Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Вследствие симметрии критическая точка переходит в точку ! = й Следовательно, как н в гл. Ч!, п. 2, если мы наци~нем и 1 — Ф'Г С =е (, . ~ е" н>, 2(~)=О+1», (8.37) то !!(1) будет комплексной аналитической функцией от 1, регулярной в области Г, принимающей децствительные значения на 252 Гл. Уыд течения сжимаемой и тяжелой жидкости (8.39) С использованием обозначений (" — знак сопряжения) эта функция может быть записана в виде 2 дЮ' г(с)= — —. (+а дГ В случае несжимаемой жидкости г(() сводится к производной Ы)гт(с(й Можно показать, что в сжимаемой жидкости г(1) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению.
Пусть Как и и, функция р = )е(Ь, () определяется функцией ()(() и уравнением состояния. Непосредственно из уравнений (8.39) получим . д(Г, . д(т аг(')=т д(, аг'(1)= — г' ц, . Дифференцируя по се и 2 соответственно и складывая, получаем д (аг) д (аге) д1е дт + — =0; проведя дифференцирование, найдем дг Г» = Рг+Р*г ° д (8.41) действительной оси и обращающейся в нуль при 1 О. Кроме того, по принципу отражения Шварца (гл. !П, п. 2) она может быть аналитически продолжена в круг ~(~ < 1. Принимая во внимание замечание о симметрии, можно написать й(г) (+и гз + (е (8.38) Корме того, поскольку ь(Г) и ы(Г) — аналитические функции комплексной переменной й из уравнений (8.35а) и (8.35б) можно вывести аналогичные уравнения с независимымн переменными В и т) (Г = $+ ст)) дУ д1' дУ дм де дч ' дч дс где коэффициент а = п(й, Г) может быть определен с помощью (8.37), если заданы функция ()(с) и уравнение состояния.
Введем теперь комплекснозпачную функцию г(т)= — — ( — = а ' ~ — +( — ~ . дУ . дУ ~!дм . д(г1 — де д» = ~ дЧ де ) (8.40) 7. Интеграявнвге уравнения Обращение в нуль функции тока )т вдоль границы означает, согласно (8.40), что функция г(!) принимает действительные значения на действительной оси и что функция !г(1) чисто мнимая на нолуокружности ! = е', 0 (о~( к.
В точке ! = 1' (соответствующей точке разветвления) функция г(!) должна обращаться в нуль, а в точке ! = 0 она должна стремиться к бесконечности. Мы предполагаем, что в этих точках функция ведет себя так же, как в случае несжимаемой жидкости. Используя некоторую неизвестную функцию Л(1), запишем равенство т (г) = г1(г) ея "', (8.42) где г1(!)=гт!(г — ! )!4 совпадает с функцией г в случае несжимаемой жидкости. Очевидно, что функция Л(!) действительна на границе, и что, не теряя общности, можно принять Л(0) = 1. Подставляя выражение (8.42) в уравнение (8.41) и принимая во внимание аналитичность функции тт(г), получим дифференциальное уравнение относительно Л(1) дд (т) т, (т) дц т, (Г) =11+ ' (Я'Ел'Н) — ЯШ (8.43) Наконец, записывая (8.6) в зависимости от й получаем выражение комплексной координаты г в физической плоскости егз = ".
' [ — (1 + ы а) г(!) Ж + — (! — ы а ) г* (!) (ей)"~ . (8.44) Следовательно, как комплексная скорость, так и положение точек определяются формуламн (8.37) и (8.44) через аналитическую функцию Й(!) н комплексную функцию Л(1), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (8.43). 7.
