Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 40
Текст из файла (страница 40)
]г ?' К. () Л) е- ' йа ) )г ~ Ре- '" д . (7.28) о о Как и при выводе неравенства (7.23) имеем ~?не-™м йа )~ ?нгехр — ~ ~?'Л да 1. я Вели функция Л является решением, то ~ Л?о(а=! и о ~~нК„()Л) е-и" да ) ЫЧе-с1н. (7.29) о Используя это неравенство, из уравнения Л = Г,[Л] получаем Л<й 'Д? 'е" и и, окончательно, поскольку Л )~ О, согласно (7.25*), имеем я '[Чс [[Л[[-. й го 'е ~ [[н[[=Д; [[Л[[= ~ / Л'(а) йа~ (7 ЗО) о Это означает, что все решения уравнения Л = Г.[Л] лежат внутри сферы радиуса 2)7. Эту сферу можно взять в качестве области Ю теоремы Лера — Шаудера. Мы докажем, что все операторы Г, вполне непрерывны, показав, что они преобразуют ограниченные последовательности функций в гильбертовом пространстве ?.,(О, т) в (ограничен- б. Выпуклые препятствия ные) последовательности равностепенно непрерывных функций.
По лемме 1, п. 5, это утверждение справедливо для оператора -ол яе и, поскольку 31. является неопределенным интегралом, а К, непрерывно, оно справедливо также и для К„(Як). Следовательно, поскольку в силу неравенства (7.29) иное житель ~ ~ уяК. (Ю) в в'да~ остается ограниченным, это предо ложение будет справедливо также для операторов Г„. Равностепенная непрерывность операторов Г. по а очевидна, а единственность решения уравнения Х = Гек уже была установлена в п.
5. Итак, остается только доказать, что преобразование бе()) = Х вЂ” Ге[4 взаимно однозначно в окрестности решения к уравнения ). = Г,е.. Пусть Х и Х + Лй — две различные функции, преобразуемые оператором бе в одну и ту же функцию. Уравнение ) — Г,)Л) = Л+ Л) — Г„~Л-(-ЛЛ) (7.31) можно записать. в виде Л) = Мте-и'еп (1+ д — е'"), Ле = Р !Лк!. (7.32) Повторим теперь рассуждения доказательства теоремы 6. Если максимальное значение Лк,я функции Лт положительно, то, согласно принципу строгого максимума (гл.
!Ч, и. 9), функция ЛХ > О в любой точке, в которой Л. = Лт„„,, Следовательно, согласно соотношению (7.32), в той же точке Л. „„< < (п(1 + ЛМ!М), откуда следует тождественное выполнение неравенств Л; <!п(1 + ЛМ/М) и ЛХ > О всюду, кроме точек о = О, г (7.32). Аналогично, если Лт,„< О, то ЛЛ < О всюду, где Лт = Лк и, и, согласно (7.32), Лт и > 1п(1+ ЛМ/М). Отсюда следует, что неравенство Лт >!п(! + ЛМ/М) выполняется тождественно, а Ле.
<О всюду, за исключением, быть может, точек о = О, и; во всяком случае, Лк имеет постоянный знак. С другой стороны, в условии (7.22) 1(о) > О; следовательно, произведение 1Лк также должно иметь постоянный знак. Кроме того, легко видеть, подставляя в (7.22) ) и Х + Ы. н производя вычитание, что ~ )Лел1о= О. Из этих результатов мы видим, что Лк = О почти всюду, откуда и следует, что преобразование Се должно быть взаимно однозначным. Объединяя предыдущую лемму с теоремой Лера — Шаудера, придем к следующему результату.
216 Гл. е11. Теоремы существование и единственности Теорем а 8. При выполнении условий !), 2), 3) и 4) теоремы 7 и условия (7.27) для кривизны К(6) система (7.22) и (7,25) имеет решение, С л е д с т в и е. Пусть С вЂ” любое симметричное вьтуклое препятствие в неограниченном потоке. Тогда существует: а) симметричная каверна для каждого угла отрыва, б) симметричная каверна с плавным отрывом, в) сш«метричная каверна нулевого сопротивления, г) однопараметрическое семейство симметричных каверн с точкой возврата, д) однопараметрическое семейство симметричных течений Рябушинского для каждого угла отрыва, е) однопараметрическое семейство симметричных течений Рябушинского с плавна«м отрывом, ж) двупараметрическое семейство симметричных возвратных струй.
