Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поскольку угловой размер смоченной дуги контура препятствия, определяемой естественным уравнением к = К(0), не входит в интегральные уравнения (6.16) и (6.!6), легко предположить, что этот размер определяется выбором параметра М. Некоторые довольно важные теоремы, относящиеся к этому предположению, будут рассмотрены в гл. И1, п. 4 — б, Однако, используя (6.8а), (6.8в) и (6.10), легко показать, что угловой размер 20, смоченной части спрямленного препятствия ") определяется формулой 0,=а,+а,+а,+ ...
=-ю ~ ),(о)с!о. (6.17) о Далее, в силу формулы (6.!7) лобовое сопротивление равно 1) роМ (2 — о,)' 4 (6.18) Отсюда можно просто вычислить коэффициент лобового сопроти~вления Сп, отнесенный к поперечному сечению смоченной части препятствия. Очевидно, что условием существования каверны с нулевым лобовым сопротивлением является а~ = 2. В табл. 1 приведены угол отрывав„параметры М и Сл, а также коэффициенты аь аз, аь, аь а, для кавитационных течений около нескольких симметричных препятствий "). Метод расчета описан в гл. 1Х, п.
8. 6. Условие отрыва Бриллюэна — Вилла. Расчет угла отрыва в случае гладкого твердого препятствия ранее не затрагивался. 176 Гя. Л. Крмеолинеанате препятствия а< а а Форма прспптстппп ! — 0,00433 — 0,00149 ) — 0,00065 — 0,00079 0,00003 0,00205 0,02420 0,00045 — 0,00296 0,00504 0,02616 О,!0667 0,26704 0,52628 0,7781! 1,02294 1,93914 — 0,41618 — 0,85256 0,83302 1,15648 1,53506 15' 30' 45' 60' 120' — 22,5' — 45' 45' 60' 75' 0,8! 912 0,76288 0,67766 0,57024 0,00766 0,93330 0,96694 0,66478 0,52856 0,32358 О,! 8196 0,44723 0,81727 1,31730 5,26837 0,15579 0,2! 397 1,24304 3,27640 14,22544 Выпуклые дуги ок- ружности 0,00746 0,02165 О,! 1679 ! 0,02263 0,06912 — 0,05185 — 0,13067 — 0,31076 Вогнутые дуги окружности Луги параболы Препнтствин с нулевым сопротивлением дуга окружности дуга аллипса 1:2 дуга аллипса 2:! 124,2!' 1! 0,44' 140,58' 2,00000 0,12518 0,02661 2,00000 — 0,17274 0,10861 2,00000 0,46700 0,0! 776 0,0 0,0 0,0 5,7! 464 18,03904 2,03057 В случае следов действительное положение точек отрыва зависит от нескольких физических параметров (см.
гл. 1, п. 6). Однако в случае наполненных паром каверн и в более общем случае наполненных воздухом каверн за высокоскоростным снарядом ") можно использовать любое из четырех довольно простых требований, впервые отмеченных Бриллюэном (13, стр. 18). В этих случаях (см. гл, 1, п. 13) можно утверждать, что давление должно быть минимальным в каверне. В противном случае даже незначительные изл!енения коэффициента давления Ср — — р/(!/арв') вызывали бы кавитацию в других местах, Это означает, что свободные линии тока должны изгибаться в сторону каверны, т.
е. в направлении отрицательного градиента давления (гл. 1, п. 13, теорема 2). Из теоремы Бернулли следует, что это также эквивалентно условию максимума скорости на свободных линиях тока. Для того чтобы при указанной кривизне свободных линий тока течение не проникало внутрь твердого препятствия (имеющего по предположению п. 1 конечную кривизну), свободные линии тока должны иметь конечную кривизну в точках отрыва А и В. /(ействительно, местная кривизна препятствия не может быть превышена. Вилла (21! дал точную математическую фор- 177 б. Условие отрыва Бриллюэиа — Вилла Таблица 7 аг агэ а, а,г г -0,000! б — 0,00006 — 0,00023 — 0,00009 -0,00010 — 0,00005 0,00037 0,00011 0,00146' 0,00078 ) 0,00046~ 0,00029 0,00004 0,00002 0,0000! ~ 0,00001 О,ОООси О,ОООГО 0,00767 ~ 0,00308 0,00025! 0,00008 0,00076 ' 0,00010 -0,00080 0,00005 -0,00636 0,00164 -0,04493 0,02059 0,00013 0,00003 0,00002 0,0000! 0,00007 — 0,00004 0,00001 — 0,00253 0,00128 — 0,00046 — 0,00992 0,000! 2 0,00496 — 0,00067 — 0,00032 0,00858 -0,02371 -0,03348 0,00024 — 0 00014 0,00035 0 00078 0,00349 0 01655 0,00167 0,00089 0 00448 0 00330 0,00053 — 0,00089 0,00065 0,000! 8 0,00016 0 00022 0,00003 ! 0,00017 0,00024 — 0,00675 0,00480( 0,00320 12 г.
зврктачг мулировку условия, при котором выполняется четвертое требование Бриллюэна. Т е о р е м а 3. Кривив!!а в точках отрыва А и В, в которлтх 1= ч-1, бесконечна и направлена в сторону каверны, бесконечна и направлена от нее или же равна кривизне контура препятствия при следующих условиях соответственно в точке А: с'(и) > — р, с'(тс) < — р или ч'(гс) = — р (6.19а) и в точке В ч'(О) < р, "'(О) > р или ч'(О) = ч. (6,196) Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы является просто новой формулировкой утверждения теоремы 6, гл.
