Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 35
Текст из файла (страница 35)
2, регулярной функцией, принимающей действительные значения на действительной оси и обращающейся в нуль в начале координат. Комплексный потенциал, имеющий логарифмическую особенность в точке У и простой полюс в бесконечно удаленной точке 1, должен удовлетворять уравнению йи' 2й т<т' — тоо) — (!+1-1 — — где Т = (6 31) йт <то — то)а 2 1см. формулу (3.20), в которой переменная Т является обратной и противоположной по знаку величиной по сравнению с принятой здесь). Из (6.30) и (6.31) получим ч(а! — з1п а(Соз а! (1+ з1п а) ~ ',т ", ), (6.32) где иМ те «2 = — —. 2 а" т — — !То а =- е Т! Кроме того, так как функция г(!) должна быть однозначной, вычет производной с(г!Ж = ь-'е((Р/Ж должен быть равен нулю при ! = г!. Непосредственным вычислением находим, что нз этого условия следует соотношение 12'(г ) = (1+ Ф 1+ ' 1 ~1 — ( 21 —,„,) ~.
Используя (6.28и), можно также записать соотношение — ) ) (а) 'е)а = р — т . (6.32') 1+лесовое и(и+тел!+ае) о 12. Течения Рябушинского. Симметричные течения Рябушинского (см. гл. Ч, п. 9) вида, изображенного на рнс. 74,а, можно исследовать подобным же образол1. Половина такого течения (т. е. его часть с одной стороны от оси симметрии) конформно отображается на единичный полукруг Г с разрезом 12.
Тенения Рябушинского вдоль мнимой оси, так что свободные линии тока отображаются в действительный диаметр, половина смоченной части контура препятствия отображается на четверть окружности, а разделяюшая линия тока отображается на разрез (рис. 74, б). Обе критические точки С и С' переходят в точку г = 1 по обе стороны разреза, а бесконечно удаленная точка ! переходит в конец разреза. В силу симметрии функция ь(г) однозначна на единичном полукруге, включая разрез, так что соотношение (6.6) применимо. Замечая, что функция "г 7 — Тг отображает яГ е 2 р с,с р я Рис.
74. область изменения переменной Т на полуплоскость и применяя теорему 2 гл. 111, получаем выражение комплексного потенциала Ю=М 74г )(т' т, '' где М ) О. Далее, используя формулы (6.6), (6.9) и (6.11) (при Р = 1), найдем 5!П а (1 + Е!П а) (6 33) (1 + иг соя а а) Ь где и= ТТ' = — 2гг/(1+г)). В табл. 5 приведены данные, полученные для течений Рябушинского около твердого круглого цилиндра посредством Таблица б срц! г Е! ср а( 54,988' 55,143' 55,431' 0,499 0,568 0,621 0,499 0,500 0,503 0 0,06 0,10 1,134 1,150 1,178 0,941 0,945 0,952 0,017 0,016 0,013 0,002 0,002 0,001 0 0,135 0,235 188 Гл. 'ел Криволинейные иреяятетвия трехточечной аппроксимации при подходящих значениях Я = = 0,135 и Я = 0,235 (см.
также случаи 23а — 23с и 24 в работе, указанной в примечании 15а). 13. Решетки профилей. Кавитационное обтекание решетки пластин было рассмотрено Бетцем и Питерсоном [51 и применено к расчету крыльчаток насосов Гонгвером "). Эта теория может быть распространена на случай периодического расположения криволинейных препятствий (решетку дужек), изображенных на рис. 75,а"). Для расчета течения применим параметризацию, описанную в п. 7, и отобразим область течения через решетку на бесконечнолистный единичный полукруг 1 Ф Рис. 75.
(рис. 75, б) с точкой разветвления во внутренней точке 1 = 1в соответствующей бесконечности перед решеткой; при этом дужки отображаются на полуокружность с точкой разветвления 7 = 1в = е'", а свободные границы отображаются на действительный диаметр. Бесконечно удаленным точкам струй между кавернами соответствует з = +си. Это отображение можно выполнить в два приема. Во-первых, посредством функции е'иецв (5 — разность комплексных координат двух сходственных точек соседних дужек) решетка отображается на односвязную область, граница которой взаимно однозначно соответствует границе одного периода течения, а бесконечность перед решеткой переходит в начало координат.
Во-вторых, по известной теореме конформного отображения, полученная область может быть конформно отображена на единичный полукруг с указанным выше соответствием. Комплексный потенциал, очевидно, имеет логарифмические особенности в точках 1= 1е и 1= О, причем первая соответствует вихреисточнику, а вторая — стоку той же интенсивности.
При дифференцировании эти точки становятся 189 ря другие примеры полюсами первого порядка; поскольку п[ва)йг обращается в нуль только при 1 = 1о, то , пг м (т та) м(т — т,) Лт (т — т)(т — т) (1 — 9тт+аата) ' где Т= — —,(4+4 '), =[Т~ ~, т=це177). Комплексная скорость одинакова на всех листах полукруга, поэтому можно написать соотношение (6.6'), как и в п. 7. Для функции т!(о) получим формулу в!п а [1 — сов (а+ а,))В [ сов а — сов а, [ ч (а) = 1 ° (1 — 21 сов а + а' сов' а) (6.34) Задача построения течения содержит, таким образом, четыре свободных параметра М, а, т и оа, которые, как можно предпо- ложить, соответствуют ориентации дужек, положениям на них точек отрыва и расстоянию между соседними дужками.
