Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Из этого следует, что интеграл от Р(ее) по любой конечной области имеет порядок 0(еи). Подставляя выражения (7.57) и (7.58) в неравенство (7.56), после простых преобразований получаем неравенство И. Аналатакнаотл экотрвмаллвл~к кравык рывы. Поскольку помимо этого опа обращаезся в нуль вне Гон можно применить уравнение (7.59), которое для 1 Е К дает ах ыу П (-.---)-= кдг, л — л1 > Г ~ та ('» — го)) г* — го м(,'г — го,') 1 ! г — го~ П вЂ” — — — ~ ах с(у -~- ( — 1)з кп(т„-г,) П ('эт гт) Правая часть этого уравнения — аналитическая функция от 1 в круге Гт, не зависящая от т). Обозначая эту функцию через (т(1), получаем") (к — т! < !З.
Аналитичность экстремальных кривых. Аналитичность г., является, ввиду (7.60), непосредственным следствием леммы. Л е и м а. Пусть К вЂ” конечная открьлтая область, ласточка ограниченная спрямляеиой кривой Х. Если функция лу(1) = ) (г — 1)-тйхйу аналитична и регулярна для 1 ~ К и мок жет быть аналитически продолжена на границу г,, то Х является аналитической кривой. Л о к а з а т е л ь с т в о.
Положим 1(1)=~( ( (г — 1) с(хйу — 6(1), К где 0(1) — неопределенный интеграл от функции ту(1). Интеграл ) ~ (г — 1) с(хт(у непрерывен для всех 1 и апак лптичеп для значений 1 впе К. Поэтому функция 1(1) не только непрерывна, но и аналитична во всех точках вне К, в которых аналитична функция лу(1). Пусть à — круг радиуса г с центром в точке г = 0 и содержащий К Тогда можно написать 1(1)= ) / (г — 1) дхс(у — ) ) (» — 1) ' л(хт(у — 0(1), г г-к Га.
Иб Теоуелн существовании и есдинственности Однако, если 1 Е Г (и в частности, если 1 Е К), то первый ин- теграл может быть вы ислен в полярных координатах: тип тг ы ) ) ( — 1) ' а'хс(у=( ~ + ) ~реуу ) ( — 1) ' с)р= г в ~с~ / в ' 11~ =2н( ) -'- Ц~ рс(р —.
) (» — 1) ' » 'с1». Хо ~с! ~е1=е На основании теоремы о вычетах последний интеграл равен нулю или 1 ' соответственно при у ~1, а Таким образом, 1(1)+пГ= — ) ); ', — а(1), 1ЕК. г К Правая сторона написанного равенства аналитична для 1ЕК, и ее производная равна ~ (» — 1) с(хо(у — у(1) = — ~ ~ (» — 1) осхс(у— г-к г-к — ) ) (» — 1) с(»с(у = — )) (» — 1) сгс.х с(у. Очевидно, что последний интеграл в правой части не зависит от радиуса Г, если Г содержит точку 1, и разность между ним и аналогичным интегралом по кругу того же радиуса с центром в точке 1 стремится к нулю при г- оо.
Поскольку значение последнего интеграла всегда равно нулю, то ~ ~ (» — 1) с(х с(у = О. г Следовательно, сумма 1(1) +тс1а, имеющая нулевую производную, равна постоянной, т. е. 1(1) = — п1*+ сопзп (7.61) Если мы устремим теперь 1 к Х, это тождество останется справедливым и на кривой Х. На основании непрерывности функции 1(1) правый член представляет граничные значения аналитической функции 1(1) для 1 вне области К Теперь мы определим еще две функции р(1) = 1(1)+ п1, с)(1) =1(1) — п1.
237 Пяьэы сснпл Эти функции аналитичны повсюду в окрестности г., лежащей вне К, причем на основании равенства (7.6!) действительная часть р(7) и мнимая часть д(7) стремятся по мере приближения к Х к постоянным величинам. Так, например, согласно принципу отражения Шварца, если внешность К отображается на единичный круг, то р(!) н в(1) становятся аналитическими функциями, непрерывно продолжаемыми через дугу крута, соответствующего Х. В частности, они аналитичны на такой луге и, следовательно, 1 = !/эн(Р(1) — г?(1)], если Х вЂ” аналнтнческаа кривая. Итак, мы доказали, что части Х, не лежащие на С или на линиях (х) = пт, являются свободными линиями тока со скоростью с) на них, т.
е. доказали следующую теорему. Теор е м а 13. В условиях теоремы 11 часть границы В, нг лежащая на О и (х( = га или на неподвижной грангще, является аналитической кривой и свободной границей Соответствующий результат справедлив также и в осесимметричном случае. Распространение на зтот случай метода внутренних вариаций возможно непосредственно, однако доказательство аналитичности связано с большими трудностями. ПРИМЕЧАНИЯ ') См. гл.