Интегральные уравнения. Определение функций Я и Л в прямой задаче построения течения около заданного препятствия, как сейчас будет показано, можно свести к решению системы интегральных уравнений. Взяв модуль от обеих частей соотношения (8.44), получим выражение элементарной длины дуги г(! вдоль препятствия (! = е"), г)! = ( Г ~ ! г (г) е!г ' = Мг) 'е" "' з1п а ! соз а ! е(а. (8.45) Комплексная скорость Ь н переменная ь (искаженная скорость) имеют один и тот же аргумент, и, следовательно, как в гл. ~11, п, 2, функция 5(о) совпадает на препятствии с углом, который образует касательная с направлением осн у. Для кривизны контура получим выражение дз О' (е) я= -1 я д! г))~у е на в!а е ~ сов а! Ге.
И/Л Текекия ежи.еое,иой и тяжеяой аеидкогти Таким образом, если контур препятствия задан своим естественным уравнением и = К(о) (см. гл. Н1, и. 3), то для т. = — дб7да получается интегральное уравнение >,= Л4К[4 (а)[д-'вкгл з(п а ~ соя а ~ . (8.46) с!тобы пояснить зависимость д от Я, запишем д = — ()[: ".',) где 1,т — известная возрастающая функция [см. примечание')).
!4а основании (8.37) имеем, далее, еу-' = Я [етт((1+ з(п а)/ [соз а [)'а-'1~ н, следовательно, интегральное уравнение (8.46) преобразуется к виду 1.(а)=Л1йе1 ~К[о(а)[з(п а[созе[(1 ~етт(,, ) е-тн~~~~, (8.47) тв где е=0>., 0= ~ > е(а, как и в гл. Н!. Это уравнение соответ- ствует уравнению (6.16) гл.
Н!. Кроме того, можно вывести аналог уравнения Вн:ьта (6.15). Уравнение (8.47) все етце содержит неизвестную функцию Л. Выведем теперь интегральное уравнение для ее определения. С втой целью применим к функции Л(г) обобщенную формулу Коши (для полукруга) дл (и) Л(1)= — —, ~ г, И вЂ” -- [ ~, — —, 18.48) которая справедлива для любой комплексной функции, Эта фор- мула следует из классических тождеств теории потенциала 7'(т)=- ~-~7 д Е1З вЂ”;-- ~~(ГД;+г,у,.).— 1 г д = — — о„у7 — дЫ ( — -,—.~'~'(г.71 — ',А) ', ' которые получаются путем применения первой формулы Грина [42. стр.
212) соответственно к парам функций [[(1'), 1п[г — т'~[ и [[(1'), ага (г' — ()1. На основании уравнения (8.43) интегральное уравнение (8.48) принимает вид г 1 )„ — Ж' гут1'. (8.49) Это уравнение содержит функцию Й(1) и. следовательно, содержит т.(1) через функцию р. Уравнения (8.47) и (8.49) образуют 8. Сверхэвккоеме стран систему интегральных уравнений (относительно функций Х и Л), к которым Берг сводит задачу о кавитационном течении сжимаемой жидкости. Полная формулировка задачи содержит также дополнительное условие (условпе отрыва), позволяющее, кроме того, определить параметр М. Бергом было доказано путем применения теории Лера — Шаудера сушествование решения уравнений (8.47) и (8.49) в случае задачи обтекания стенки, помешенной в потоке (см. гл. Ч11, п. 2 и 3) ').
Из его результатов следует, что сушествует единственное кавитационное течение для любой симмегричпой криволинейной стенки, которая пересекается любой прямой, параллельной оси, самое большое один раз, и для любой заданной максимальной (дозвуковой) скорости д. 8 Сверхзвуковые струи. Стру т ра сверхзвуковых стр) й „ следов весьма сложна, и их матемачический анализ соответственно труден. Мы отложим исследование сверхзвуковых следов и турбулентной зоны смешения, которая ограничивает сверхзвуковые струи, до гл. Х(Ъ', предлагая здесь только некоторые свойства сверхзвуковых струй, которые не зависят от вязкости нли турбулентности и которые проявляются, например, при истечении газов из сопел ракетных двигателей и газовых турбин~). В рамках ограничений, накладываемых уравнением состояния газа Чаплыгина (8.10), никакая задача о сверхзвуковой струе из щели не имеет решения, поскольку при этом никакое смешанное дозвуковое — сверхзвуковое течение невозможно (п.
