Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Случай гладкого твердого препятствия характеризуется теми же условиями и параметрами, причем условия отрыва задаются формулами (б.19'). Предельный случай стенки в бесконечном потоке включает только два параметра М и оо, которые, по-видимому, определяются двумя условиями отрыва, как и следовало бы ожидать из физических соображений. С другой стороны, случай поступательно и прямолинейно глиссирующего тела включает три параметра. Казалось бы, естественно предполагать, что один из них определяет глубину погружения тела. Это, однако, неверно, как уже было показано в гл. 1Н, п, б.
8. Аналоги течения Рети. Случай симметрично разделяющейся струи сводится при К(6) = 0 (плоская пластинка) к отраженному течению Рети вида, рассмотренного в гл. Н, п. 7 (см. рис. 19, а — в). Соответствующие схемы для случая криволиней- )в! 8.
Аналоги генениз Реги ного препятствия, помещенного симметрично в струю, вытекающую из прямого сопла (канала), показаны иа рис. 70, а, б"). Параметризацню Леви-Чивита можно модернизировать, отобразив половину потока на четверть круга. В результате отражений, как и в п. 2, 3, получается однозначная функция 1)(!) = а,! + аз!' + аз!' + , определенная в единичном круге; более того, геометрическая интерпретация п. 4 — 6 сохраняется без изменения, если ограничиться симметричным случаем и исправить выражение производной г()зуе(Т.
С д С н А А то Ю б Рис. 70. Для нахождения НГ,'г(Т применим преобразование г- ((+ + Р')з)4= Т', чтобы отобразить половину потока на полуплоскость. Тогда применима теорема 2 гл. 111 с заменой Т на Т', что дает й%' А(Т (6.20) дт (! — т т')(! — т т') ' где Т, и Т, соответствуют бесконечно удаленным точкам вверх и вниз по течению. Если п — скорость в канале и г( — его ширина, то, очевидно, ~гг' = (6.21а) Т-з Т-з После подстановки в выражение для с(1 (п. 3) граничного значения Т = †сов найдем з!и а (1 + яп а)з ! соз а )~ з (о)— (1 — аз созга) (! .+!а созга) ' где мы обозначили и= Тгз, 7= — (Тг . Очевидно, что и и т— действительные параметры и )и1 <1.
Формула (6.21б) может быть упрощена в случае симметрично разделенной свободной струи, так как при этом т = О, а также в случае криволинейного препятствия, симметрично установленного в бесконечно длинном канале (рис. 70, в), в котором а=О. 182 Гл. И. Криволинейные лрепягетвия При помощи отражения потока (рис.
70„в) относительно стенки канала можно получить симметричные струи, вьитекающие иэ криволинейных сопел, расположенных в конце бесконечных прямых труб. Рисунки 71, а, б иллюстрируют два случая с р = 0 и р = 1 соответственно. Более общие случаи струй, вытекающих из сопел, рассматриваются в п. 14. Рнс. 71. 9, Физические приложения. Большинство величин, представляющих физический интерес, может быть просто выражено через принятые нами основные параметры. Мы приведем несколько наиболее полезных формул и дадим некоторые, возможно, интересные количественные результаты. Если точке на бесконечности набегающего потока соответствует 1= 1з, то т = 2зД1 — з'). Отношение в (скорости на бесконечности в канале к скорости свободного течения) получим, используя формулу (6.7): ,а '11+в,) (6.22) Аналогично, если концам струй соответствуют точки = ~г', то а = 2г/(1+ г').
Соответствующие скорости Ь = е — еа на бесконечности выражаются формулой 8 = 2р агс юг — а,г — азгз — а,ге — .... (6.23) Зная в, можно вычислить ширину канала и' с помощью выражений для М и формулы (6.21а) е е (6. 24) Наконец, лобовое сопротивление равно проекции на горизонтальное направление разности потоков количества движения втекаюшей и вытекающей жидкости (см. гл. 1, п. 10): иМ (еоз а — о) В = пЫ (соз о — и) = и 'т' 9. Фиэические приложения Значительный интерес для приложений представляет случай препятствия с диаметром в бесконечном канале ширины с!.
В табл. 3 для твердых (почти) круговых цилиндров приведено изменение следующих величин: отношения скоростей Ш числа кавитации я = 1 — о-т, коэффициента сопротивления (отнесенного к скорости вниз по течению), параметра з и угла отрыва чг, в зависимости от отношения ог/Ь ширины канала к ширине препятствия. Изменение коэффициента Сп является меройвлияния стенки. Таблица 3 г М а, а, «1е сонгч ш 0,000 ~ 0,499 0,0 ~ 1,134 0,941 0,017 0,1 1,293 0,948 0,015 оэ 54,988' 1,000 Таблица 4 Твердый круговой цилиндр в свободной струе «~е 5 г а тэ 1грди д 1грдд1 0,7985 23,225 0,8337 0,3782 0,0446 0,0049 0,0008 0,0002 2,8571 Твердый круговой цилиндр в струе нз сопла а, аз д д 1гргд) 1,779 50,408' 25,409 0,888 54,968' 11,830 0,023 57,119' 15,709 0,186 0,200 0,400 0,419 0,200 0,289 0,5484 0,1129 1,1579 2,395 6,904 2,922 0,801 0,804 0,639 0,82? 0,940 0,999 0,045 0,007 0,017 0,002 — 0,006 0,004 В табл.
