Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Из компактности таких семейств [49, т. 1, стр. 491 следует, что Я и Р— вполне непрерывные интегральные операторы. Теорема 5. Пусть заданы М) О и ч(а) О для О<о<як. Тогда интегральное уравнение [см. (7.1) или (6.16)) Л(в) =Мч(в) е — об оп! (7.14) имеет одно и только одно решение Л(а).
Оно непрерьсвно, неотрицательно и обращается в нуль только вместе с ч(о) "). Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что любое решение уравнения (7.14) должно быть неотрицательным. Поскольку оператор Р сохраняет порядок (лемма 1, утверждение 6), то т(о) = РЛ;в О и из уравнения (7.!4) следует О <Л(о) <Мч(о). Поскольку Р преобразует ограниченные функции в непрерывные функции (лемма 1, утверждение 1), то можно утверждать, что т(о) = РЛ, и поэтому функция Л = Мче-' непрерывна.
Наконец, из ограниченности т следует, что функция Л(а) обращается в нуль только вместе с ч(о), что и доказывает второе утверждение теоремы. Следовательно, всякое решение уравнения (7.!4) принадлежит гильбертову пространству Н всех функций, с интегрируемым квадратом на О < в = и. Рассмотрим теперь в Н функционал ~р(Л)= — ~ ЛОЛ с(и+ ~ Мч(и)е-в" с!а, о о Согласно лемме 1, функция р(Л) определена и удовлетворяет соотношению р(Л) О для всех Л Е Н.
Далее легко найти, что и(Л+ВЛ) — и (Л) = 1 (Л вЂ” Мче-вл) 0 [ЬЛ) с(и+ о + — ~ ВЛР [ЬЛ! с(а+ ~ Мче-вл(е-ви — 1 — 0 [ЬЛ) ) аси. (7.16) о о Отсюда следует, что р(Л+ ЬЛ) — р(Л) имеет порядок о([[ЬЛ!1) тогда и только тогда, когда Л(о) удовлетворяет уравнению (7.!4). Таким образом, решения уравнения (7.14) представлялот собой неподвизкньсе точки функционала (7,15). Е. Лемма якоба Итак, для доказательства единственности решения уравнения (7.14) достаточно показать, что (7.!5) является строго еыкуклой функцией 'о).
Однако это очевидно, поскольку из равенства Л + Л' следует, что м о [<р (Л) + <о (Л')) — у ~ о [Л + Л ) ) = З ~ (Л вЂ” Л ) Р [Л вЂ” Л ] гК~ + о + — ) Мч(а)(е-оьа — е-~'"~'сна > О. (7.17) о Для доказательства существования мы покажем, что функция р(Л) достигает минимума; это потребует некоторой изобретательности. Пусть 1с — нижняя грань функции у(Л) для Л Е Н; рассмотрим минимизирующую последовательность [Л„), для которой е(Л„) — гг при н- аа. Из соотношения (7.!7) и по определению 1г имеем — [а(Л„)+а(Л„)] ~ р,[ — [Л +Л„[)» р.
Так как выражение в левой части стремится к 1с при и, п- аа, то, согласно формуле (7.15), О Нгп ~ 2 [9(Л )+сР(Л~)) 9(2 (Л~+Л )) м Нгп — [ (Ла — Лщ) 0 [Ла' — Лщ) сна+ щ,л+оэ[ з о -~- — 1м( й — г 'чш). а,18) о Оба члена справа, будучи положительными, должны стремить- ся к нулю по отдельности. Из неравенства ~ (О [˄— Лщ] )зс(а ( ~ (˄— Лщ) 0 [˄— Л ] оКа о о следует, что т„=Р[Л„) сходится в среднем к функции т с интегрируемым квадратом, и что~ ЛЬе ас(а имеет конечный предел о 14 г. Бирщоф 210 Тя, 'т'Тб Теоремы существования и единственности Мче-'с/а. Однако трудно непосредственно доказать, что поо следовательность (Л„) сходится в гильбертовом пространстве Н.