1У, выраженной через функцию й(с) = 8+ ст. Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция оэ = 11п ь (гл. 1Ч, п. 7), согласно определению (66), равна й(7) + (р )п((1+ с!)~(1 — ЕЕ)). Утверждение теоремы теперь очевидно. Так как ч'= — ~~р~йавсозйа, то первое равенство в сформулированном ниже следствии также очевидно (см. (6.14а)). Предельная форма интеграла Пуассона позволяет выразить производную т'(о) через сопряженную ей функцию — 7.(о) и получить второе равенство следствия. Гл. РК Криволинейные препятствия 178 С л е д с т в и е.
Кривизна симметричной разделенной струи конечна в точке отрыва тогда и только тогда, когда Р =а, + За, + ба, + ... = — ) > (о) созес о с!о. (6.19в) 1 о Из этих двух формул более общей является интегральная. Мы будем ссылаться на условия (6.19а) — (6.19в) как на условия для гладкого отрыва, а каверны, удовлетворяющие этим условиям, будем называть кавернами за твердым препятствием. Таблица 2 Форма препятствия ср и, па 9 "т 0,49656 2,860! б 0,60838 1,13593 0,66520 0,66949 0,53426 0,46336 0,64328 0,86336 1,! 9982 0,94277 0,79162 0,68893 0,85378 — 0,08574 0,0!643 0,05838 0,07902 0,03769 55,04 49,06 51,42 0,01438 0,00123 0,00544 0,01140 0,00488 — 0,00262 0,00017 0,00063 0,00180 0,00088 0,00055 0,00004 0,00011 0,00033 0,00019 Эллипс 1: 2 Окружность Эллипс 3:2 Эллипс 2:1 Циклоиаи В табл. 2 приведены параметры т!4, аь... а, для симметричных каверн за различными твердыми препятствиями вместе с соответствующими углами смачивания 4а, и коэффициентами сопротивления Ср").
На рис. 69 показаны свободные линии тока в случае твердого кругового цилиндра. 7. Несимметричный случай; проблема параметров. В несимметричном случае задача определения параметров сильно усложняется. Если препятствие имеет острый угол, то во избежание бесконечных скоростей точка разветвления должна находиться в его вершине. Теория, изложенная в п. 1 — 4, применима также и здесь, с)днако задача переопределена, как и в Рис.
69. случае клина (гл. 11,п. 4). Существуют только четыре свободных параметра, которые должны удовлетворить пяти условиям, а именно условиям отрыва потока от препятствия и получения определенных ширины набегающей струи, ее направления и расстояния от вершины препятствия до средней линии струи. 7. Несимметричный случай; ароблема нарометрое 179 Случай гладкого препятствия 3 = 1 лучше рассматривать в условиях первоначальной параметризации Леви-Чивита (53!. !1ри этом область течения конформно отображается на полукруг Г (6.3) так, что дуга АСВ переходит в дугу окружности, а свободная граница — в ее действительный диаметр.
Однако поток повернут так, чтобы набегающая струя была параллельна положительной части действительной оси, и бесконечно удаленная точка У набегающей струи переходит в точку Г О. В симметричном случае точка разветвления С также отображается в точку г = ~', и поэтому результаты п. 1 — 6 применимы. Однако в общем случае образ точки С((о = е" ) неизвестен, как и образы г!, !з бесконечно удаленных точек отходящих струй. Согласно (6.5), имеем ~ПГ М(Т вЂ” Т,) йТ (1 — а, Т) (1 — а«Т) где То= — (то+ то )~2, а! = — 2!(!т+ (т ). Вместо (6.6) запишем (.
'= "', ета«1, (),(~)е йтф+(ч!((). (6.6') !со-' — 1 т'а «Л,(а)е™ аь(а)=Ф+(2 — ао) т()=М«!(а)е-™ ч= М«, (а) где ф — угол между положительным направлением касательной и осью у, а з! о а (1 — с аз (а+ а,) ) «,(а) = (1 — а, соз а) (1 — ат с аз а) ' Интегральное уравнение Вилла принимает вид 1(а) =тИ ~ «!(а')е-с!о!'!">Не(ат; о (6.! 5') аналогичное уравнение для кривизны записывается в форме Л! — М«,К() !Л, — ао) е- ои ао 2 ао (6. 16') Функция з)!((), как и з)(т), регулярна в круге !т! < 1, действительна на действительной оси и непрерывна на границе. Тео.
рема 1 выполняется при подстановке з)! вместо з). Кроме того, з)!(О) = О, так что в разложении, аналогичном разложению (6.8а), ао = О. Согласно геометрической интерпретации, получаем, как и в п, 3, !"в. Л. Криволинейные нреиятствив Здесь В(1) означает направление касательной как функцию длины дуги, измеряемой от крайней точки А; К(ф) — кривизна препятствия как функция от направления касательной; 31 — ' интегральный оператор е .1,«=д„+ ~ «.(.)й., Наконец, условия для гладкого отрыва в точках А и В соответственно принимают вид т (ее) = — 18 —, т (О) = с18 —. С применением функции «и(а) эти условия выражаются в виде — ~ «ч (о) 1ц — ' с(о = 1п — ", — ~ «ч (о) с19 — йо = с1д — '.
(б.19') о о Написанные формулы показывают, что интегральное уравнение (6.1б') зависит от четырех действительных параметров М, оо, 1ь йь В любой разумной математической формулировке физической задачи следовало бы ожидать равенства числа свободных параметров и числа естественных геометрических или физических условий. Это требование «разумности» выполняется в случае гладкой стенки, помещенной в струе, в которой должны выполняться четыре условия: два условия отрыва, одно условие, определяющее ширину набегающей струи, и еще одно условие, задающее расстояние, скажем, от точки А до средней липин струи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