1, п. 14; гл. Ч, и. 3; гл. Ч1, и. 6; см. также В е г и ~п а и 2аММ, 12 (1932), 95 — 121. ') См, также (Ч е!п з ! е1п А., )?енд. Асог(. 1лпсей 4 (1926), 1!9 — 123; там же, 5 (1927), 157 — 16!. Превосходное изложение метода, выполненное самим Вайнщтейном, см. в работе Ргос. Р!га! Сипай. Мань Сопигезз, 1945, рр. 355 — 364; Ргос. Р)гз! 5уптр. Лрр1. Ма!и., Лщег. Майк 5ос., 1949, рр. 1 — 18; 1!021. ') Н а т е1 О., Ргос. Ппб 1п!егп.
Сопит. Лрр1. Месм, 2нг(сй, 1926, рр 76, 489; % е у! Н., Пои. Иосйг. (1927), 227. ") Лржаников Н. С„Матея. сборник, 35 (!928); Мясников П. В., Ученые записки МГУ, № 7 (1937); К а л и н и н С В, Лиссертаиия, МГУ, 1935; Слезкин Н.
А., ДАИ СССР, 2 (1935); Секерж ° Зеньков ич Я. И„?ряды ПАРИ, № 299 (!93?), № 354 (1938); Бе р м а н Я. Р., ПММ, !3 (1949), 543 — 546; К а л и н и н С. В., Иэв. АИ СССР, ОТН (1950), 966 — 984; Куфарев П. П., ПММ, 16 (!952), 589 — 598, В ранних работах рассматривались главным образом препятствия в форме дуг круга. ') Р(с а г б Б,, Тгаие б'апа1)зе, 2 пб еб., чо1.
2, р. 301. Обобщенный ме. год был дан Адамаром около !930 г., а для баиаховых пространств — Каччиополи и др. 238 Г ~ К!! Георг.чы сритсгтеоаолил и единствениосто «) Поскольку непрерывные функции, если определять «расстояние» между ниии по норме (7.4), образуют так называемое банахово пространство или В.пространство в смысле Банаха (Б а и а х С., Курс функционального анализа, Киев, 1948). т) Я. Н Секерж.Зеньковпч показал, что если ирвинге~вне описывается аналитической функш!ей, то функция т(,(М) тоже аналитична (см, примечание 4). ') Преобразовавпе называется вполне непрерывным, если оно непрерывно и перевалит ограниченные множества в компактные. На языке топологии >славия (1) и (2) означают, что индекс х = Гр[х) в У равен 1; Гз и Г! — гомотопны. и) 2 у и ш и п б Л., Гит!.
Маг!ь, 13 (!929), 284 — 303, Злесь и ниже во избежание недоразумений мы пишем 8(а) = 0(!(а) ). и) 3 и г и у ил Л., Тригонометрические ряды, М. — Л., 1939. ") Так, например, решение !(а) «50, отвечавшее М = О, строго говоря, пе соответсгв>ет задаче струйного обтекания. м) Х а р д и Г. Г. и др., Неравенства, М., 1948, Как и в гл, >г!, и. 4, СО» = СО»(а) обозначает функцию С[!3«(!(а))[, С(> обозначает функшпо, со. пряженную с (>(а), и т, д. ы) Лля того чтобы зто доказать, допустиы, что А(!) и В(!) — функции, аналитические на В[ < 1, принимающие действительные значения на деиствитель пой оси, действительные части которых совпадают соответственно с а(а) и р(а) (О:.' а.< и) при ! =- еы. Тогда 2 ~ (аС3+;.С«) Да = — йе ~ А (!) В (!) тг(7(, о гле нтмеграл берется вдоль В! = 1; поскольку вырамтение .4(0)В(0) лействцтельно, интеграл обращается в нуль.
") К г а у1с1» еп 8о 3., !. г(е ага(И., 20 (1941), 35 — 239; Апп. ясй ес. лотт, яир., 62 (1946), 233 — 268; 63 (1947), 161 — 184; О и т1 а г1 Л., Л Ве та!и, 22 (!943), 245 — 320; 23 (1944), 1 — 36; Н и го п (7., Апп. [ас. яс1, Тои!оияе, 15 (!951), 5 — 78; Тй е г о и Р., С. )7. Агаг(. Зсб Рагин 228 (!949), 1922 — 1923; [80!; [8!). 'Я) Теория, развитая а п. 5 и 6, становится неприменимой, например, в случае М < Π— вогнутой круговой луги, когда уравнение (7.14) может иметь О, 1 нли 2 решения. Олнако с яомошью метолов п. 3 и 4 моткно пока. зать существование единственной бесконечной каверны, соответствующей про.