Если С имеет оживальную форму, то решения единственны в случаях а) — в). 7. Метод непрерывности. Ранние доказательства теорем единственности ((54), [481) основывались на методе непрерывности Вайнштейна, распространенном на функциональные уравнения. Несмотря на то, что этот метод лишен изящности и простоты, которыми обладают методы сравнения (гл. ТН, п. 12— 14), он имеет и свои преимущества. Так, он позволяет обнаружить тесную связь между вопросами существования и единственностью решений; он применим к плоским несимметричным течениям, а некоторые его идеи могут быть применены даже к пространственным несимметричным течениям.
Ввиду того что детали метода имеют чисто технический характер, мы рассмотрим только случай симметричных плоских течений около выпуклых плоских препятствий. Следует, однако, отметить, что развиваемая теория не только допускает возможность широких обобщений, но и позволяет получить вариационные формулы, имеющие самостоятельный интерес. Эти формулы дают выражение для вариации формы каверны (или струи), вызванной заданным возмущением препятствия (или отверстия). Выраженные в виде функциональных уравнений типа (7.1) или (7.6), они содержат дифференциалы операторов в банаховых пространствах, определение которых мы сейчас дадим. Определение, Оператор преобразования Г одного банахова пространства в другое называется дифференцируемым в точке Х~, если найдется непрерывный линейный оператор 1., такой, что (7.33) 217 7.
Метод непрерывности причем нормы берутся в соответствующих пространствах. В этом случае 1.[У] называется дифференциалом Г[Л] в точке Ло. Будем обозначать его НГ[Л«', дЛ]. Однопараметрическое семейство операторов Г,[Л], О (а (1, в банаховом пространстве Ф можно рассматривать как один оператор преобразования пространства Й хР (т[ — действительная прямая)'") в пространство те, и поэтому можно говорить о его дифференциале НГ[Л, а, У., Ьа] в точке Л с параметром а, если он существует. [В дальнейшем, для простоты, мы не будем указывать точку (Л, а), в которой берется дифференциал, и будем писать просто с(Г[5Л, ба].] Обратимся теперь к следующему общему принципу [54, ч. 11; 55].
Принцип непрерывности. Предположим, что Л вЂ” решение уравнения Л=Г„[Л] и что Г,[Л] имеет вполне непрерывный дифференциал е)Г[6Л, да] в точке т. при определенном значении параметра а. В этих предположениях, если «уравнение в вариациях» У,=с(ГРЛ, 6а] допускает при любой вариации ба един. ственное решение, то; (а) функция Л является изолированным решением уравнения Л= Г„[Л] (б) уравнение Л+АЛ= =Г„м [Л+АЛ] при достаточно малых да допускает решение АЛ; (в) вариация У.— главная часть АЛ, т.
е. ~[АЛ вЂ” УЛ = =о (3а[) . Прн помощи этой теоремы можно доказать единственность решений уравнения Л=Гт[Л], предполагая единственность решения уравнения Л= Го[Л] и замечая, что если уравнение Л= =Ге[Л] имеет единственное решение и если условия теоремы выполняются для всех уравнений Л=Г, [Л], О(а <1, то число решений (которые являются изолированными и меняются непрерывно вместе с а) не зависит от а. В самом деле, число решений уравнения Л=Г,[Л] должно равняться числу решений уравнения Л= Ге[Л], т. е, единице.
Аналогично существование решения уравнения Л=Г,[Л] можно вывести из предположения о существовании решения уравнения Л=Го[Л]. В приложении к задачам струйного обтекания мы будем применять принцип непрерывности к семейству операторов Г„[Л], определенных соотношением (7.26). В этом случае Кв(э) = 1, так что существование и единственность решения уравнения Л=Г«[Л] следует из теоремы 5. Для простоты мы будем рассматривать только бесконечные симметричные кавитационные течения около выпуклых стенок, для которых Ф'= =МТ'72 и «(о) = з(п о(1+вйп а).
