Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Огй. Еаб. Мегло,, 8718 (!946), а также Г у р е ни ч М. И., Иза. А(7 СССР (!947), 143 — !50]. м) О пластинах в струе см. работу [9, ч. 1!]; предельный случай сливаю- шихся струй был изучен Чизотти, С!зо11! О., )!ела, Ассов'. Е!псе(, 21 (19!2), 583 593; 22 (!9!3), 417 †4, 580 †5. О течениях Рябушинского около клиньев см. статьи С о 1о п е11! О, (примечание 17); Р! е за е1 М.
5., 5 с Ь а((е г Р. А., У. Арр!. Рлуз., 19 (!948), 934 — 939; А г п о(1 Е. йгаоогг( ((ер., 1298 (195!); Р е г г у В., Са!. Тесй. Нубго. ЕаЬ. Кгр1., 21 — 11; [102, стр. 125 — 135]. т') См. [ЗЗ, 9 10, !!]. т') )г ! 11 а 1 Н., Апл. зсг. ес. ногль зир., 35 (1918), 251 — 312; Тощ о1(й а, Н а з(ш о1о, Арр1.
Месй. )7еоз., 2371 (1950). Гл. И Обтекание нескольких пластин зе) Ч111а1 Н., Апж ]ас. зсй Тои1оизе, 5 (!913), 375 — 404; [20], [22]; см. также М о г1 оп %. В., РЫ!. Маа., 41 (1921), 301 — 308; 48 (1924), 464 — 476, з') См. Р о о!е Е. С, С„ргос, йлй Май. 5ос„22 (!923), 425 — 453; 25 (1926), 195 — 212; 26 (1927), 148 — 158. КРоме того, см. 7 5)ту )т., Алл, зсй ес, погас зир., 38 (! 921), 229 — 329; [36, гл, т], м) Л1етод исследования принадлежит Гопкинсону [32], который первым применил метод отражения в плоскости годографа. м) Допуская, что эти пластины становятся бесконечно длинными, можно получить предельный случай течения, рассмотренный Гринхиллом [331 Интересный случай вихря в струе, вытекающей иэ сопла (отклоняющий вихрь), был рассмотрен в работе 5 )щ щ о из Ы., (гиаг1.
7. Май., 1О (1939), 283 — 311, См также Р)т(1. Ма и., 31 (1941], 81 — 102. Другие случаи течений указаны в работе [37, гл. Ъ'1!]. ы) Бриллюэн ссылался на следы, для которых, однако, его принцип ие всегда справедлив [31, гл. 1!]. Все же каверны с точкой возврата никогда не быди воспроизведены экспериментально. Работа Вилла напечатана в Алж [ас. зсй Тои1оизе, 5 (1913), 375 — 404, см. в особенности стр.
402. и) 812)т1)Н11 М., А)7С )тМ, 2328 (1945). Простые примеры с бесконечными скоростями см. в работе С1з о 111 ()., Апл. зси, пепл, Рйа, 1 (1932), 101 — 112; 5 с Ь |п ! е б е п С., йиЩогзсйи., 17 (!940), 37. Приближенные рещения для круговых цилиндров см. в раба~ах Ко!зс)тег М., 5иЩогзсйа., 17 (!940), 154 — 160; [79, стр. 1591 См. также А!! е п Гт.
Л). бе С., ь!иагй /, Месй, а. Арр!, Май., 2 (1949), 64 — 71. ы) См. [63] и Р ос1с1(п а! оп Н. С., Ргос. Саюйг. РЫ1. 5ос., 8 (1894), 178 †1. ы) См. [63); ]ЗЗ, 6 38 и $ 45 — 47]. Если течение отражается относительно вихря, как в гл. ! т', п. 3, то получается течение между двумя концентриче. скими и подобными правильными многоугольниками. гллвл ы Криволинейные препятствия 1.
Параметризация с помощью полукруга. В настоящей главе мы рассмотрим плоские стационарные течения идеальной жидкости со свободными границами около криволинейных препятствий. Задача определения таких течений в ряде случаев может быть сведена к решению нелинейных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Мы опишем некоторые течения, полученные при численном решении таких уравнений, н дадим их физическую интерпретацию. Существование решений будет доказано в гл. ЧП, а метод их получения будет описан в гл. 1Х, п.
8, В п. 1 — 6 мы рассмотрим случай разделяющейся струи, предполагая, что течение удовлетворяет условиям 1) — 3), гл. 1Ч, п. 1. Пусть струя ширины и' разделяется криволинейным препятствием Р на две ветви Уь Уз (рис. 68, а) '). Обозначим через С точку разветвления течения, а через А и  — точки, в которых поток отрывается от Р. Предположим, далее, что Р имеет конечную длину и конечную кривизну'), кроме, быть может, точки С, в которой граница Р может образовывать угол ря радиан. Мы предположим, что поток ограничен твердыми стенками (смоченная часть АСВ препятствия Р) и свободными линиями тока при постоянном давлении. Как обычно, выберем единицы измерений так, чтобы было 4 = 1 на свободной границе, а действительную ось направим параллельно биссектрисе угла АВС.