Эту трудность можно обойти следующим образом. Пусть ло— некоторая непрерывная функция; тогда из условия О.< 11ш [9(Ля+вы) — в~(Лв)[ ~идно, что в-»»» са с в ~ т»се/а+ — [ в»0»се/а+ ~ Мче-'(е-'о" — 1) г/а > О. о 0 0 Разделив это неравенство на а и устремив в к нулю, придем к соотношению [ ты с/а — [ Мче -'0ы ета = [ (т — 0 (Мче-') ) ы сй )~ О, (7.19) о о о которое возможно только при т = 0(Мче-'). Легко видеть, что функция Х = Мче удовлетворяет уравнению (7.!4). Т е о р е м а 6. (Лемма Якоба [101]) . Пусть Х и Л + лЛХ вЂ” решения уравнения (7.!4), соответствующие двум различным неотрицательным значениям М и М+ ЬМ параметра М. Тогда Ы./ЛМ вЂ” не тождественно равная нулю функция от о, удовлетворяющая условию 0 < — (а) < ч(а) ЬЛ (7.20) при 0<о<я.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 5, бЛ ( и, следовательно, /ЛЛ/ЛМ) и /Лт=0[ЛЦ вЂ” непрерывные функции от о, обращающиеся в нуль при а=О, тс. Кроме того, поскольку М однозначно определяется другими членами, входящими в уравнение (7.!4), то из /лМ Ф 0 следует К1.фО. Далее, из уравнения (7.14) непосредственным вычислением получаем (7.21) Заметим, что поскольку (еи — !)/и положительна для всех и, то правая часть соотношения (7.21) неотрицательна при Лт/ЛМ <О. Однако поскольку /Лх= 0[ЛЛ), то /Лт/ЛМ представляет собой (как и в гл. Ч!, и. 4) граничные значения гармонической функции Ь(ге»в), непрерывной в единичном полукруге Г, равной В. Выпуклые прекятттеия пулю на действительном диаметре и имеющей производную по внешней нормали дй/дтт = ЛЛ1ЛМ вдоль граничной полуокружности ечьп Следовательно, минимум функции й(те") достигает.
ся на границе Г. Если бы этот минимум не был равен нулю, то, согласно принципу строгого максимума (гл. 1Ъ', п, 9), в этой точке было бы ЛЦЛМ < О, что противоречило бы соотношению (7.2!), поскольку, как было отмечено выше, правая часть его положительна. Мы придем к тому же противоречию, если предположим, что минимум обращается в нуль при 0 < о < к. Следовательно, ЛттЛМ)0 при 0<о<я. Снова используя принцип строгого максимума и предполагая, что ЛМ ь О, получаем ЛЛ ) 0 при максимальном значении Лт.
Из соотношения (7.21) следует, что при этом е'" — 1 < < ЛМ!М; иначе говоря, поскольку ЛМ ) О, то (Л./ЛМ) < <ЛМ-' !п (! + ЛМ)М) . Подставляя последние два неравенства в соотношения (7.2!) и используя уравнение (7.!4), находим аЛ Ле О.- ах! < х1 -ч, (7.21Я) что и завершает доказательство теоремы. Согласно выражению (6.!7), угол отрыва йе возрастает монотонно вместе с т.(о).
Отсюда получаем следствие. С л е д с т в и е. В случае препятствий оживальной формы угол отртява эя возрастает монотонно вместе с увеличением М. Легко видеть, что если производная дЦдМ существует, то она удовлетворяет уравнению (7.2 1е*) Путем более тонких рассуждений, аналогичных проведенным, можно доказать существование дЦдМ, дт/дМ, ..., а также доказать, чтодЛтдМ)~0, М ~)-дк1дМ) 0 2М-~ < дтк/дМ~ < О, д~т1дМ' > 0 и т. д. Можно доказать и более общее предположение о том, что п(о) возрастает вместе с увеличением т(о). 6. Выпуклые препятствия.
При попытках применения метода и. 4 к случаям (таким, например, как обтекание без отрыва или каверны с точкой возврата), когда теоремы существования и единственности для прямолинейных препятствий не имеют смысла или неприложимы, возникают серьезные осложнения. Однако случай выпуклых препятствий можно исследовать путем применения леммы Якоба при доказательстве теорем существования и единственности, в первую очередь для препятствий оживальной формы. 212 Гл. Пт', Теоремы существования и единственности тяе т дв о =М вЂ” ~ ттт ив о [уЛ В. о )~ Мехр (7. 23) Гт ив о [ ттдв о ~ утйа о Однако 7я сна= / ЛмР !Я да < С ~ Л ада, о о о С целью выработки единого подхода вспомним (см.