4 приведены аналогичные результаты для твердых круговых цилиндров, расположенных в свободных струях и струях, вытекающих из сопел. Числовые результаты были получены почти во всех случаях с применением трехточечной аппроксимации (см. гл. !Х, п. 8). Однако эти результаты 49,747 55,280' 0„899 14,026 56,159* 0,809 7,076 57,610' 0,729 4,522 59,596' 0,658 3,271 62,198' 0,597 0,236 0,526 0,880 1,306 1,809 0,621 0,778 0,974 1,216 1,495 0,499 0,503 0,509 0,518 0,527 0,532 0,2 1,394 0,972 0,007 0,3 1,428 1,010 — 0,006 0,4 1,718 1,063 ) — 0,026 0,5! 2,210 1,135 — 0,056 0,002 0,001 0,001 0,001 0,003 0,006 !84 Гл. РП Криволинейные иреивтствив й!р мт ат (!+тат')а где т = 5-' = 2зД! — за). В случае гладкого препятствия 8 = 1 а!и а (! + а)и а) ч(о)= 1-1- ас аав)а (6.27) Обратно, поток, соответствуюший решениям уравнений (6.27) и (6.16), будет иметь вид потока, показанного на рис.
72, за исключением того, что параллельные оси х линии тока ооС и 1)оо обычно будут проходить на различных уровнях. Эти линии тока будут совпадать, так что соответствие г и т при г = оо будет взаимно однозначным на бесконечности; оно будет давать каверны с заостренными концамн тогда и только тогда, когда вычет функции с(г/с(Г при т' = )з будет равен нулю или 2'((з)=а,— Зпазг+баазч — =2(1 — зт) ' (628) Это условие может быть записано в интегральной форме, если выразить (1'(г) по формуле Шварца [7, стр. 77) через его действительную часть на границе — ) (о), Учитывая, что Х(о) = = — ).( — о), получаем 2'(т) = — ~ ) (о), . (6.28') т(Г+т-') и л 1 — 2((+т ')"' соа и ") Или с точками возврата. — Прим. ред, прекрасно согласуются с более точными"') примерами расчетов по 24 точкам.
!О. Каверны с заостренными концами*). Симметричные каверны с заостренными концами (рис. 72) за выпуклыми препятствиями в бесконечном потоке также могут рассматриваться при помоши конформного отображения области течения на полукруг Г (см. рис. 68, б). Комплексный потенциал течения, очевидно, соответствует вертикальному диполю в бесконечно удаленной точке, образ которой в плот) скости г' обозначим через 1= )з. С и Пусть полукруг Г отображается посредством функции Т = А = — Ча(Г+ Г-') на полуплоскость Т и пусть т5 = — з)г(тз — тз-'), так Рис.
72. что 5 = (1 — з')/2з. Тогда по методу отражений (гл. 111, п. 2) комплексный потенциал %(Т) определяется вертикальным диполем в точке Т = 15 и его отражением в точке Т = — 15. Следовательно, М* )а ! оа (6.26) 185 1!. Воээратнме струи В симметричном случае формула (6.28') сводится к виду 2'(1)= ' — ~ Л(а) '" ' . (6.28") 1(1+1 ') э э 1 — 4(1+1 ') Эсоэтэ о При этом из (6.28) следует о Можно доказать (см. гл. И1, п. 6), что для данных т (т, е.
0 ( з < 1) может быть найдено такое положительное число М. Рнс. 73. для которого выполняется условие (6.28), и что имеется по крайней мере одно течение рассматриваемого вида для каждого отрицательного числа кавитации: сг'=" '(и) — 1=~ ) е-э( — "'+ о — 1, (6,29) 11+ээ 1 — 5 Следовательно, имеется однопараметрнческое семейство каверн с заостренными концами за данным выпуклым препятствием. Каверна с заостренным концом за круглым цилиндром при Я = — 0,2819 имеет коэффициенты з = 0,47, а, = 2,5026, а, = 0,0855, аэ = 0,02928, ат = 0,0065, аэ = 0,0066, Каверны с заостренными концами за круглыми цилиндрами были предварительно рассчитаны Кольшером "), а также Саусвеллом и Вэйси. Каверны с заостренными концами за некруглыми цилиндрами были рассмотрены Лайтхиллом.
11. Возвратные струим). Исследование симметричных возвратных струй не вызывает новых трудностей. Такое течение (рис. 73, а) отображается снова на единичный полукруг, причем свободная граница отображается на действительную ось, смоченный контур препятствия — на полуокружность, ось симметрии — на мнимую ось.
Тогда точки У и С отображаются 1зо Гл, рд Криволинейные иреилтегвил соответственно на точки ! = 0 и ! = 1, а бесконечно удаленная точка 7 и критическая точка 5 в потоке за каверной изображаются точками мнимой оси (рис. 73, б). Очевидно, что комплексная скорость Ь имеет простой нуль при 1(Я = 1, (см. гл. 1П, п. 8), так что если мы положим 1 — !!из <го — го )+<! — ! ) 1+И <го — !о ) — <! ! ) то 11(!) должна быть, как и в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