напольной вогнутой круговой дуге с углом, не превышающим и. а) Значительная часть теоремы 5 солержится в обшей теории интегральньж >равнений Хаммерштейна [Н а ш гп е г з! е! п, Асга Ма!И., 54 (1930), 239 Примечания 117 †1]. О сходимости процесса последовательных приближений, см. гл. 1Х, п. 8.
") Всякая неподвижная ~очка строго выпуклой функции в линейном про. странстве дает строгий минимум (это очевидно в одномерном случае) Следовательно, эта точка единственна м) Когда оператор щгт) ограничен, это условие, конечно, выполняется, если функция ) положитетьна также и аа копнах отрезка, если же ) на них обращается в нуль, то достато!но, чтобы ее производные а этих же точках отли влись от нуля. Сказанное справедливо для функций ), входящих в формулы (6 18), (6.20в), (6.28") и (6.32').
ы) аг эс (7 — пространство всех пар ()., ст), А 6 вэ, и 6 )7, с нормой (чй)т .!. мт) щ м') %е1пз!е1п А., Мари 2., 19 (1924), 265 — 274. м) Функция Л(1) допускает интересную интерпретацию. При любом е ) 9 функции определяют течение около препятствия с кривизной Кт = К + о(е); в фикся. резанной точке физической плоскости комплексный потенциал %'т является функцией только е и ее производная 1!гп (%'т — йг)/в в точности равна Л. т -ь О В этой интерпретации некоторые результаты этого и следующего пунктов чогут быть обобпгены на трехмерный случай.
м) См. 1Ч е(п з (е(п А., МаЯ. 2., 19 (1924), 265 — 274; Н а в е) О., Ргос, Ппб 1п!егп. Сопйг. Арр). Месй., Хпг!сй, 1926. рр. 76, 489; т(гну! Н., !таей. без. йг(з. Пот!!лйел (1927), 227, Е!п п (1., А трали!узс тиЯ„4 (1956), 246 — 291. х') Эта квадратичная форма тесно свизана со второй вариацией по а в течениях, описанных в примечании 21 (см.
(89)). Очевитно, что подинтегральное выражение в правой части равенства, как и в последующих форму. лах, имеет только изолированную особенность при () = О. м") 2 а г а п1о п е11о Е. Н., Апа1усйу о1 ппп!в!г!пц сцгтез, Оераг1, Ма!йев., Нагчагб Пп!чегз1(у. (В настоящем издании эта работа помещена в качестве и. 12, 13 этой главы.
— Прим. ред.). ы) Полное изложение вопроса см. в книге Поли а Г., Се ге Г., Ито. периметрические неравенства в математической физике, Физчатгиз, М., 1962. ") Бл я ш к е В., Дифференциальная геометрия, т. 1, ОНТИ, М.— Л, 1935. м) См. (25. й 4), Раупе Е. Е., ууе!пз1е!и А., рис(((с А Марв 2 (!952), 633 — 638. 240 /л !'/!. Теоремы гущеггновнннл и единггегнноггн и') Здесь имеется некоторая неясность относительно необходимостиналагаемых условий, а также ряда деталей доказательства. и) Если не требовать, чтобы варьируемые гранины Х были ограничены полосой (х( ь.
т, то это утверждение при 1') > О, вероятно, не будет справед. лнвым. Чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть случай, когда В аппроксимирует сфероид большого удлинения, для которого й(В)/объем (В) < (9 (см. (51, гл. Н)). т') 5 1 о и е М. Н„1лпеаг 1гапв(оппабопа !п Н!!Ьер! зрасе, ЬЬ У,, 1932, р. 165. ") См. С а таЬеб!ап Р.
((„5 ей!11ег М., Соптехйу о1 даша(п (цпсНопарж Тесй. Йер. Ж П, Арр1, Маби зпд 5!а!!а!!са ЬаЬ., 51ап1огб Гпп., р. 23. ") 5сй!1(ег М., Аль /. Май., 66 (1946), 529 — 540; Курант Р., Принцип Лирнхле, Конформиые отображения и минамальные поверхности, ИЛ, М., 1963. и) Если / находится вне каверны, то уравнение (7.60) должно быть за. менено иа (2 !)т — = 6 (!) — 1 ( .'(!), кргр где Ъ 2/дф/дг — комплексная скорость. Соответственно, на кривой Х, вели- 1+1;) Г р дхду чина Ьт(!) совпадает со скачком функции я у 3 (Г-!)т Эгот факт кПгр может быть использован для непосредственной проверки того, что !и!Р = 1 + () на Хг. ГЛАВА тс1 И Течения сжимаемой и тяжелой жидкости где индексы обозначают дифференцирование по х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