Пусть ь обозначает (как и в гл. Пу, п. 7) угол между положительным направлением действительной оси и касательной к границе Р, положительное направление которой выбираем так, чтобы поток оставался слева. Тогда .(С')=~(С ) — (1 — Й . (6.1) Далее, если 1 — длина дуги вдоль границы Р, отсчитываемая от точки С, то естественное уравнение кривой ~г (1) (6.2) Гл.
р!. Криволинейные ~ренятетеия определяет положение Р в физической плоскости (с точностью до параллельного переноса). Следуя Леви-Чивита (53], отобразим односвязную внутреннюю область течения конформно и взаимно однозначно на внутренность полукруга (рис. б8, б) Г, (?( < 1, 1ш(?) > О, (б.З) Согласно основной теореме конформных отображений существует единственное взаимно однозначное преобразование ?? /~,l .1 А Рис. 68. ? = 1(з) области течения в область Г, которое переводит точки А, В и С соответственно в точки ? = 1, — 1 и й Это преобразование Г(г) отобразит свободную линию тока на действительный диаметр, а смоченную часть дуги препятствия Р— на дугу ( = е" области Г, как показано на рис. 68,а, б, В этом имеется отличие от параметризации, применявшейся в гл.
11 и 111, Чтобы выразить комплексный потенциал, удобно отобразить Г на верхнюю полуплоскость посредством преобразования Г+г ' ВТ 1 — г Г=— 2 ' й? Согласно теореме 2 н замечанию 5 гл. 111, комплексный потенциал должен удовлетворять для некоторого М* ) О уравнению «((Р Л4 "Т ЫТ (Т вЂ” Тр) (Т вЂ” Т,) (Т вЂ” Те) 169 2. чьунннил Й(>) поскольку внутренних критических точек нет, а точке развет- вления / = 1 соответствует Т = О. Чтобы включить предельные случаи, когда одна или более точек Ть = сс (заметим, что в лю- бом случае ~>Тд~ > 1), перепишем это уравнение в другом виде (6.5) ит Ц (1-.ьт) где М>0, — 1<а„<1, иь=Т„'.
2. Функция ь1(/). Из соотношения (3.30) гл. 111 следует, что внутренние критические точки отсутствуют. Следовательно, с(/) — аналитическая и регулярная функция, не обращающаяся в нуль ни в одной точке области Г. Мы докажем теперь, что ~ не абра>цается в нуль ни в одной точке замкнутой области Г, отличной от С. Указанные факты интуитивно правдоподобны. Действительно, так как ь = (с((Р/дг) = (с/Ю/с/Т)/(дТ/с/г) на свободной линии тока нигде не обращается в нуль, то Т = ьь можно не рассматривать. В других точках области Г, согласно (6.6), с/)Ут/с/Т эь О, за исключением точки С, в которой Т = О, а с/)р'/дТ имеет простой нуль.
Поскольку с/Т/с/г + 0 или со при Т Ф 0 и йТ/йг-Т'-а вблизи Т = 0 (это — классические результаты для конформных отображений) '), то тем самым доказательство завершается. В частности, в окрестности точки Т = 0 функция ь- Та, откуда следует, что если только точка С не есть точка возврата (6=0), то в ней >.=О. Рассмотрим теперь функцию (1 — /)/(1+/) = (1+>2)/(1 — 1/). Ее модуль равен единице при действительных /, а ее аргумент, что ясно из элементарных соображений, равен я/2 на АС и — к/2 на СВ, со скачком — к в точке С. Следовательно, новая функция ь)(/) = 0 + и, определяемая уравнением -~ е-"и>, >1+и >' (6.6) (,1-и ! 1 = ) С ~ = ! — ' — — ~ е' и> = е" >'>.
1-~->2»' 1 — >Т '1 (6.7) Итак, т(/) обращается в нуль на действительном диаметре об- ласти Г, т, е. функция ь)(/) действительна на действительном диаметре области Г. также аналитична и регулярна внутри Г. На свободной границе, где переменная / действительна, имеем !1+ //! = >1 — //! и, таким образом, находим 1то Гл. И. Криволинейные препятствия Отсюда следует, что, согласно принципу симметрии Шварца (гл. !11, п. 2), 1г(~) можно аналитически продолжить и получить функцию, регулярную внутри единичного круга и, как мы увидим далее, ограниченную на окружности. Соответственно можно записать 2 (г) = ав+ а,ф + атР+ (6.8) где все ае действительны, а радиус сходимости ряда (6.8) равен по крайней мере единице.
На смоченной части твердой стенки Ы = 1, а ограниченность 1е(1) эквивалентна, согласно (6.6), ограниченности ь(1) .при 1 ее ( (и ГйТа при 1 = 1). При более строгом исследовании можно показать, что функция ь)(1) даже непрерывна в единичном круге, включая границу (см. замечание в конце п. 3). Обратно, если задать функцию Р(г) в аиде ряда (6.8), непрерывную при !Г~ = 1, а также постоянные р, М, ав, а1 и аги то уравнения (6.6), (6.5), (6.4) и у - (Л (~т'), т (6.9) определяют разделяюгцееся струйное течение около препятствия Р с углом 8 в точке разветвления; остальная часть течения имеет гладкий контур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