Будем также предполагать, что К(9) >О н (7.34) ] К (8) К (В,) <- 7.[ Π— О,[ 218 Гя. Р!Д Теоремы существования и единственности при некоторой конечной постоянной Липшипа Т.. Наконец, мы будем считать б гильбертовым пространством с,'(О, к). Тогда м Х К вЂ” также гильбертово пространство'о). Легко проверить, что оператор Г,[Л1 дифференцируем при всех а и Л и что его дифференциал выражается формулой / ьм аК(8) К„'(о) есГ [ЕЛ, За[ Г" [Л[(, м + ' (а) + К (8 З[ЬЛ[ — 0[ЕЛ[), (7.35) в которой ьК= —" ьа = (К(8) — 1) ьа, дК„ ди т -! М= ~ Т"тК,(8)д 'ес'о! о с м = — Х7''Г.[Л[ (К а + "8 з['Л[ — 0[8Л[) (о. о (7. 36) 8Л > ~ + " д[8Л[ — 0 [8Л[), ( вм К„'(8) (7.37) в котором — = — ['ТЛ1 — ", д[8Л[ — 0[8Л[) е)о, йс14 т К„(0) для всех а, О <а~(1.
Согласно свойствам гладкости операторов ) и 0 (лемма 1, п. 5), дифференциал е(Г[8Л, да[ оказывается вполне непрерывным оператором по 8Л для всех да, преобразующим ограниченные множества из о в равномерно ограниченные классы равиостепенно непрерывных функций. Отсюда следует, что первое условие принципа непрерывности выполнено, Пусть теперь Л будет симметричным решением уравнения Л = Г„[Л[, существование которого было доказано в п. 6.
Уравнение в вариациях ВЛ = с(Г[ЬЛ, 6а) в развернутой записи представляет собой интегральное уравнение типа уравнения Фредгольма. Для таких уравнений и существование решения и его единственность, требуемые по второму условию принципа непрерывности, эквивалентны отсутствию ненулевого решения соответствующего однородного уравнения (8К = О) (см. [49, т. !). Таким образом, все следствия принципа непрерывности, и в частности единственность течения, будут справедливы при условии, что 6Л О является единственным решением ура- внения 219 В. Фаннинн Вайнштейна 8.
Функция Вайнштейна. В соответствии с идеей Вайнштейна ам) мы теперь построим, исходя из произвольной вариации 5л, удовлетворяющей уравнению (7.37), аналитическую функцию Л(г), удовлетворяющую специальным граничным условиям (см. ниже лемму !). В п. 9 мы покажем, как из этих условий следует, что Л(/) =О, и почему отсюда, в свою очередь, будет следовать, что соответствующие Вл = О. Убедимся сначала, что любое решение уравнения (7.37) должно быть непрерывной функцией, удовлетворяющей условию Липшица и обращающейся в нуль при а = 0 и о = г.
(лемма 1, п. 5). Пусть теперь а(1(1) будет такой аналитической функцией, регулярной в единичном круге, действительной на действительной оси и мнимой на мнимой оси, которая принимает граничные значения а(1(ам) =%(а) + В-.(о), О. о -.ьк (89 = = .1[аЦ, 5т = 0[3).)), Поскольку с((89) /е/о = — Ю(а) удовлетворяет условию Липшица, то теорема Фату — Привалова (гл. 4, п. 7) гарантирует, что Ю(1) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую условию Липшица в замкнутом единичном круге.
Исследуем функцию") ЛЯ м % (/) Г.(/) ~ ( м +'Ы) н г/~ (7'38) где ~, Чг и а, как обычно, обозначают соответственно комплексно сопряженную скорость, комплексный потенциал и координату течения, отвечаю1цую функции Х. Функция Л(1) регулярна в единичном круге, кроме, быть может, особых точек функции ))7(1); в случае бесконечной каверны ((е' = МТ'/2) имеется единственная особенность при / = О. Вблизи точки 1 = 0 функция Л(/) разлагается в ряд л(е='(н( ( —.) -ны ( —.)н-Ъ ( —.) ~. (739) а=о в котором все коэффициенты действительны, поскольку Л(г) принимает действительные значения на мнимой оси. Вне начала координат, включая и границу единичного круга, функция Л(1) имеет непрерывную производную вследствие указанной выше непрерывности 6й, а также свойств функции 11 (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