Рис. 76. 14. Другие примеры. Различные односвязные течения, ограниченные одной твердой стенкой и одной свободной границей"), могут быть изучены аналогичным образом, Мы ограничимся в каждом случае кратким перечислением основных формул. Истечение струи из криволинейного сопла. Струя, истекающая из криволинейного сопла с асимптотическим углом рк в бесконечно удаленной точке (рис, 76, а, б), может быть аналогично представлена ") при помощи формул в!па (' 1 + в1п а '1 вп (6.35) сова(1 — асова) !! — в!па/ д=асМ, а= ~ — —,(Тг+ ТТ )1 Гл.
те. Криволинейные врвввтвтвия где !т — образ струи в плоскости й Симметричный случай получим, положив т! = О, Т! = ьь, ))т = М 1п Т, а = О. Для канала конечной ширины й угол р = О. В этом случае, если о — скорость вверх по течению, а и — асимптотическая ширина канала, то Н = ой и в интегральном уравнении, соответствующем уравнению (6.16), параметр М может быть исключен; в симметричном случае это уравнение может быть приведено к виду Л = — 1я вК [6 (в)) е (6.36) Очевидно, что это интегральное уравнение сингулярное; способ его решеция це известен.
Уравнение (6.36) не содержит свободных параметров, однако, поскольку возможен отрыв от переменной точки границы, оно должно имсть однопараметрическое семейство решений. Гибкий профиль. Если жесткую дужку заменить гибкой с закрепленными концами, как показано на рис. 77, то возникает интересная задача, также рассмотренная Чизотти м), Математически требуется лишь заменить в выкладках п. 1 — 4 уравнение к = К(ь), Рв . 77. дающее форму дужки, условием равновесия мТ = р, — р, связывающим перепад давления на дужке и (постоянную) силу натяжения Т (рис.
77). С помощью уравнения Бернулли это условие принимает вид и = — (р/2Т) (1 — $Р). Приравнивая написанное выражецие кривизне в формуле (6.13), получаем интегральное уравнение относительно Х(а) Л= М(т,ев' — т,е-в"), (6.37) в котором т~ и тз (гч (тз) — положительные непрерывные функции, зависящие от типа рассматриваемого течения и обращающиеся в нуль при а = О и к. Так, например, для симметричной дужки в безграничном потоке чн = ейп о(1 — айп а), тт = = з!п о(1 + 51п о). В вариационной постановке гибкая дужка принимает форму, которая обеспечивает минимум кинетической энергии потока среди всех дужек постоянной длины"). Дополнительные сведения. В литературе приводятся исследования многих других интересных моделей, например таких, как свободная струя, отклоненная изогнутой дужкой, и ее предельные формы"); течение в частично открытом каналем) и различные типы глиссирующих тел'в).
191 Примечание Были исследованы также течения с двумя твердыми и двумя свободными границами, имеющими различные скорости. Аналитическое рассмотрение таких течений требует применения полукольцевой вместо полукруговой параметризации Леви-Чивита (см п. 2) и соответствующих кольцу изменений в ядрах уравнений и операторах "). Таким способом рассматривались течения в каналах с разрывами"), препятствия в криволинейных каналах и криволинейных соплах"), асимметричные потоки Рябушинского" ) и др.
ПРИ УРЧА НИЯ ') Мы включаем, как предельные случаи, каверны в бесконечном течении и ириволинейное препятствие, глиссируюшее по поверхности океана. Эти по. токи были впервые описаны в работах С1з о 111 (1., )7епд. Ассас(. 51лсе1 (5), 30 (19П), 314 — 322; 494 — 502; т'!! 1а ! Н., С. Я. Асей. $с1, Реггз, 152 (1911), 1081 — ! 084, т) В п. ! — 3 достаточно предполагать, что направление касательной удовлетворяет условию Липшица ]е(1~) — ю((з)) (И)1~ — 1з), где 1 означает длину дуги границы препятствия.
При рассмотрении отрыва требуются более сильные условия (см гл. 111, п. 7). з) 5 е1де! %., Ма!И. Алл., 104 (1930), 222; К а р а теодор и К., Конформное отображение, ОНТИ, 1934; [23*, 27*]. ') См. [53], а также [48). Леви.чивита рассматривал лишь случай ае = и, = ест = 0 безграничного течения, однако обобщение его доказательстна требует лишь незначительных изменений. ") Много примеров представлено в дополнении к работе [33]. Первое течение с кавернами около криволинейного препятствия, имеющее серповидный годограф, было получено Кирхгофом, применившим конформвое отобра. жение; см. Кирх гоф Г., Механика, Лекции по математической физике, М., 1962, стр.
244 — 246. Недавно Лайтхилл (1.18611!11! М., АмС мМ, 8943) удачно применил этот метод годографа для иллюстрации огибания струямн препятствий («эффект Козина»), а также для рассмотрения течения с каверной, имеющей заостренный конец. е) Как заметил Бриллюэн [13), некоторые из этих течений в целом неодно. листны. т) Существование сп/с(о следует из известной теоремы о ковформвом отображении [см.
С м и р н о в В. И., Май. Апл., !07 (!932), 313 — 332], Бо. лее тщательное рассмотрение см. в ["48, стр. 163]. з) Л а ар е н т ь е в М, А, Метем. сборник, 36 (1929), 112 — П5. е) Интегральная форма оператора сопряжения С может быть получена из предельной формы интеграла Пуассона; см. также Зигмунд А., Триго- 192 Гя. У!. Криволинейные препятствия нометрические ряды, М. — Л., !939.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