2). Дозвуковая часгь течения (виерх по потоку) сверхзвуковой струи из сопла при использовании политропического уравнения состояния была изучена Фраиклем '), который следовал идеям Чаплыгина (93). Для правильного понимания поведения плоских и осесимметричных сверхзвуковых струй нужно исходить из экспериментального факта "), состоящего в том, что такие струи имеют сушественно периодическую структуру, которая влечет за собой разрсчвсч скорости и(х) как функции координат. Эта структура была впервые проанализирована Прандтлем ц). В этом анализе стенки сопла предполагаются параллельными и основную роль играет отношение Р = р„/р, давления внутри сопла р„к давлению вне сопла р, м), Если Р = 1, то простое параллельное течение (см.
рис. 5, а) дает точное решение задачи. В обычном случае Р ) 1 струя сначала расширяется на краях сопла (волны разрежения Прандтля †Мейе), как показано на рис. 80,а, так что скорость на кромках сопла возрастает скачкообразно. Далее струя продолжает расширяться до тех пор, пока среднее давление нс упадет значительно ниже Гл. Гг!г!. Течения еягижаелой и тяжелой екнокосги давления окружающего газа, достигая минимального значения на оси.
Затем она начинает сужаться и проходит таким путем более нли менее периодически через несколько циклов чередую- шихся сжатий н разрежений. Случай Р < 1 может быть также реализован при использовании (сужающегося — расширяюгцегося) сопла Лаваля. В этом случае от краев сопла отходит скачок уплотнения, как показано на рис. 80, б; скорость поперек скачка уменьшается разрывно. Рис, 80, Кроме того, цикл чередующихся расширений и сжатий начинается со сжатия, Длину волны Х (периодических) сверхзвуковых струй можно оценить и) методом возмугцений для тривиального случая Р = 1, в котором применима линеаризированная теория сверхзвукового течения.
Как обычно (7, гл. ПЦ, если )е=ох+т означает потенциал скорости возмушенного течения сверхзвуковой струи с невозмущенной скоростью о, параллельной оси х, и шириной 1), то добавочный потенциал в удовлетворяет волновому уравнению дет деч деч (Ма — 1) — = — +— дее дуе дее (8.50а) а возмущение давления дается формулой (д )' (8.50б) В оригинальной статье Прандтля в качестве о была принята скорость истечения; однако, когда Р > 1, средняя скорость струи оказывается большей.
9. Струи очень больших енороетед 252 Для периодических возмущений с периодом Х = 2к/то естественно попытаться положить [ соз шу, )ГМе — 1 ~ .7ь(шт) соответственно в плоском и осесимметричном случаях, (Как обычно, число Маха М = и/с, где с означает скорость звука.) Чтобы удовлетворить условию постоянства давления на гра- нице струи 1/ = -~- О/2 (соответственно г = О/2), примем (ш/1/2) 1/М' — 1 = и/2 для плоских струй и (шВ/2)]/М' — ! = [11 [р1 — первый нуль функции .1о(и)] для осесимметричных струй.
Это дает Х йо ] 2 утМ' — 1 (плоские струи), ьр оЮ (8.81) ! 1,3 ]тМ' — 1 (осесимметричные струи), поскольку и/о1 = 1,3. Этн результаты в первом приближении согласуются с наблюдением. В плоском случае равенство (8.51) можно вывести более лег. ко [86, стр. 87], предполагая, что все изменения давления распространяются вдоль характеристик.
Для значения Р, близкого к единице, характеристики составляют с осью струи угол а, который удовлетворяет условию М = веса, причем онп возвращаются к своему первоначальному положению после двухкратного пересечения струи. На основании этого получаем равенство )/2/:) с1д о = ]ГМ' — 1. Однако, чтобы вычислить Х для больших Р и рассчитать конфигурацию линий тока, нужно использовать метод численного интегрирования (метод характеристик). За подробностями отсылаем читателя к специальной литературе ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
