сразу видно, что Ь является регулярной функцией. не имеющей никаких других нулей, кроме го = хо + 4уо. На правой стороне прямоугольника г = к/2+ ез, где а; — внутренние нули функции ь, /т„— нули на границе прямоугольника К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойств функций е следует, что правая часть формулы (5.40) имеет простые нули в точках аь в„, единичный модуль и модуль о соответственно на нижней и на верхней сторонах прямоугольника 11 принимает действительные значения на правой стороне прямоугольника й и имеет постоянный аргумент модуля к на его левой стороне. Однако, согласно формуле (5.38), эта постоянная равна 8 и, следовательно, на основании теоремы 3 правая часть формулы (5.40) действительно должна совпадать с ь.
Очевидно, что теорема 6 указывает на важность функций е(1, а, й) для теории течений, ограниченных двумя пластинами и двумя линиями тока. Учитывая значимость этих функций, имеет смысл вывести их выражение через тета-функции Якоби (87, гл. ХХ11 Это будет, вместе с тем, доказательством существования функций е(Г; а, А) для любого комплексного 1аЕ 11 и для любого модуля й, 0 < й < 1, Подробно все сказанное можно сформулировать в виде леммы. Л е м м а. Если го является какай-либо точкой основного прямоугольника с вершинами в точках — кт/4, — кт/4 + к/2, кт/4 + к/2, кт/4, то функция ( О4 (2 — хо ! 4) 04 (е — ео ! х) , если 1щ(хо) Ф+— Ь(а, хо, )= О,(, + ОД О4 (е + г ~ ) 4 (5.41) О4(г — ео~') кх 1 О, (х+ еь / х) ' если 1щ(го)=+ о, П.
Общие формулы где а — некоторая действительная величина. Однако [871 Во(41 т) = 94 (4+ — ~ з), ВО((! т) = 94 (г+ — / з) и, следовательно, м1 и '1 И вЂ” хо+ з (з — Уо) + — Оз — хо + з (з + уо) + — ~ 2) 2) Вз (хо+а(з Уо)+ Вз хо+а(е+Уо)+ — ~ 2/ 2) Вз( — ха+а (з уо)) "з( оо+з (о+ уз) ) Вз (хо з (з — уо) ) Вз(хо з(о+уо) ) Поскольку Во и Вз — четные функции, принимающие сопряженные значения в сопряженных точках, то должно быть !И! = 1. То же рассуждение верно для левой стороны прямоугольника На его нижней стороне г = — кт/4 + з (з действительно) и И Оз (е хо — ) 94 (е хо ) Оз (о+хо — — ) 94 (о+хо — 4 ) Используем известное тождество 9, (г) = — (з) ~ бн94 (г + ит/2) откуда 9,(г — ззт/4) = — Й)чбн94(г+зат/4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