гл. Ч1), что различные дополнительные условия длятакихтечений могут быть выражены [см. (6.17), (6.19в), (6,28™) и (6.32')[ при помо- щи интегральных соотношений вида ХЛ(о)У(в) о=! (7.22) о где функция г(о) положительна всюду, за исключением, быть может, о = 0 и о = к. Так, например, случай 7(о) = сопз! соот- ветствует постоянному углу отрыва, )(о) = (л з!по) ' — плав- ному отрыву, !(в) = я-' з!по — каверне с нулевым лобовым со- противлением и т.
д, Т е о р е м а 7. Допустим, что; 1) функция о(о) непрерывна на 0 <о <и и положительна на 0<о<я; 2) функция !(о) положительна и непрерывна на интервале 0 ( о ( тц 3) Ф= ) /(о)я(о)с(о <+со и, наконец, 4) Р[/я] (С~'о). Того да система уравнений (7.14) и (7.22) имеет одно и только одно решение, Доказательство. Для заданного М)~ 0 уравнение (7.!4) имеет одно и только одно решение Лм(о).
Рассмотрим вы- ражение/(М)= ~/(о)Лн(в)до. Согласно условию (3) и ураво нению (7.!4), 7(М) < Мтт' и, следовательно, У(0) = О. Из условия 2) и теоремы 6 видно, что !(М) — возрастающая функция М, откуда и следует единственность решения. Далее, из условия (7.20) следует, что !(М) — непрерывная функция М. Таким образом, для завершения доказательства существования достаточно показать, что т'(оо) = оь.
Для этого, использовав сначала уравнение (7.!4) и нера~венство йенсена 'е), выражаю- щее, по существу, тот факт, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, получим 6. Выпуклые препятствия поэтому из неравенства (7.23), учитывая, что тчг= ~/ч с(а, о имеем ~ Ме-сим 1 лг откуда следует, что 7 (М) )~ 2 )п (СМ), (7.24) В случае препятствия оживальной формы это уравнение упрощается и переходит в (7.!4). Параметр М можно исключить, и система уравнений (7.22) и (7.25) сводится к одному интегральному уравнению Л = ()К(аЛ)е ) (а) = ) ~ (а) ч (а) К (ДЛ) е Оя ла о Чтобы применить теорему Лерэ — Шаудера (п. 3) к уравнению (7.25е), положим К„(о) = аК(о) + (! — а), а в качестве оператора Г„возьмем оператор в гильбертовом пространстве Н (п, 5) чК, (ЗЛ) е /чКа (аЛ) е ~~ па о (7.26) Таким образом, !пп 1(М)=оо.
С л е д с т в и е. Существует единственное симметричное кавитационное течение около любого препятствия оживальной формы, имеющее плавный отрьав (т. е. конечную кривизну в точке отрыва). Лерэ показал [54, стр. 26(), что это будет справедливо также в более общем случае симметричных препятствий с неубывающей кривизной (акколад). Теперь мы уже можем приступить к доказательству существования различных струйных течений около выпуклых препятствий произвольной формы, удовлетворяющих различным дополнительным условиям. Интегральное уравнение (6.(6) для выпуклого препятствия имеет вид Л = МчК(,)Л) е-вл 214 Гя 'еВ теоремы суи1ествавания и единственности При изменении а от ! до О кривизна К, (а) изменяется от К(о) до 1, что соответствует непрерывному переходу к препятствию оживальной формы.
Ле м м а. Введенный выше оператор Г, (7,26) удовлетворяет всем условиям теоремы Дерз — Шаудера, если функции о и !' удовлетворяют условиям теоремы 7, и если К(о) — непрерывная функция, определенная при всех значениях б, ограниченная сверху и положительная О<у <К(з) <Й-'<сс. (7.27) Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим сначала сферу, содержашую все решения уравнения Л = Г„[Л]. В силу (?.27) имеем )с::.' К„(!)): ' й ' для всех а и, следовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
